河南省周口市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析)

河南省周口市 2016-2017 学年高二 (下) 期末数学试卷 (理 科)

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.复数 A. 8 等于( B. ﹣8 ) C. 8i D. ﹣8i

2.曲线 y=x2+3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率 k 是( A. 7 B. 6 C. 5

) D. 4

3.已知函数 f(x)=xn+mx 的导函数 f′(x)=2x+2,则 A. 0 B. 3 C. ﹣

f(﹣x)dx=( D.



4.6 个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是( A. 288 B. 480 C. 600

) D. 640

5.已知命题 p:? a0∈(0,+∞) ,a02﹣2a0﹣3>0,那么命题 p 的否定是(



A. ? a0∈(0,+∞) ,a02﹣2a0﹣3≤0 B. ? a0∈ (﹣∞, 0) , a02﹣2a0﹣3≤0 C. ? a∈(0,+∞) ,a2﹣2a﹣3≤0 D. ? a∈(﹣∞,0) ,a2﹣2a﹣3≤0

6. (

)9 展开式中的常数项是( B. 36

) C. ﹣84 D. 84

A. ﹣36

7.甲、乙两人独立地解决同一个问题,甲能解决这个问题的概率是 P1,乙能解 决这个问题的概率是 P2,那么至少有一人能解决这个问题的概率是(
1



A. P1+P2 P1) (1﹣P2)

B. P1P2

C. 1﹣P1P2

D. 1﹣(1﹣

8.ξ~B(n,P) ,Eξ=15,Dξ=11.25,则 n=( A. 60 B. 55 C. 50

) D. 45

9.已知 F2、F1 是双曲线



=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐近

线的对称点恰好落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为 ( ) A. 3 B. C. 2 D.

10.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x﹣2)=f(x+2)且 x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+ ,则 f(log220)=( A. 1 B. C. ﹣1 ) D. ﹣

11. 小赵和小王约定在早上 7: 00 至 7: 30 之间到某公交站搭乘公交车去上学. 已 知在这段时间内,共有 3 班公交车到达该站,到站的时间分别为 7:10,7:20, 7:30,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上 学的概率为( A. ) B. C. D.

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f′(x) 则不等式 f(x2)> A. (1,2) 的解集为( B. (0,1) ) C. (1,+∞)



D. (﹣1,1)

2

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分. 13.设随机变量 X~N(μ,σ2) ,且 P(X<1)= ,P(X>2)=p,则 P(0<X <1)= .

14.以模型 y=cekx 去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设 z=lny,其变换后 得到线性回归方程 z=0.3x+4,则 c= .

15.观察下列一组等式: ①sin230°+cos260°+sin30°cos60°= , ②sin215°+cos245°+sin15°cos45°= , ③sin245°+cos275°+sin45°cos75°= ,?, 那么,类比推广上述结果,可以得到的一般结果是: .

16.已知 f(x)= x3﹣ x2+2x+1,x1,x2 是 f(x)的两个极值点,且 0<x1<1 <x2<3,则实数 a 的取值范围为 .

三、解答题:共 6 小题,70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 且 c=3. (1)求角 C; (2)若向量 与 共线,求 a、b 的值. ,

18.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天 100 颗种 子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
3

日期 温差 x/℃

4月1日 10

4月7日 11 25

4 月 15 日 13 30

4 月 21 日 12 26

4 月 30 日 8 16

发芽数 y/颗 23

(Ⅰ)从这 5 天中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m,n,求事件“m,n 均不 小于 25”的概率. (Ⅱ)从这 5 天中任选 2 天,若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日的两组数据,请 根据这 5 天中的另 3 天的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ .

(参考公式: =

, = ﹣



19.在一个盒子里放有 6 张卡片,上面标有数字 1,2,3,4,5,6,现在从盒 子里每次任意取出一张卡片,取两张. (1)若每次取出后不再放回,求取到的两张卡片上数字之积大于 12 的概率; (2)在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中,得到的两张卡 片上的最大数字的期望值是否相等?请说明理由.

