高考数学一轮专题复习——不等式(学生版)

苏教版高中数学 典型例题一

不等式

例 1 解不等式: (1) 2 x ? x ? 15x ? 0 ; (2) ( x ? 4)(x ? 5)2 (2 ? x)3 ? 0 .
3 2

分析:如果多项式 f ( x) 可分解为 n 个一次式的积,则一元高次不等式 f ( x) ? 0 (或 f ( x) ? 0 )可用 “穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 解: (1)原不等式可化为: x(2 x ? 5)(x ? 3) ? 0 把方程 x(2 x ? 5)(x ? 3) ? 0 的三个根 x1 ? 0, x2 ? ? , x3 ? 3 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺 次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.

5 2

∴ 原不等式解集为 ? x ?

? ?

5 ? ? x ? 0或x ? 3? 2 ?
( x ? 4)(x ? 5) 2 ( x ? 2)3 ? 0 ? x ? ?5 ?x ? 5 ? 0 ?? ?? ?( x ? 4)(x ? 2) ? 0 ? x ? ?4或x ? 2

(2)原不等式等价于

∴ 原不等式解集为 x x ? ?5或 ? 5 ? x ? ?4或x ? 2

?

?

说明:用“穿根法”解不等式时应注意:① 各一次项中 x 的系数必为正;② 对于偶次或奇次重根可转化为 不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”,其法如下图.

典型例题二
例 2 解下列分式不等式: (1)

3 2 ?1? ; x?2 x?2

(2)

x2 ? 4x ? 1 ?1 3x 2 ? 7 x ? 2

分析:当分式不等式化为

f ( x) ? 0(或 ? 0) 时,要注意它的等价变形 g ( x)



f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x)



? f ( x) ? g ( x ) ? 0 f ( x) f ( x) ?0?? 或 ? 0 ? f ( x) ? 0或f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0
-1-

(1)解:原不等式等价于

3 x 3 x ? ? ? ?0 x?2 x?2 x?2 x?2 3( x ? 2) ? x( x ? 2) ? x2 ? 5x ? 6 ? ?0? ?0 ( x ? 2)(x ? 2) ( x ? 2)(x ? 2) ? ?( x ? 6)(x ? 1)(x ? 2)(x ? 2) ? 0 ( x ? 6)(x ? 1) ?0?? ( x ? 2)(x ? 2) ?( x ? 2)(x ? 2) ? 0

用“穿根法” ∴ 原不等式解集为 (??,?2) ? ?? 1,2? ? ?6,??? 。

? (2 x 2 ? 3x ? 1)(3 x 2 ? 7 x ? 2) ? 0
(2)解法一:原不等式等价于

?2 x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 ? ?2 x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 2 x 2 ? 3x ? 1 ? ? 或 ? 0 , ? 2 ? 2 3x 2 ? 7 x ? 2 ? ?3x ? 7 x ? 2 ? 0 ? ?3x ? 7 x ? 2 ? 0 1 1 ? x ? 或 ? x ? 1或x ? 2 3 2

∴ 原不等式解集为 ( ?? , ) ? ( ,1) ? ( 2,?? ) 。

1 3

1 2

解法二:原不等式等价于

(2 x ? 1)(x ? 1) ? 0 ? (2 x ? 1)(x ? 1)(3x ? 1) ? ( x ? 2) ? 0 (3x ? 1)(x ? 2)
1 3 1 2

用“穿根法” ∴ 原不等式解集为 ( ?? , ) ? ( ,1) ? ( 2,?? )

典型例题三
2 例 3 解不等式 x ? 4 ? x ? 2

分析:解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法: 一是根据绝对值的意义 a ? ?

?a(a ? 0) ?? a(a ? 0)

二是根据绝对值的性质: x ? a ? ?a ? x ? a, x .a ? x ? a 或 x ? ?a ,因此本题有如下两种解法.

-2-

典型例题四
例 4 解不等式

x2 ? 6x ? 5 ?0. 12 ? 4 x ? x 2

说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集, 否则会产生误解. 解法二中,“定符号”是关键.当每个因式 x 的系数为正值时,最右边区间一定是正值,其他各区间正负相 间;也可以先决定含0的区间符号,其他各区间正负相间.在解题时要正确运用.

