高中数学一轮复习专题讲座13:数列通项公式的求法

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

高中数学一轮复习专题讲座 13:数列通项公式的求法

各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,

数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能

对大家有帮助。

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.

例 1.等差数列?an ?是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1, a3 , a9 成等比数列, S5 ? a52 .求数列?an ?的通项
公式.

解:设数列?an ?公差为 d (d ? 0)

∵ a1, a3 , a9 成等比数列,∴ a32 ? a1a9 ,

即 (a1 ? 2d )2 ? a1(a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1d

∵d ? 0,

∴ a1 ? d ………………………………①

∵ S5 ? a52

∴ 5a1

?

5?4 2

?d

?

(a1

?

4d )2

…………②

由①②得:

a1

?

3 5



d

?

3 5

∴ an

?

3 5

? (n

?1) ?

3 5

?

3n 5

点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。

二、公式法

若已知数列的前

n

项和

Sn



an

的关系,求数列 ?an ?的通项

an

可用公式

an

?

???SS1n

??????? ? Sn?1

? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 ???????n ? 2

求解。

例 2.已知数列?an ?的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1 .求数列?an ?的通项公式。

解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ?1 ? a1 ? 1 当 n ? 2时,有 an ?S n?Sn?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1)n ,

? an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1,

an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1)n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2.

?an ? 2n?1a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ? ? 2? (?1)n?1 ? 2n?1 ? (?1)n[(?2)n?1 ? (?2)n?2 ? ? ? (?2)]

? 2n?1 ? (?1)n 2[1 ? (?2)n?1] 3

? 2 [2n?2 ? (?1)n?1]. 3

经验证 a1

? 1也满足上式,所以 an

?

2 [2n?2 3

? (?1)n?1]

点评:利用公式 an

?

?Sn ??Sn

????????????????n ? 1
求解时,要注意对
? Sn?1 ??????? n ? 2

n

分类讨论,但若能合写时一定要合并.

三、由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 1 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型 1 递推公式为 an?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。

例 3.

已知数列?an ?满足 a1

?

1 2

, an?1

? an

?

1 n2 ? n

,求 an 。

解:由条件知: an?1

? an

?

1 n2 ?

n

?

1 n(n ?1)

?

1 n

?

1 n ?1

分 别 令 n ? 1,2,3,??????,(n ?1) , 代 入 上 式 得 (n ?1) 个 等 式 累 加 之 , 即

(a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ?????? ?(an ? an?1)

? (1? 1) ? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ?????? ?( 1 ? 1)

2 23 34

n ?1 n

所以

an

?

a1

?1?

1 n

? a1

?

1 2

,? an

?

1 2

?1?

1 n

?

3 2

?

1 n

类型 2 (1)递推公式为 an?1 ? f (n)an

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

例 4.

已知数列?an ?满足 a1

?

2 3

, an?1

?

n

n ?

1

an

,求

a

n



解:由条件知 an?1 ? n ,分别令 n ? 1,2,3,??????,(n ?1) ,代入上式得 (n ?1) 个等式累乘之,即 an n ?1

a2 ? a3 ? a4 ? ??????? an ? 1 ? 2 ? 3 ???????? n ?1 ? an ? 1

a1 a2 a3

an?1 2 3 4

n

a1 n

又? a1

?

2 3

,? an

?

2 3n

(2).由 an?1 ? f (n)an 和 a1 确定的递推数列 ?an ?的通项可如下求得:

由已知递推式有 an ? f (n ?1)an?1 , an?1 ? f (n ? 2)an?2 , ? ? ? , a2 ? f (1)a1 依次向前代入,得

an ? f (n ?1) f (n ? 2) ? ?? f (1)a1 ,

n?1

0

简记为 an

?

(? k ?1

f

(k ))a1

(n ? 1, ? f (k) ? 1) ,这就是叠(迭)代法的基本模式。 k ?1

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 2 页

中学教育研发网(www.book678.com)
(3)递推式: an?1 ? pan ? f ?n?

博学而笃志 切问而近思

解法:只需构造数列?bn ?,消去 f ?n? 带来的差异.

例 5.设数列 ?an ?: a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ?1, (n ? 2) ,求 an .

解:设 bn ? an ? An ? B, 则an ? bn ? An ? B ,将 an , an?1 代入递推式,得

bn ? An ? B ? ?3 bn?1 ? A(n ?1) ? B?? 2n ?1 ? 3bn?1 ? (3A ? 2)n ? (3B ? 3A ? 1)

?