20.为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中数学老师分别用两 种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班 进行教学(勤奋程度和自觉性都一样) .如图所示茎叶图为甲、乙两班(每班均 为 20 人)学生的数学期末考试成绩. (1)学校规定:成绩不低于 75 分的为优秀.请画出下面的 2×2 列联表. (2)判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. 甲班 优秀 不优秀 合计 乙班 合计

4

下面临界值表仅供参考: P(x2≥k) k 参考公式:K2= 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 . 0.010 6.635 0.005 0.001 7.879 10.828

21.已知椭圆 C:

=1 的左焦点 F1 的坐标为(﹣ .

,0) ,F2 是它的右焦点,

点 M 是椭圆 C 上一点,△MF1F2 的周长等于 4+2 (1)求椭圆 C 的方程;

(2)过定点 P(0,2)作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且 OA⊥OB(其 中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程.

22.已知函 f(x)=ax2﹣ex(a∈R) . (Ⅰ)a=1 时,试判断 f(x)的单调性并给予证明; (Ⅱ)若 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) . (i) 求实数 a 的取值范围; (ii)证明:﹣ . (注:e 是自然对数的底数)

5

河南省周口市 2016-2017 学年高二(下)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.复数 A. 8 等于( B. ﹣8 ) C. 8i D. ﹣8i

考点: 复数代数形式的混合运算. 分析: 先化简复数,然后进行复数幂的运算即可. 解答: 解:由 故选 D. 点评: 本题考查复数代数形式的运算,复数幂的运算,是基础题. ,

2.曲线 y=x2+3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率 k 是( A. 7 B. 6 C. 5

) D. 4

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据求导公式求出 y′,由导数的几何意义求出在点 A(2,10)处的切 线的斜率 k. 解答: 解:由题意知,y=x2+3x,则 y′=2x+3, ∴在点 A(2,10)处的切线的斜率 k=4+3=7, 故选:A. 点评: 本题考查求导公式和法则,以及导数的几何意义,属于基础题.

6

3.已知函数 f(x)=x +mx 的导函数 f′(x)=2x+2,则 A. 0 B. 3 C. ﹣

n

f(﹣x)dx=( D.



考点: 定积分;导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: f(x)=xn+mx 的导函数 f′(x)=2x+2,nxn﹣1+m=2x+2,f(x)=x2+2x.再 利用微积分基本定理即可得出. 解答: 解:∵f(x)=xn+mx 的导函数 f′(x)=2x+2, ∴nxn﹣1+m=2x+2, 解得 n=2,m=2, ∴f(x)=x2+2x, ∴f(﹣x)=x2﹣2x, ∴ f(﹣x)dx=,则 (x2﹣2x)dx=( ﹣x2)| =9﹣9﹣ +1= ,

故选:D. 点评: 本题考查了导数的运算法则、微积分基本定理,属于基础题

4.6 个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是( A. 288 B. 480 C. 600

) D. 640

考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 先排列除甲乙之外的 4 个人, 再把甲、 乙插入到 4 个人形成的 5 个空中, 再根据分步计数原理求得结果. 解答: 解:先排列除甲乙之外的 4 个人,方法有 再把甲、乙插入到 4 个人形成的 5 个空中,方法有 =24 种, =20 种,

再根据分步计数原理求得甲乙两人不相邻的排法种数是 24×20=480 种,

7

故选:B. 点评: 本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用,注意不相邻问题用插空 法,属于中档题.

5.已知命题 p:? a0∈(0,+∞) ,a02﹣2a0﹣3>0,那么命题 p 的否定是(



A. ? a0∈(0,+∞) ,a02﹣2a0﹣3≤0 B. ? a0∈ (﹣∞, 0) , a02﹣2a0﹣3≤0 C. ? a∈(0,+∞) ,a2﹣2a﹣3≤0 D. ? a∈(﹣∞,0) ,a2﹣2a﹣3≤0

考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题,写出命题 p 的否定命题¬p 即可. 解答: 解:根据特称命题的否定是全称命题,得; 命题 p:? a0∈(0,+∞) ,a02﹣2a0﹣3>0, 那么命题 p 的否定是:? a∈(0,+∞) ,a2﹣2a﹣3≤0. 故选:C. 点评: 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题,是基础题目.

