高中数学人教版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 单元测试卷(A)

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C.9

D.12

第二章

圆锥曲线与方程
时间:120 分钟

单元测试卷(A)

5. (2015· 福州月考)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=20y 的焦点重合, 且其渐近线的方程为 3x± 4y=0,则该双曲线的标准方程为( y2 x2 A.16- 9 =1 x2 y2 B.16- 9 =1 x2 y2 D. 9 -16=1 )

分值:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
题号 答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是( A.y2=-4x C.y2=-4x 或 x2=4y B.x2=4y D.y2=4x 或 x2=-4y ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y2 x2 C. 9 -16=1

6.若直线 mx+ny=4 与圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的 x2 y2 直线与椭圆 9 + 4 =1 的交点个数为( A.至多一个 C.1 B.2 D.0 )

7. 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A、 B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( A.18 C.36 B.24 D.48 )

2.已知两定点 F1(5,0),F2(-5,0),曲线上的点 P 到 F1,F2 的距离之差 的绝对值是 6,则该曲线的方程为( x2 y2 A. 9 -16=1 x2 y2 C.25-36=1 ) x2 y 2 B.16- 9 =1 y2 x2 D.25-36=1 )

x2 y2 5 8.(2015· 广东理)已知双曲线 C:a2-b2=1 的离心率 e=4,且其右焦点 为 F2(5,0),则双曲线 C 的方程为( x2 y2 A. 4 - 3 =1 x2 y2 C.16- 9 =1 ) x2 y2 B. 9 -16=1 x2 y2 D. 3 - 4 =1
2

x2 y2 3.3<m<5 是方程 + =1 表示的图形为双曲线的( m-5 m2-m-6 A.充分但非必要条件 C.充分必要条件 B.必要但非充分条件 D.既非充分又非必要条件

1 4.(2015· 全国卷Ⅰ文)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为2,E 的 右焦点与抛物线 C:y2=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点, 则|AB|=( A.3 ) B.6

y2 9. (2015· 吉林省实验中学一模)如图,F1、F2 是双曲线 C1:x - 3 =1 与椭 圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1、C2 在第一象限的公共点,若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率是( )

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二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、 B 两点, |AF| =2,则|BF|=______. 1 A.3 2 2 C.3或5 2 B.3 2 D.5 14.已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、 D 两点的椭圆的离心率为________. 9 15.(2015· 泗阳县模拟)两个正数 a、b 的等差中项是2,等比中项是 2 5, x2 y2 且 a>b,则双曲线a2-b2=1 的离心率为________. 16.如图,在椭圆中,若 AB⊥BF,其中 F 为焦点,A、B 分别为长轴与 短轴的一个端点,则椭圆的离心率 e=________. x2 y 2 B. 7 - 9 =1 x2 y2 D.12- 4 =1 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分) 17.(本题满分 10 分)求下列双曲线的标准方程. x2 y2 (1)与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双曲线; x (2)以椭圆 3x2+13y2=39 的焦点为焦点,以直线 y=± 2为渐近线的双曲 线.

x2 y2 10.过双曲线 C:a2-b2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线 相交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、O 两点(O 为坐标 原点),则双曲线 C 的方程为( x2 y2 A. 4 -12=1 x2 y2 C. 8 - 8 =1 )

11.F 是抛物线 y2=2x 的焦点,P 是抛物线上任一点,A(3,1)是定点,则 |PF|+|PA|的最小值是( A.2 C .3 ) 7 B.2 1 D.2

x2 y2 b 12. 若椭圆a2+b2=1(a>b>0)和圆 x2+y2=(2+c)2(c 为椭圆的半焦距)有四 个不同的交点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( 5 3 A.( 5 ,5) 2 3 C.( 5 ,5) 2 5 B.( 5 , 5 ) 5 D.(0, 5 ) )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
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18.(本题满分 12 分)方程 x2sinα-y2cosα=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 求 α 的取值范围.

x2 y2 20.(本题满分 12 分)(2015· 天津理)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点 3 为 F(-c,0),离心率为 3 ,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x2 b2 4 3 +y = 4 截得的线段的长为 c,|FM|= 3 .
2

(1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程.

19.(本题满分 12 分)已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y =2x+1 交于 P,Q 两点,|PQ|= 15,求抛物线的方程.

