2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析:3.1三角函数_图文

张喜林制 [选取日期] 2015 年高考一轮复习热点难点精讲精析:3.1 三角函数 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1、三角函数的定义 ※相关链接※ (1)已知角α 终边上上点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后用三角函数的定义求解; (2)已知角α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然 后用三角函数的定义来求相关问题,若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角的α 值。 注:若角α 的终边落在某条直线上,一般要分类讨论。 ※例题解析※ 〖例〗已知角α 的终边落在直线 3x+4y=0 上,求 sinα ,cosα ,tanα 的值。 思路解析:本题求α 的三角函数值,依据三角函数的定义,可在角α 的终边上任意一点 P(4t,-3t) (t≠0),求出 r,由定义得出结论。 解答:∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,∴在角 α 的终边上任取一点 P ( 4t,-3t ) (t ≠ 0) ,则 x=4t,y=-3t., r= x 2 ? y 2 = (4t ) 2 ? (?3t ) 2 =5|t|, y ?3t 3 x 4t 4 y ?3t 3 = ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ?? ; r 5t 5 r 5t 5 x 4t 4 y ?3t 3 x 4t 4 y ?3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sinα = = ? , cos ? ? ? ? ? , tan ? ? ? ?? 。 r ?5t 5 r ?5t 5 x 4t 4 3 4 3 3 4 3 综上可知,sinα = ? , cos ? ? , tan ? ? ? ;或 sinα = , cos ? ? ? , tan ? ? ? . 5 5 4 5 5 4 当 t>0 时,r=5t,sinα = 2、象限角、三角函数值符号的判断 ※相关链接※ (1)熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键; (2)判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限; (3)对于已知三角函数式的符号判断角所在象限,可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符 号,再判断角所在象限。 ※例题解析※ 〖例〗 (1)如果点 P(sinθ ·cosθ ,2cosθ )位于第三象限,试判断角θ 所在的象限; 1 / 27 (2)若θ 是第二象限角,则 sin(cos ? ) 的符号是什么? cos(sin 2? ) 思路解析: (1)由点 P 所在的象限,知道 sinθ ·cosθ ,2cosθ 的符号,从而可求 sinθ 与 cosθ 的 符号; (2)由θ 是第二象限角,可求 cosθ ,sin2θ 的范围,进而把 cosθ ,sin2θ 看作一个用弧度制的 形式表示的角,并判断其所在的象限,从而 sin(cosθ ),cos(sin2θ )的符号可定。 解答: (1) 因为点 P (sinθ · cosθ ,2cosθ ) 位于第三象限, 所以 sinθ · cosθ <0, 2cosθ <0, 即? 所以θ 为第二象限角。 (2) ∵2kπ + ?sin ? ? 0 ?cos ? ? 0 ? 2 <θ <2kπ +π (k∈Z),∴-1<cosθ <0,4kπ +π <2θ <4kπ +2π ,-1≤sin2θ <0.∴sin(cos θ )<0,cos(sin2θ )>0,∴ sin(cos ? ) sin(cos ? ) <0,∴ 的符号是负号。 cos(sin 2? ) cos(sin 2? ) 3、已知α 所在象限,求 ※相关链接※ ? n (n ? 2, n ? N ) 所在象限 (1)由α 所在象限,确定 ①由α 的范围,求出 ? n 所在象限的方法 ? n 的范围; 0 ②通过分类讨论把角写成θ +k·360 的形式,然后判断 (2)由α 所在象限,确定 ? n 所在象限。 ? 2 所在象限,也可用如下方法判断: ①画出区域:将坐标系每个象限二等分,得 8 个区域; ②标号:自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(如图所示) ; ③确定区域:找出与角α 所在象限标号一致的区域,即为所求。 (3)由α 所在象限,确定 ? 3 所在象限,也可用如下方法判断: ①画出区域:将坐标系每个象限三等分,得到 12 个区域; ②标号:自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(如图所示) : 2 / 27 ③确定区域:找出与角α 所在象限标号一致的区域,即为所求。 ※例题解析※ 〖例〗若α 是第二象限角,试分别确定 2α 、 思路分析:写出α 的范围 ? 求出 2α 、 0 ? 2 、 ? 3 的终边所在位置 ? 2 0 、 ? 3 的范围 ? 分类讨论求出 2α 、 0 0 ? 2 、 ? 3 终边所在位置。 解答:∵α 是第二象限角,∴90 +k·360 <α <180 +k·360 (k∈Z), (1)∵1800+2k·360 <2α <360 +2k·360 (k∈Z), 故 2α 是第三或第四象限角,或 2α 的终边在 y 轴的非正半轴上。 (2)∵45 +k·180 < 0 0 0 0 0 ? 2 0 <90 +k·180 (k∈Z), 0 0 0 当 k=2n(n∈Z)时,45 +n·360 < 0 ? 2 0 <90 +n·360 (k∈Z), 0 0 当 k=2n+1(n∈Z)时, 225 +n·360 < ∴ ? 2 <270 +n·360 (k∈Z), 0 0 ? 2 是第一或第三象限角。 0 0 (3)∵30 +k·120 < ? 3 0 <60 +k·120 (k∈Z), 0 0 0 当 k=3n(k∈Z)时,30 +n·360 < 0 ? 3 0 <60 +k·360 (k∈Z),

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