6. (

)9 展开式中的常数项是( B. 36

) C. ﹣84 D. 84

A. ﹣36

考点: 二项式定理. 专题: 二项式定理. 分析: 先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值, 即可求得展开式中的常数项的值. 解答: 解: ( 求得 r=3,可得(
9 ) 展开式的通项公式为 Tr+1= r ? (﹣1) ?

, 令

=0,

)9 展开式中的常数项是﹣

=﹣84,

8

故选:C. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础 题.

7.甲、乙两人独立地解决同一个问题,甲能解决这个问题的概率是 P1,乙能解 决这个问题的概率是 P2,那么至少有一人能解决这个问题的概率是( A. P1+P2 P1) (1﹣P2) B. P1P2 C. 1﹣P1P2 )

D. 1﹣(1﹣

考点: 相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 根据对立事件的概率公式先求出都不能解决问题的概率即可得到结论. 解答: 解:甲能解决这个问题的概率是 P1,乙能解决这个问题的概率是 P2, 则甲不能解决这个问题的概率是 1﹣P1,乙不能解决这个问题的概率是 1﹣P2, 则甲易都不能解决这个问题的概率是(1﹣P1) (1﹣P2) , 则至少有一人能解决这个问题的概率是 1﹣(1﹣P1) (1﹣P2) , 故选:D 点评: 本题主要考查独立事件同时发生的概率的计算,根据对立事件的概率关 系先求出都不能解决问题的概率是解决本题的关键.

8.ξ~B(n,P) ,Eξ=15,Dξ=11.25,则 n=( A. 60 B. 55 C. 50

) D. 45

考点: 二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据变量符合二项分布,得到变量的期望和方差的公式,做出关于 n,P 的关系式,即可得到 n,P 的值. 解答: 解:∵ξ~B(n,P) ,Eξ=15,Dξ=11.25,
9

∴nP=15,① nP(1﹣P)=11.25 ∴1﹣P=0.75 ∴P=0.25 ∴n=60, 故选:A. 点评: 本题考查二项分布,解题的关键是记住二项分布的期望和方差公式,在 解题的时候注意对两个方程的处理,这里可以通过作比得到结果. ②

9.已知 F2、F1 是双曲线



=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐近

线的对称点恰好落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为 ( ) A. 3 B. C. 2 D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先求出 F2 到渐近线的距离,利用 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,可得直角三角形 MF1F2,运用勾股定理,即可求出 双曲线的离心率. 解答: 解:由题意,F1(0,﹣c) ,F2(0,c) , 一条渐近线方程为 y= x,则 F2 到渐近线的距离为 设 F2 关于渐近线的对称点为 M,F2M 与渐近线交于 A, ∴|MF2|=2b,A 为 F2M 的中点, 又 0 是 F1F2 的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2 为直角, ∴△MF1F2 为直角三角形, ∴由勾股定理得 4c2=c2+4b2
10

=b.

∴3c2=4(c2﹣a2) ,∴c2=4a2, ∴c=2a,∴e=2. 故选 C. 点评: 本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线,考查勾股 定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

10.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x﹣2)=f(x+2)且 x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+ ,则 f(log220)=( A. 1 B. C. ﹣1 ) D. ﹣

考点: 函数的周期性;奇偶函数图象的对称性. 专题: 计算题. 分析: 根据对数函数的单调性,我们易判断出 log220∈(4,5) ,结合已知中 f (﹣x)=﹣f(x) ,f(x﹣2)=f(x+2)且 x∈(﹣1,0)时,利用函数的周期 性与奇偶性,即可得到 f(log220)的值. 解答: 解:∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) , ∴函数 f(x)为奇函数 又∵f(x﹣2)=f(x+2) ∴函数 f(x)为周期为 4 是周期函数 又∵log232>log220>log216 ∴4<log220<5 ∴f(log220)=f(log220﹣4)=f(log2 )=﹣f(﹣log2 )=﹣f(log2 ) 又∵x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+ , ∴f(log2 )=1 故 f(log220)=﹣1 故选 C

11

点评: 本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性,其中根据 已知中 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x﹣2)=f(x+2)判断函数的奇偶性,并求出函 数的周期是解答的关键.