?? ? ??B

A ? 3A? 2 ? 3B ? 3A ?

1

?

?A ??B

? ?

1 1

?取bn ? an ? n ? 1 …(1)则 bn ? 3bn?1 ,又 b1 ? 6 ,故 bn ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n 代入(1)得

an ? 2? 3n ? n ?1

说明:(1)若 f (n) 为 n 的二次式,则可设 bn ? an ? An 2 ? Bn ? C ;(2)本题也可由

an ? 3an?1 ? 2n ? 1 , an?1 ? 3an?2 ? 2(n ? 1) ?1 ( n ? 3 ) 两 式 相 减 得

an ? an ?1 ? 3(an ?1 ? an ?2 ) ? 2 转化为 bn ? pbn?1 ? q 求之.



6.已知

a1

?

3,

an?1

?

3n ?1 3n ? 2

an

(n ? 1) ,求 an 。

解: an

?

3(n ?1) ?1 3(n ?1) ? 2

?

3(n ? 2) ?1 3(n ? 2) ? 2

?????

3? 2 ?1 3?2? 2

?

3?1 3?2

a1

? 3n ? 4 ? 3n ? 7 ? 5 ? 2 ?3 ? 6 3n ?1 3n ? 4 8 5 3n ?1 。

类型 3 递推公式为 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ?1) ? 0) )。

解法:把原递推公式转化为: an?1

?

t

?

p(an

?

t) ,其中 t

?

q 1?

p

,再利用换元法转化为等比数列求解。

例 7. 已知数列 ?an ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

解:设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 .故递推公式为

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 3 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

an?1

?3?

2(an

? 3) ,令 bn

?

an

? 3 ,则 b1

? a1

?3?

4 ,且 bn?1 bn

?

an?1 ? 3 an ? 3

?

2 .所以?bn ?是以 b1

?

4 为首项,

2 为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 .

类型 4 递推公式为 an?1 ? pan ? q(n 其中 p,q 均为常数,( pq( p ?1)(q ?1) ? 0) )。 (或 an?1 ? pan ? rqn ,

其中 p,q, r 均为常数)

例 8.

已知数列?an ?中, a1

?

5 6

, an?1

?

1 3

an

?

(

1 2

)

n?1

,求

a

n



解:在 an?1

?

1 3

an

? ( 1 )n?1 两边乘以 2n?1 得: 2n?1 2

? an?1

?

2 (2n 3

? an )

?1

令 bn

?

2n

? an

,则 bn?1

?

2 3

bn

? 1 ,应用例

7

解法得: bn

?

3 ? 2( 2)n 3

所以 an

?

bn 2n

? 3(1)n 2

? 2(1)n 3

类型 5 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)。

解法:先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t(an?1 ? san )

其中

s,t

满足

?s ? t ??st ?

?p ?q

,再应用前面类型

3

的方法求解。

例 9.

已知数列?an ?中, a1

? 1, a2

? 2 , an?2

?

2 3

an?1

?

1 3

an

,求

a

n



解:由 an?2

?

2 3

an?1

?

1 3

an

可转化为

an? 2

? san?1

? t(an?1

? san )

即 an?2

?

(s

? t)an?1

?

stan

?

???s

?

t

?

2 3

? ???st

?

?

1 3

?

?s ? 1

?

???t

?

?

1 3



??s ?

?

?

1 3

??t ? 1

这里不妨选用

?s ? 1

?

???t

?

?

1 3

(当然也可选用

??s ?

?

?

1 3

??t ? 1

, 大 家 可 以 试 一 试 ), 则

? ? 1
an?2 ? an?1 ? ? 3 (an?1 ? an )

?

an?1 ? an

是以首项为

a2

? a1

?1 ,公比为

?

1 3

的等比数列,所以

an?1

?

an

?

(? 1)n?1 ,应用类型 3

1

的方法,分别令

n

? 1,2,3,??????,(n

?1) ,代入上式得 (n

?1)

个等式累加之,

即 an

? a1

?

(? 1)0 3

?

(? 1)1 3

? ?????? ?(? 1)n?2 3

?

1? (? 1)n?1 3
1? 1

3

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 4 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

又? a1

? 1 ,所以 an

?

7 4

?

