2015高考数学二轮复习名师知识点总结:数列求和及数列的综合应用

用递推数列的知识来解决问题. 数列求和及数列的综合应用 【高考考情解读】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题:1.以递推公式或图、表形式给出条 考点一 分组转化求和法 例 1 等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在 下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数 列进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解.在利用分 组求和法求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数 n 进行讨论,最后再验证是否可以合 并为一个公式. 练习(2013· 安徽)设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对任意 n∈N*,函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x π? -an+2sin x 满足 f′? ?2?=0. (1)求数列{an}的通项公式; 1 ? (2)若 bn=2? ?an+2a ?,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n 件,求通项公式,考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力,属中档题.2.通过分组、错位相减 等转化为等差或等比数列的求和问题,考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用,属中档题. 1. 数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或 常见的数列,即先分别求和,然后再合并. (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{an}, {bn}分别是等差数列和等比数列. (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法,也就是将一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加 时若有公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和. (4)裂项相消法 利用通项变形,将通项分裂成两项或 n 项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.这种 1 1 1 1 1 方法,适用于求通项为 的数列的前 n 项和,其中{an}若为等差数列,则 = ?a -a ?. anan+1 anan+1 d? n n+1? 常见的拆项公式: ① ③ 1 1 1 1 11 1 = - ;② = ( - ); n?n+1? n n+1 n?n+k? k n n+k 1 1 1 1 1 1 = ( - );④ = ( n+k- n). 2 ?2n-1??2n+1? 2n-1 2n+1 n+ n+k k 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 3 6 9 考点二 错位相减求和法 例 2 (2013· 山东)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +?+ =1- n,n∈N*,求{bn}的前 n 项和 Tn. a1 a2 an 2 错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法.在应用这种方法时,一定要抓住数列的特征,即 数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题. 练习 设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22n 1. - 2. 数列应用题的模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是 公比. (3)混合模型:在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型. (4)生长模型:如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增加(或减少),同时又以一个固定的具体量增加 (或减少)时,我们称该模型为生长模型.如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等. (5)递推模型:如果容易找到该数列任意一项 an 与它的前一项 an-1(或前 n 项)间的递推关系式,我们可以 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点三 裂项相消求和法 *, 例 3 (2013· 广东)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 4Sn=a2 n+1-4n-1,n∈N 且 a2,a5,a14 构 成等比数列. 1 (1)证明:a2= 4a1+5; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ < . a1a2 a2a3 anan+1 2 数列求和的方法:(1)一般地,数列求和应从通项入手,若无通项,就先求通项,然后通过对通项 变形,转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式,从而选择合适的方法求和得解.(2)已知数列 ? ?S1?n=1? 前 n 项和 Sn 或者前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系式,求通项通常利用 an=? .已知数列递推 ?Sn-Sn-1?n≥2? ? (3)当 a=50,b=200 时,要使厂家获利最大,销售量 S 和广告费 n 分别应为多少? 1. 数列综合问题一般先求数列的通项公式,这是做好该类题的关键.若是等差数列或等比数列,则直接运用公 式求解,否则常用下列方法求解: ? ?S1?n=1? (1)an=? . ?Sn-Sn-1?n≥2? ? (2)递推关系形如 an+1-an=f(n),常用累加法求通项. an+1 (3)递推关系形如 =f(n),常用累乘法求通项. an (4)递推关系形如“an+1=pan+q(p、q 是常数,且 p≠1,q

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