11. 小赵和小王约定在早上 7: 00 至 7: 30 之间到某公交站搭乘公交车去上学. 已 知在这段时间内,共有 3 班公交车到达该站,到站的时间分别为 7:10,7:20, 7:30,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上 学的概率为( A. ) B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 设甲到达汽车站的时刻为 x,乙到达汽车站的时刻为 y,利用满足条件 的不等式,求出对应的平面区域的面积,利用几何概型的概率公式即可得到结 论. 解答: 解:如图,设甲到达汽车站的时刻为 x,乙到达汽车站的时刻为 y, 则 7≤x≤7 ,7≤y≤7 , 甲、乙两人到达汽车站的时刻(x,y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出 (如图所示)是大正方形.将 3 班车到站的时刻在图形中画出,则甲、乙两人 要想乘同一班车,

必须满足{(x,y)|

,或



},

即(x,y)必须落在图形中的 3 个带阴影的小正方形内,

如图所以由几何概型的计算公式得 P=



故选 A.

12

点评: 本题主要考查几何概型的概率计算,求出对应的区域面积是解决本题的 关键.

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f′(x) 则不等式 f(x2)> A. (1,2) 的解集为( B. (0,1) ) C. (1,+∞)



D. (﹣1,1)

考点: 导数的运算;其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 所求解的不等式是抽象不等式,是与函数有关的不等式,函数的单调性 和不等关系最密切.由 f′(x) 利用其单减性求解. 解答: 解:∵f′(x) ∴f′(x)﹣ <0, 设 h(x)=f(x)﹣ ,则 h′(x)=f′(x)﹣ <0, , ,构造单调递减函数 h(x)=f(x)﹣ ,

∴h(x)是 R 上的减函数,且 h(1)=f(1)﹣ =1﹣ = . 不等式 f(x2)> 即为 f(x2) ,

x2> ,

即 h(x2)>h(1) , 得 x2<1,解得﹣1<x<1,
13

∴原不等式的解集为(﹣1,1) . 故选:D. 点评: 本题考查抽象不等式求解,关键是利用函数的单调性,根据已知条件和 所要解的不等式,找到合适的函数作载体是关键.

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分. 13.设随机变量 X~N(μ,σ2) ,且 P(X<1)= ,P(X>2)=p,则 P(0<X <1)= .

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 概率与统计. 分析: 直接利用正态分布的性质求解即可. 解答: 解:随机变量 X~N(μ,σ2) ,可知随机变量服从正态分布,X=μ,是 图象的对称轴,可知 P(X<1)= , P(X>2)=p,P(X<0)=p,则 P(0<X<1)= 故答案为: . .

点评: 本题考查正态分布的简单性质的应用,基本知识的考查.

14.以模型 y=cekx 去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设 z=lny,其变换后 得到线性回归方程 z=0.3x+4,则 c= e4 .

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 我们根据对数的运算性质:loga(MN)=logaM+logaN,logaNn=nlogaN,即 可得出结论. 解答: 解:∵y=cekx,

14

∴两边取对数,可得 lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx, 令 z=lny,可得 z=lnc+kx, ∵z=0.3x+4, ∴lnc=4, ∴c=e4. 故答案为:e4. 点评: 本题考查的知识点是线性回归方程,其中熟练掌握对数的运算性质,是 解答此类问题的关键.

15.观察下列一组等式: ①sin230°+cos260°+sin30°cos60°= , ②sin215°+cos245°+sin15°cos45°= , ③sin245°+cos275°+sin45°cos75°= ,?,
2 那么, 类比推广上述结果, 可以得到的一般结果是: sin (30°+ x) +sin (30°+x)

cos(30°﹣x)+cos2(30°﹣x)=



考点: 类比推理. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 观察所给的等式,等号左边是 sin230°+cos260°+sin30°cos60°, 3sin215°+cos245°+sin15°cos45°?规律应该是 sin2x+sinxcos(30°+x) +cos2(30°+x) ,右边的式子: ,写出结果. 解答: 解:观察下列一组等式: ①sin230°+cos260°+sin30°cos60°= , ②sin215°+cos245°+sin15°cos45°= , ③sin245°+cos275°+sin45°cos75°= ,?, 照此规律,可以得到的一般结果应该是
15

sin x+sinx)cos(30°+x)+cos (30°+x) ,右边的式子: , ∴sin2x+sinxcos(30°+x)+cos2(30°+x)= . 证明:sin2x+sinx( =sin2x+ = ﹣ = . + )+( ﹣ + )2

2

2

故答案为:sin2x+sinxcos(30°+x)+cos2(30°+x)= . 点评: 本题考查类比推理,考查对于所给的式子的理解,从所给式子出发,通 过观察、类比、猜想出一般规律,不需要证明结论,该题着重考查了类比的能 力.