3 (? 1)n?1。 43

类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) )

解法:利用 an

?

???SS1n

????????????????(n ? 1) ? Sn?1 ??????? (n ? 2)

进行求解。

例 10.

已知数列?an ?前 n 项和 Sn

?

4 ? an

?

1 2n?2

.

(1)求 an?1 与 an 的关系;(2)求通项公式 an .

解:(1)由 Sn

?

4 ? an

?

1 2n?2

得: Sn?1

?

4 ? an?1

?

1 2 n?1

于是 Sn?1

? Sn

? (an

?

an?1

)

?

(

2

1
n?2

?

1) 2 n?1

所以 an?1

?

an

? an?1

?

1 2 n?1

? an?1

?

1 2

an

?

1 2n

.

(2)应用类型 4 的方法,上式两边同乘以 2n?1 得: 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2

? ? 由

a1

? S1

?

4

?

a1

?

1 21?2

? a1

?1 .于是数列

2n an

是以

2

为首项,2

为公差的等差数列,所以

2n an

?

2?

2(n ?1)

?

2n

?

an

?

n 2 n ?1

类型 7 双数列型

解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例 11. 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1 ; 数 列 ?bn ? 中 , b1 ? 0 。 当 n ? 2 时 ,

an

?

1 3 (2an?1

? bn?1 ) , bn

?

1 3 (an?1

? 2bn?1) ,求 an , bn .

解:因 an

? bn

?

1 3 (2an?1

? bn?1 ) ?

1 3 (an?1

? 2bn?1 )

?

a n?1

? bn?1

所以 an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? an?2 ? bn?2 ? ? ? ? ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ? 1

即 an ? bn ? 1…………………………………………(1)

又因为 an

? bn

?

1 3 (2an?1

? bn?1 ) ?

1 3 (an?1

? 2bn?1 )

?

1 3 (an?1

? bn?1 )

所以 an

? bn

?

1 3 (an?1

? bn?1 )

?

(

1) 3

2

an?2

? bn?2 )

? …… ?

(

1 3

)

n?1

(a1

? b1)

?

(1) 3

n?1

.即

an

? bn

?

? (1)n?1 ………………………(2) 3

由(1)、(2)得: an

? 1 [1? (1)n?1], 23

bn

? 1 [1? (1)n?1] 23

四、待定系数法(构造法)

求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 5 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知 为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地,形如 a n?1 =p a n +q(p≠1,pq≠0)型

的递推式均可通过待定系数法对常数 q 分解法:设 a n?1 +k=p(a n +k)与原式比较系数可得 pk-k=q,即

k=

q p ?1

,从而得等比数列{a n

+k}。



12、数列{a

n

}满足

a1

=1,a

n

=

1 2

a

n?1 +1(n≥2),求数列{a

n

}的通项公式。

解:由

a

n

=

1 2

a

n?1 +1(n≥2)得

a

n

-2=

1 2

(a

n?1 -2),而

a1

-2=1-2=-1,

∴数列{

a

n

-2}是以

1 2

为公比,-1

为首项的等比数列

∴a

n

-2=-(

1 2



n ?1

∴a

n

=2-(

1 2



n ?1

说明:这个题目通过对常数 1 的分解,进行适当组合,可得等比数列{ a n -2},从而达到解决问题的目的。

例 13、数列{a n }满足 a 1 =1, 3an?1 ? an ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。

解:由 3an?1

?

an

?7

?

0 得 an?1

?

?1 3

an

?

7 3



a

n?1 ?k

?

?

1 3

(an

?

k)

,比较系数得 ?

k

?

k 3

?

7 3

解得 k

?

?

7 4

∴{ an

?

7 4

}是以 ?

1 3

为公比,以 a1

?

7 4

?1?

7 4

?

?

3 4

为首项的等比数列

∴ an

?

7 4

?

?

3 4

? (? 1)n?1 3

?

an

?

7 4

?

3 ? (? 1)n?1 43

例 14.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求 an .

解:设 an?1 ? t ? 3(an ? t) ,则 an?1 ? 3an ? 2t ? t ? 1,
an?1 ?1 ? 3(an ?1) ? ?an ? 1? 是 以 (a1 ?1) 为 首 项 , 以 3 为 公 比 的 等 比 数 列

? an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? an ? 2 ? 3n?1 ?1

点评:求递推式形如 an?1 ? pan ? q (p、q 为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造新数

列 an?1

?

q p ?1

?

p(an

? q ) 来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求,这也是近年高考考得很多的 1? p

一种题型.