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21.(本题满分 12 分)已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

x2 y2 22.(本题满分 12 分)(2015· 陕西文)如图,椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)经过 2 点 A(0,-1),且离心率为 2 .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异 于点 A),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

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第二章

圆锥曲线与方程

单元测试卷(A)

答案

4. [答案] B

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. [答案] C [解析] ∵抛物线过点(-4,4), ∴设其方程为:y2=-2px 或 x2=2py(p>0),将(-4,4)代入可得 p=2,∴ 抛物线方程为 y =-4x 或 x =4y.
2 2

[解析] 如图:

∵抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0), ∴椭圆 E 的右焦点为(2,0),∴c=2, c 1 ∵a=2,∴a=4, ∴b2=a2-c2=12. ∵抛物线的准线为 x=-2, 2b2 2×12 ∴|AB|= a = 4 =6. 5. [答案] C [解析] y2 x2 设双曲线的标准方程为a2-b2=1,因为双曲线的一个焦点与抛

2. [答案] A [解析] ∵||PF1|-|PF2||=6<10=|F1F2|,∴曲线为双曲线,且 a=3,c=5, x2 y2 ∴b=4,∴方程为 9 -16=1. 3. [答案] A [解析] 当 3<m<5 时,m-5<0,m2-m-6>0, x y ∴方程 + 2 =1 表示双曲线. m-5 m -m-6 x2 y2 若方程 + =1 表示双曲线,则 m-5 m2-m-6 (m-5)(m -m-6)<0,
2 2 2

物线 x2=20y 的焦点重合,所以双曲线的焦点在 y 轴上,且 c=5,又因为双 a 3 曲线的渐近线方程为 3x± 4y=0,所以b=4,所以 a=3,b=4,所以双曲线的 y2 x2 标准方程为 9 -16=1. 6. [答案] B

∴m<-2 或 3<m<5,故选 A.

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[解析] ∵直线与圆无交点,∴
2 2

4 m2+n2

>2,

c 2 ∴2a=|AF1|+|AF2|=6,∴a=3,∴e=a=3. 10. [答案] A [解析] 如图设双曲线的右焦点 F, 右顶点 B, b 近线 OA 方程为 y=ax, 由题意知, 以 F 为圆心, 4 为半径的圆过点 O, ∴|FA|=|FO|=r=4. b ∵AB⊥x 轴,A 为 AB 与渐近线 y=ax 的交点, ∴可求得 A 点坐标为 A(a,b). A, 设 渐

∴m +n <4,∴点 P 在⊙O 内部, 又⊙O 在椭圆内部,∴点 P 在椭圆内部, ∴过点 P 的直线与椭圆有两个交点. 7. [答案] C
?p ? p [解析] 设抛物线为 y2=2px,则焦点 F?2,0?,准线 x=-2,由|AB|=2p ? ?

1 =12,知 p=6,所以 F 到准线距离为 6,所以三角形面积为 S=2×12×6= 36. 8. [答案] C c 5 [解析] 由于 e=a=4,由右焦点可得 c=5,故 a=4,从而 b2=c2-a2 x2 y2 =9,故双曲线方程为16- 9 =1,选 C. 9. [答案] B x y [解析] 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 由题意得,|AF1|=|F1F2|=2c=2 ∴c=2, |AF1|-|AF2|=2,∴|AF2|=2, 1+3=4,
2 2

∴在 Rt△ABO 中,|OA|2=

OB2+AB2=

a2+b2=c=|OF|=4,

∴△OAF 为等边三角形且边长为 4,B 为 OF 的中点,从而解得|OB|=a= 2,|AB|=b=2 3, x2 y2 ∴双曲线的方程为 4 -12=1,故选 A. 11. [答案] B [解析] 如图,|PF|+|PA|=|PB|+|PA|,

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1 7 显然当 A、B、P 共线时,|PF|+|PA|取到最小值 3-(-2)=2. 12. [答案] A b [解析] 要保证椭圆与圆有 4 个交点,只要保证 b<2+c<a 即可. b ? b < ? 2+c ?b ? ?2+c<a
2

1 [答案] 2 [解析] ∵AB=2c=4,∴c=2. 又 AC+CB=5+3=8=2a,∴a=4. c 1 ∴椭圆离心率为a=2. 15. [答案] 41 5

?2b<b+2c ?2c>b,① ?? ?? ?b+2c<2a ?2?a-c?>b.②
2 2 2, 2 2

c2 1 1 5 由①得 4c >b =a -c 5c >a ,a2>5,即 e2>5,故 e> 5 .由②得 4(a2+c2 -2ac)>b2=a2-c2,即 3a2-8ac+5c2>0.两边同除以 a2,得 5e2-8e+3>0,即 3 5 3 (e-1)(5e-3)>0,解得 e>1(舍去)或 e<5,则 5 <e<5.

9 [解析] ∵两个正数 a、b 的等差中项是2,等比中项是 2 5,且 a>b,

?a+b=9, ? 2 2 ∴? ab=2 5, ? ?a>b,

解得 a=5,b=4,

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. [答案] 2 [解析] 本题考查抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系. 设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2) 抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),准线方程为 x=-1. |AF|=x1-(-1)=2,所以 x1=1. 则 AF 与 x 轴垂直,|BF|=|AF|=2. 14.

x2 y2 ∴双曲线方程为25-16=1,∴c=

25+16= 41,

x2 y2 c 41 ∴双曲线a2-b2=1 的离心率 e=a= 5 . 16. [答案] [解析] 5-1 2 x2 y 2 设椭圆方程为a2+b2=1,则有 A(-a,0),B(0,b),F(c,0),由
? ?

b b b? b? AB⊥BF,得 kAB· kBF=-1,而 kAB=a,kBF=-c代入上式得a?-c?=-1,利 a c 用 b2=a2-c2 消去 b2,得c-a=1,

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-1± 5 1 即e-e=1,解得 e= 2 , 5-1 ∵e>0,∴e= 2 .

x2 y2 即所求的双曲线方程为: 8 - 2 =1. 18. [分析] 根据焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程的特点,先将方程化为标 准式,得到关于 α 的关系式,再求 α 的取值范围.