16.已知 f(x)= x3﹣ x2+2x+1,x1,x2 是 f(x)的两个极值点,且 0<x1<1 <x2<3,则实数 a 的取值范围为 (3, ) .

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出函数 f(x)的导数,结合二次函数的性质,得到不等式组,解出 即可. 解答: 解:f′(x)=x2﹣ax+2, ∴x1,x2 是 f′(x)=0 的两个根, 由 0<x1<1<x2<3,结合二次函数的性质得:



解得:3<a< 故答案为: (3,

, ) .

16

点评: 本题考查了导数的应用,考查二次函数的性质,是一道中档题.

三、解答题:共 6 小题,70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 且 c=3. (1)求角 C; (2)若向量 与 共线,求 a、b 的值. ,

考点: 余弦定理;三角函数的恒等变换及化简求值;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1) 利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得 sin (2C﹣30°) =1, 结合 C 的范围可求 C (2)由(1)C,可得 A+B,结合向量共线的坐标表示可得 sinB﹣2sinA=0,利 用两角差的正弦公式化简可求 解答: 解: (1)∵ ∴ ∴sin(2C﹣30°)=1 ∵0°<C<180° ∴C=60° (2)由(1)可得 A+B=120° ∵ ∴sinB﹣2sinA=0 ∴sin(120°﹣A)=2sinA 整理可得, ∴A=30°,B=90° ∵c=3. 即 tanA= 与 共线, ,

17

∴a=

,b=2

点评: 本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三 角函数的综合应用

18.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天 100 颗种 子浸泡后的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x/℃ 4月1日 10 4月7日 11 25 4 月 15 日 13 30 4 月 21 日 12 26 4 月 30 日 8 16

发芽数 y/颗 23

(Ⅰ)从这 5 天中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m,n,求事件“m,n 均不 小于 25”的概率. (Ⅱ)从这 5 天中任选 2 天,若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日的两组数据,请 根据这 5 天中的另 3 天的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ .

(参考公式: =

, = ﹣



考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)用数组(m,n)表示选出 2 天的发芽情况,用列举法可得 m,n 的所有取值情况,分析可得 m,n 均不小于 25 的情况数目,由古典概型公式, 计算可得答案; (Ⅱ)根据所给的数据,先做出 x,y 的平均数,即做出本组数据的样本中心点, 根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程. 解答: 解: (Ⅰ)用数组(m,n)表示选出 2 天的发芽情况, m,n 的所有取值情况有:

18

(23,25) , (23,30) , (23,26) , (23,16) , (25,30) , (25,26) , (25,16) , (30,26) , (30,16) , (30,26) ,共有 10 个 设“m,n 均不小于 25”为事件 A, 则包含的基本事件有(25,30) , (25,26) , (30,26) 所以 P(A)= , ; xiyi=977, xi2=434,3 2=432.

故 m,n 均不小于 25 的概率为

(Ⅱ)由数据得 =12, =27,3 ? =972, 由公式,得 =

= , =27﹣ ×12=﹣3.

所以 y 关于 x 的线性回归方程为 = x﹣3. 点评: 本题考查回归直线方程的计算与应用, 涉及古典概型的计算, 是基础题, 在计算线性回归方程时计算量较大,注意正确计算.