? ? 例 15.已知数列 an 满足 a1 ? 1 , an ? 3n ? 2an?1 (n ? 2) ,求 an .

解:将 an

?

3n

?

2an?1

两边同除 3n

,得

an 3n

?

1?

2an?1 3n

?

an 3n

?

1?

2 3

an?1 3n?1

设 bn

?

an 3n

,则 bn

?1?

2 3

bn?1

.令

bn

?t

?

2 3

(bn?1

? t) ? bn

?

2 3

bn?1

?

1t 3

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 6 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

?

t

?

3 .条件可化成 bn

?3

?

2 3

(bn?1

? 3) ,数列?bn

? 3?是以 b1

?3

?

a1 3

?3

?

?8 3

为首项, 2 3

为公比的等

比数列. bn

?3?

?

8 3

?

(

2 3

)

n?1

.因

bn

?

an 3n

,

?an

? bn 3n

? 3n (? 8 ? ( 2)n?1 33

? 3)

? an

? 3n?1

? 2n?2 .

点评:递推式为 an?1 ? pan ? q n?1 (p、q 为常数)时,可同除 q n?1 ,得

an?1 q n?1

?

p q

?

an qn

? 1,令 bn

?

an qn

从而化归为 an?1

?

pan

? q (p、q 为常数)型.

2、通过分解系数,可转化为特殊数列{an ? an?1} 的形式求解。这种方法适用于 an?2 ? pan?1 ? qan 型的递

推式,通过对系数 p 的分解,可得等比数列 {an ? an?1} :设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较系数得

h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h, k 。

? ? 例 16、数列 an 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, an?2 ? 3an?1 ? 2 an =0,求数列{a n }的通项公式。

分析:递推式 an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合,即把中间一项 an?1 的系

数分解成 1 和 2,适当组合,可发现一个等比数列{an ? an?1} 。

解:由 an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 得 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? 0 即 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an),且 a2 ? a1 ? 5 ? 2 ? 3

∴{an?1 ? an }是以 2 为公比,3 为首项的等比数列 ∴ an?1 ? an ? 3 ? 2n?1 利用逐差法可得 an?1 ? (an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

= 3? 2n?1 ? 3? 2n?2 ??? 3? 20 ? 2 = 3 ? (2n?1 ? 2n?2 ? ? ? 2 ? 1) ? 2

=3?1? 2n ? 2 1? 2

=3? 2n ?1

∴ an ? 3? 2n?1 ?1

例 17、数列 ?an ?中, a1 ? 1, a2 ? 2,3an?2 ? 2an?1 ? an ,求数列?an ?的通项公式。

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 7 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

解:由 3an?2

?

2an?1

? an 得 an?2

?

2 3

an?1

?

1 3

an

,



an?2

? kan?1

?

h(an?1

? kan )

比较系数得 k ? h ? 2,? kh ? 1 ,解得 k ? 1, h ? ? 1 或 k ? ? 1 , h ? 1

3

3

3

3

若取 k

? 1, h

?

?

1 3

,则有 an?2

?

an?1

?

?

1 3

(an?1

?

an )

∴ {a n ?1

?

an }是以 ?

1 3

为公比,以 a2

?

a1

?

2

?1

? 1为首项的等比数列

∴ an?1

? an

? (? 1)n?1 3

由逐差法可得 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

= (? 1)n?2 ? (? 1)n?3 ? ? ? (? 1)2 ? (? 1) ?1?1

3

3

3

3

1? (? 1)n?1

=

3

1? 1

?1=

3 4

???1 ?

(?

1) 3

n ?1

? ??

?1

?

7 4

?

3 4

?

(?

1) n?1 3

3

说明:若本题中取 k

?

?1,h 3

? 1,则有 an?2

?

1 3 an?1

?

an?1

?

1 3

an

即得

{an?1

?

1 3

an } 为常数列,

an?1

?

1 3

an

?

an

?

1 3

an?1

??

?

a2

?

1 3

a1

? 2 ? 1 ? 7 故可转化为例 13。 33

? ? 例 18.已知数列 an

满足 a1

? 1, a2

?

2 , an?2

?

2 3

an?1

?