典型例题五
例 5 解不等式

x 2 ? 2x ? 2 ? x. 3 ? 2x ? x 2

说明:此题易出现去分母得 x 2 ? 2x ? 2 ? x(3 ? 2x ? x 2 ) 的错误解法.避免误解的方法是移项使一边为 0再解. 另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程 科学合理.

典型例题六
例 6 设 m ? R ,解关于 x 的不等式 m 2 x 2 ? 2mx ? 3 ? 0 . 分析:进行分类讨论求解.

-3-

说明:解不等式时,由于 m ? R ,因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因为当 m ? 0 时,原 不等式化为 ? 3 ? 0 ,此时不等式的解集为 R ,所以解题时应分 m ? 0 与 m ? 0 两种情况来讨论.

3 1 3 1 , x2 ? 后,认为 ? ? ,这也是易出现的错误之处.这 m m m m 3 1 3 1 时也应分情况来讨论:当 m ? 0 时, ? ? ;当 m ? 0 时, ? ? . m m m m
在解出 m 2 x 2 ? 2mx ? 3 ? 0 的两根为 x1 ? ?

典型例题七
例 7 解关于 x 的不等式 2ax ? a 2 ? 1 ? x (a ? 0) .

说明:本题分类讨论标准“ 0 ? a ? 2 , a ? 2 ”是依据“已知 a ? 0 及(1)中? x ?

a a , x ? 1 ?,(2)中? x ? , 2 2

x ? 1 ?”确定的.解含有参数的不等式是不等式问题中的难点,也是近几年高考的热点.一般地,分类讨论
标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定. 本题易误把原不等式等价于不等式 2ax ? a 2 ? (1 ? x) .纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的 解法.

典型例题八
例 8 解不等式 4 x 2 ? 10 x ? 3 ? 3 . 分析:先去掉绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可.

说明:解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等价转化为不等
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式组,变成求不等式组的解.

典型例题九
例 9 解关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a3 ? 0 . 分析:不等式中含有字母 a ,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样: 求出方程 x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? 0 的根,然后写出不等式的解,但由于方程的根含有字母 a ,故需比较两根 的大小,从而引出讨论.

说明: 对参数进行的讨论, 是根据解题的需要而自然引出的, 并非一开始就对参数加以分类、 讨论. 比 如本题,为求不等式的解,需先求出方程的根 x1 ? a , x2 ? a 2 ,因此不等式的解就是 x 小于小根或 x 大于 大根.但 a 与 a 2 两根的大小不能确定,因此需要讨论 a ? a 2 , a ? a 2 , a ? a 2 三种情况.

典型例题十
例 10 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是 x
2

?

? ? x ? ? ?(? ? 0) .求不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的

解集. 分析:按照一元二次不等式的一般解法,先确定系数 c 的正负,然后求出方程 cx 2 ? bx ? a ? 0 的两根 即可解之.

说明:(1)万变不离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;(2)结合使用韦 达定理,本题中只有 ? , ? 是已知量,故所求不等式解集也用 ? , ? 表示,不等式系数 a , b , c 的关系 也用 ? , ? 表示出来;(3)注意解法 2 中用“变换”的方法求方程的根.

典型例题十二
x?a x?b 1 ? 2 例 12 若不等式 2 的解为 (??,) ? (1 , ? ?) ,求 a 、 b 的值. x ? x ?1 x ? x ?1 3

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说明:解有关一元二次方程的不等式,要注意判断二次项系数的符号,结合韦达定理来解.

典型例题十三
例 13 不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 x ? 1 ? x ? 2 ,求 a 与 b 的值.

?

?

说明:本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系,同时还考查逆向思维的能力.对有关字 母抽象问题,同学往往掌握得不好。

典型例题十四
例 14 解关于 x 的不等式 ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 .

说明:解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准,就本题来说有三级分类:

?a ? 0 ? ?a ? 0 ? ? ? a ? R? ?0 ? a ? 1 ? ?a ? 0?a ? 0?a ? 1 ? ? ? ?a ? 1 ? ? ? ? ?
分类应做到使所给参数 a 的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏.另外,解本题还要注意在 讨论 a ? 0 时,解一元二次不等式 ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 应首选做到将二次项系数变为正数再求解.

典型例题十五
例 15 解不等式 x 2 ? 3x ? 10 ? 8 ? x 。

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