19.在一个盒子里放有 6 张卡片,上面标有数字 1,2,3,4,5,6,现在从盒 子里每次任意取出一张卡片,取两张. (1)若每次取出后不再放回,求取到的两张卡片上数字之积大于 12 的概率; (2)在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中,得到的两张卡 片上的最大数字的期望值是否相等?请说明理由.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概 率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)设第一、第二次所取得的数字分别为 X,Y,列表如下:由表格可 知:基本事件的总数为 30,其中取到的两张卡片上数字之积大于 12 的共有 10 种,利用古典概率计算公式即可得出; (2) (i)在每次取出后再放回:设第一、第二次所取得的数字分别为 X,Y,列 表如下:由表格可知:基本事件的总数为 36,设两次取得的最大数为 ξ,分别
19

求出 P(ξ=1) ,P(ξ=2) ,P(ξ=3) ,P(ξ=4) ,P(ξ=5) ,P(ξ=6) ,即可 得出数学期望. (ii)在每次取出后不再放回:设第一、第二次所取得的数字分别为 X,Y,列 表如下:由表格可知:基本事件的总数为 30,设两次取得的最大数为 η,可得 P(η=2) ,P(η=3) ,P(η=4) ,P(η=5) ,P(η=6) ,即可得出数学期望. 解答: 解: (1)设第一、第二次所取得的数字分别为 X,Y, 列表如下: X?Y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23456 2 3 6 6 8 10 12 12 15 18 20 24 20 24 30 30

4 8 12 5 10 15 6 12 18

由表格可知:基本事件的总数为 30,其中取到的两张卡片上数字之积大于 12 的 共有 10 种,∴取到的两张卡片上数字之积大于 12 的概率 P= = .

(2) (i)在每次取出后再放回:设第一、第二次所取得的数字分别为 X,Y, 列表如下: {X,Y}max 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 123 4 223 4 333 4 444 4 555 5 666 6 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6

20

由表格可知:基本事件的总数为 36,设两次取得的最大数为 ξ,则 P(ξ=1) = = ,P(ξ=2)= , +2× +3× +4× +5× +6× = . ,P(ξ=3)= ,P(ξ=4)= ,P(ξ=5)= ,P(ξ=6)

其数学期望为 E(ξ)=1×

(ii)在每次取出后不再放回:设第一、第二次所取得的数字分别为 X,Y, 列表如下: {X,Y}max(X 表示列数字,Y 表示横行数字) 1 2 3 1 2 3 4 5 6 2 3 45 2 3 45 3 3 45 44 4 55 5 5 66 6 6 6 4 6 6 6 5 6 6 5 6

由表格可知:基本事件的总数为 30,设两次取得的最大数为 η,则 P(η=2) = ,P(η=3)= ,P(η=4)= +3× ,P(η=5)= +4× +5× ,P(η=6)= +6× = . ,

其数学期望为 E(η)=2×

因此在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中,得到的两张卡 片上的最大数字的期望值不相等,其中 E(ξ)<E(η) . 点评: 本题考查了古典概率计算公式、分布列及其数学期望、有放回与不放回 抽取的区别,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20.为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中数学老师分别用两 种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班 进行教学(勤奋程度和自觉性都一样) .如图所示茎叶图为甲、乙两班(每班均 为 20 人)学生的数学期末考试成绩. (1)学校规定:成绩不低于 75 分的为优秀.请画出下面的 2×2 列联表.

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(2)判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. 甲班 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考: P(x2≥k) k 参考公式:K2= 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 . 0.010 6.635 0.005 0.001 7.879 10.828 乙班 合计

考点: 独立性检验的应用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)由所给数据,结合 40,即可补全 2×2 列联表; (2)根据所给的列联表得到求观测值所用的数据,把数据代入观测值公式中, 做出观测值,同所给的临界值表进行比较,即可得出结论. 解答: 解: (1 ) 甲班 优秀 不优秀 合计 6 14 20 乙班 14 6 20 合计 20 20 40

?(6 分) (2)K2= =6.4>5.024
22

?(10 分)

因此,我们有 97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关.?(12 分) 点评: 本题考查了由茎叶图求分类变量的列联表,及根据列联表计算相关指数 K2 的观测值,考查概率知识的运用,属于中档题.

21.已知椭圆 C:

=1 的左焦点 F1 的坐标为(﹣ .

,0) ,F2 是它的右焦点,

点 M 是椭圆 C 上一点,△MF1F2 的周长等于 4+2 (1)求椭圆 C 的方程;

(2)过定点 P(0,2)作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且 OA⊥OB(其 中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)由已知得

,由此能求出椭圆 C 的方程.