三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分) 17. x2 y2 [解析] (1)∵双曲线16- 4 =1 的焦点为(± 2 5,0), x y ∴设所求双曲线方程为:a2- =1(20-a2>0) 2 20-a 又点(3 2,2)在双曲线上, 18 ∴ a2 - 4 =1,解得 a2=12 或 30(舍去), 2 20-a
2 2

x2 y2 [解析] ∵x sinα-y cosα=1,∴ 1 + 1 =1. sinα -cosα
2 2

又∵此方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,

?sinα>0 ? 1 ∴?-cosα>0 ? 1 <- 1 ?sinα cosα

1

? ?sinα>0 ,即? , ? ?0<-cosα<sinα

x2 y2 ∴所求双曲线方程为12- 8 =1. x2 y2 (2)椭圆 3x +13y =39 可化为13+ 3 =1,
2 2

π 3π ∴2kπ+2<α<2kπ+ 4 (k∈Z). π 3π? ? 故所求 α 的范围为?2kπ+2,2kπ+ 4 ?(k∈Z).
? ?

其焦点坐标为(± 10,0), ∴所求双曲线的焦点为(± 10,0), x2 y2 设双曲线方程为:a2-b2=1(a>0,b>0) 1 ∵双曲线的渐近线为 y=± 2 x,
2 2 2 b 1 b2 c -a 10-a 1 ∴a=2,∴a2= a2 = a2 =4,∴a2=8,b2=2,

19. [解析]

?y2=2px, 设抛物线的方程为 y =2px, 则? ?y=2x+1,
2

消去 y 得 4x2-(2p

p-2 1 -4)x+1=0,x1+x2= 2 ,x1x2=4. |PQ| = 15,则 1+k2 |x1 - x2| = 5 ?x1+x2?2-4x1x2 = 5 p-2 1 ? 2 ?2-4×4 =

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p2 2 4 -p= 3,p -4p-12=0,解得 p=-2 或 p=6. ∴y2=-4x,或 y2=12x. 20. c2 1 [解析] (1)由已知有a2=3,又由 a2=b2+c2,可得 a2=3c2,b2=2c2. 设直线 FM 的斜率为 k(k>0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+c),由已知, 有( c b 3 )2+(2)2=(2)2,解得 k= 3 . k2+1 x2 y2 3 (2)由(1)得椭圆方程为3c2+2c2=1,直线 FM 的方程为 y= 3 (x+c), 5 两个方程联立,消去 y,整理得 3x +2cx-5c =0,解得 x=-3c,或 x
2 2

2m 1 由根与系数的关系,得 x1+x2=- 5 ,x1x2=5(m2-1). 所以|AB|= = = ?x1-x2?2+?y1-y2?2 2[?x1+x2?2-4x1x2]

2?x1-x2?2=

4m2 4 2 2[ 25 -5?m -1?]

kc

2 =5 10-8m2. 所以当 m=0 时,直线被椭圆截得的弦最长,此时所求的直线方程为 y =x. 22. c 2 [解析] (1)由题设知a= 2 ,b=1,结合 a2=b2+c2,解得 a= 2. x2 2 所以椭圆的方程为 2 +y =1. x2 2 (2)由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1(k≠2),代入 2 +y =1, 得 (1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0. 由已知 Δ>0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0, 4k?k-1? 2k?k-2? 则 x1+x2= , x x = 1 2 1+2k2 1+2k2 从而直线 AP,AQ 的斜率之和

2 3 = c. 因 为 点 M 在 第 一 象 限 , 可 得 M 的 坐 标 为 (c , 3 c) . 由 |FM| = 2 3 4 3 x2 y2 2 ?c+c? +? 3 c-0? = 3 ,解得 c=1,所以椭圆的方程为 3 + 2 =1.
2

21.

?4x +y =1, [解析] (1)由? 得 5x2+2mx+m2-1=0. ?y=x+m,
2 2

因为直线与椭圆有公共点, 5 5 所以 Δ=4m -20(m -1)≥0,解得- 2 ≤m≤ 2 .
2 2

(2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0.

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y1+1 y2+1 kx1+2-k kx2+2-k kAP+kAQ= x + x = + x x
1 2 1 2

x1+x2 1 1 =2k+(2-k)(x +x )=2k+(2-k) x x
1 2 1 2

4k?k-1? =2k+(2-k) =2k-2(k-1)=2. 2k?k-2? 所以直线 AP、AQ 斜率之和为定值 2.

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