1 3

an

求 an



解:设 an?2 ? san?1 ? t(an?1 ? san ) ?

an?2

?

(s

? t)an?1

?

stan

?

???s

?t

?

2 3

? ???st

?

?

1 3

?

??s ? 1

???t

?

?

1 3



??s ?

?

?

1 3

??t ? 1

? ? 则条件可以化为 an?2

?

an?1

?

?

1 3

(an?1

? an )

?

an?1 ? an

是以首项为

a2

?

a1

? 1,公比为

?

1 3

的等比数列,

所以 an?1

? an

?

(?

1) 3

n?1

.问题转化为利用累加法求数列的通项的问题,解得

a

n

?

7 4

?

3 (? 1)n?1 . 43

点评:递推式为 an?2 ? pan?1 ? qan (p、q 为常数)时,可以设 an?2 ? san?1 ? t(an?1 ? san ) ,其待定常 数 s、t 由 s ? t ? p , st ? ?q 求出,从而化归为上述已知题型.

五、特征根法

1、设已知数列{an } 的项满足 a1 ? b, an?1 ? can ? d ,其中 c ? 0, c ? 1, 求这个数列的通项公式。作出一个方

程 x ? cx ? d, 则当 x0 ? a1 时, an 为常数列,即 an ? a1;当x0 ? a1时, an ? bn ? x0 ,其中{bn }是以 c 为公比

的等比数列,即 bn ? b1c n?1 , b1 ? a1 ? x0 .
北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 8 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思



19.已知数列{an } 满足: an?1

?

?

1 3

an

?

2, n ?

N, a1

?

4,



an .

解:作方程

x

?

?1 3

x

?

2, 则x0

?

?

3. 2

当 a1

?

4

时, a1

?

x0 , b1

?

a1

?

3 2

?

11. 2

数列

{bn }

是以

?1 3

为公比的等比数列.于是

bn

?

b1

(?

1) 3

n?1

?

11 2

(?

1) 3

n?1

,

an

?

?

3 2

? bn

?

?

3 2

? 11(? 1)n?1, n ? N. 23

2、对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ?, a2 ? ? 给出的数列?an ?,方程 x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数

? ? ? ? 列 an

的特征方程。若 x1 , x2 是特征方程的两个根,当 x1 ? x2 时,数列 an

的通项为 an

?

Ax1n?1

?

Bx

n?1 2



其中

A,B 由 a1

? ?,a2

?

?

决定(即把 a1, a2 , x1, x2 和 n ? 1,2 ,代入 an

?

Ax1n?1

?

Bx

n?1 2

,得到关于

A、

B 的方程组);当 x1 ? x2 时,数列 ?an ?的通项为 an ? ( A ? Bn)x1n?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ?, a2 ? ? 决定(即

把 a1, a2 , x1, x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn)x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组)。

例 20:已知数列?an ?满足 a1 ? a, a2 ? b,3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,求数列?an ?的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法)

由 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0 ,得

an?2

? an?1

?

2 3

(an?1

? an ) ,

且 a2 ? a1 ? b ? a 。

? 则数列 an?1

?

an ?是以 b

?

a

为首项,

2 3

为公比的等比数列,于是

an?1

? an

?

(b ? a)(2)n?1 。把 n 3

? 1,2,3,? ? ?, n 代入,得

a2 ? a1 ? b ? a ,

a3

?

a2

?

(b

? a) ? (2), 3

a4

?

a3

?

(b

?

a) ? (2)2 3



???

an

?

an?1

?

(b

?

a)(2)n?2 3



把以上各式相加,得

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 9 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

an

?

a1

?

(b

?

a)[1 ?

2 3

?

(2) 3

?

????

(2)n?2 ] 3

?

1 ? ( 2)n?1 3
1? 2

(b

?

a)



3

? an

? [3 ? 3( 2)n?1](b ? a) ? a 3

? 3(a ? b)(2)n?1 3

? 3b ? 2a 。

解法二(特征根法):数列?an ?: 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b 的特征方程是:

3x2 ? 5x ? 2 ? 0 。

? x1

? 1, x2

?

2 3

,

? an

?

Ax1n?1

?

Bx

n?1 2

?

A?

B ? ( 2)n?1。 3

又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是

?a ? ???b

? ?

A? A?

B 2 3

B

?

?A ??B

? ?

3b ? 2a 3(a ? b)

故 an

?