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意.当直线 l 的斜率存在时,设直线

l 的方程为 y=kx﹣2,联立

,得(1+4k )x ﹣16kx+12=0,由此利用根

2

2

的判别式、根与系数关系、向量知识,结合已知条件能求出直线 l 的方程. 解答: 解: (1)∵椭圆 C: =1 的左焦点 F1 的坐标为(﹣ ,0) , ,

F2 是它的右焦点,点 M 是椭圆 C 上一点,△MF1F2 的周长等于 4+2





解得 a=2,b=1, ∴椭圆 C 的方程为 .

23

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx﹣2,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

联立

,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,

△=(﹣16k)2﹣48(1+4k2)>0, 由根与系数关系得 x1+x2= ∵y1=kx1﹣2,y2=kx2﹣2, ∴y1y2=k2x1?x2﹣2k(x1+x2)+4. ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0, ∴(1+k )x1x2﹣2k(x1+x2)+4=0, ∴ 解得 k=±2, ∴直线 l 的方程是 y=2x﹣2 或 y=﹣2x﹣2. 点评: 本题考查椭圆方程和直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题, 注意根的判别式、根与系数关系、向量知识的合理运用. ﹣ +4=0,
2

,x1?x2=



22.已知函 f(x)=ax2﹣ex(a∈R) . (Ⅰ)a=1 时,试判断 f(x)的单调性并给予证明; (Ⅱ)若 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) . (i) 求实数 a 的取值范围; (ii)证明:﹣ . (注:e 是自然对数的底数)

考点: 利用导数研究函数的单调性; 函数的值域; 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的综合应用.

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分析: (Ⅰ)把 a=1 代入函数解析式,求出函数的导函数,把导函数二次求导 后,求出导函数的最大值,得到导函数的最大值小于 0,从而得到原函数是实数 集上的减函数; (Ⅱ) (i)把函数 f(x)=ax2﹣ex 有两个极值点转化为其导函数 f′(x)=2ax﹣ ex 有两个根,分离变量 a 后分析右侧函数 的单调性,该函数先减后增

有极小值,然后根据图象的交点情况得到 a 的范围; (ii)由 x1 是原函数的导函数的根,把 x1 代入导函数解析式,用 x1 表示 a,然 后把 f(x1)的表达式中的 a 替换,得到关于 x1 的函数式后再利用求导判断单调 性,从而得到要征得结论. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=x2﹣ex,f(x)在 R 上单调递减. 事实上,要证 f′(x)=x2﹣ex 在 R 上为减函数,只要证明 f′(x)≤0 对? x∈R 恒成立即可, 设 g(x)=f′(x)=2x﹣ex,则 g′(x)=2﹣ex, 当 x=ln2 时,g′(x)=0, 当 x∈(﹣∞,ln2)时,g′(x)>0,当 x∈(ln2,+∞)时,g′(x)<0. ∴函数 g(x)在(﹣∞,ln2)上为增函数,在(ln2,+∞)上为减函数. ∴f′(x)max=g(x)max=g(ln2)=2ln2﹣2<0,故 f′(x)<0 恒成立 所以 f(x)在 R 上单调递减; (Ⅱ) (i)由 f(x)=ax2﹣ex,所以,f′(x)=2ax﹣ex. 若 f(x)有两个极值点 x1,x2,则 x1,x2 是方程 f′(x)=0 的两个根, 故方程 2ax﹣ex=0 有两个根 x1,x2, 又因为 x=0 显然不是该方程的根,所以方程 设 ,得 . 有两个根,

若 x<0 时,h(x)<0 且 h′(x)<0,h(x)单调递减. 若 x>0 时,h(x)>0. 当 0<x<1 时 h′(x)<0,h(x)单调递减,

25

当 x>1 时 h′(x)>0,h(x)单调递增. 要使方程 有两个根,需 2a>h(1)=e,故 . ,故 ,x1∈(0,1) 且 0<x1<1<x2.

故 a 的取值范围为

(ii)证明:由 f′(x1)=0,得:

= 设 s(t)= (0,1)上单调递减 故 s(1)<s(t)<s(0) ,即 (0<t<1) ,则

,x1∈(0,1) ,s(t)在



点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了函数在某点取得极值的 条件,解答此题的关键是利用二次求导判断函数导函数的符号,这也是此类问 题经常用到的方法.此题是有一定难度题目.

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