3b

? 2a

? 3(a

? b)(2)n?1 3

3、如果数列{an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有 an?1

?

pan ? q ran ? h

(其中 p、q、r、h 均为

常数,且

ph ?

qr, r

? 0, a1

? ? h ),那么,可作特征方程 x ? r

px ? q rx ? h

,当特征方程有且仅有一根 x0 时,则

? ? ?

an

1 ?

x0

? ? ?

是等差数列;当特征方程有两个相异的根

?1



?2

时,则

? ? ?

an an

? ?

x1 x2

? ? ?

是等比数列。

(2006.重庆.文.22).(本小题满分 12 分)

数列{an }满足a1 ? 1且8a a n?1 n ?16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 求数列{an } 的通项公式.

解:由已知,得 an?1

? 2an ? 5 16 ? 8an

,其特征方程为 x

? 2x ?5 16 ? 8x

,解之,得 x

?

1 或x 2

?

5 4

? an?1

?

1 2

?

6(an

?

1) 2

16 ? 8an

,? an?1

?

5 4

?

12(an

?

5) 4

16 ? 8an

an?1 ?
an?1

? ?

1
2 5
4

?

1 2

an an

? ?

1
2 5
4

an ,?
an

? ?

1
2 5
4

?

a1 a1

? ?

1
2 5
4

? ( 1 )n?1 2

?

?

4 2n

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 10 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

an

?

2n?1 ? 5 。 2n ? 4

P26 (styyj)



21、已知数列{an }满足性质:对于 n ?

N, an?1

?

an ? 4 2an ? 3

,



a1

?

3, 求{an } 的通项公式.

解:

数列{an } 的特征方程为 x ?

x ? 4 , 变形得 2x2 2x ? 3

? 2x ? 4 ? 0, 其根为 ?1

? 1, ?2

? ?2.故特征方程有两

个相异的根,使用定理 2 的第(2)部分,则有

cn

?

a1 a1

? ?1 ? ?2

?(

p ? ?1r ) n?1 p ? ?2r

?

3?1 3?2

? ( 1 ? 1? 2 )n?1, n ? N. 1? 2? 2

∴ cn

?

2 (? 1)n?1, n ? N. 55

∴ an

?

?2cn ? ?1 cn ?1

?

? 2 ? 2 (? 1)n?1 ?1

55

, n ? N.

2 (? 1)n?1 ?1

55

即 an

?

(?5)n ? 4 , n ? N. 2 ? (?5)n



22.已知数列{an } 满足:对于

n?

N,

都有

a n?1

?

13an ? 25 an ? 3

.

(1)若 a1 ? 5, 求 an ; (2)若 a1 ? 3, 求 an ; (3)若 a1 ? 6, 求 an ;

(4)当 a1 取哪些值时,无穷数列{an } 不存在?
解:作特征方程 x ? 13x ? 25 . 变形得 x2 ?10 x ? 25 ? 0, x?3
特征方程有两个相同的特征根 ? ? 5. 依定理 2 的第(1)部分解答.
(1)∵ a1 ? 5,?a1 ? ?.?对于 n ? N, 都有 an ? ? ? 5;

(2)∵ a1 ? 3,? a1 ? ?.

∴ bn

?

1 a1 ? ?

? (n ?1)

r p ? r?

? 1 ? (n ?1) ? 1

3?5

13 ?1? 5

? ? 1 ? n ?1, 28

令 bn ? 0 ,得 n ? 5.故数列{an } 从第 5 项开始都不存在,

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 11 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

当 n ≤4, n ? N 时, an

?

1 bn

??

?

5n ?17 n?5

.

(3)∵ a1 ? 6, ? ? 5, ∴ a1 ? ?.

∴ bn

?

1 a1 ? ?

? (n ?1)

p

r ? ?r

?1?

n ?1,n? N. 8

令 bn ? 0, 则 n ? ?7 ? n. ∴对于 n ? N, bn ? 0.

∴ an

?

1 bn

??

? 1?

1 n ?1

?5?

5n ? 43 , n ? N. n?7

8

(4)、显然当 a1 ? ?3 时,数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知, a1 ? 5 时,数列

{an } 是存在的,当 a1

?

?

? 5 时,则有 bn

?

1 a1 ? ?

? (n ?1)

r p ? ?r

?

1 a1 ? 5

?

n

? 8

1

,

n

?

N.



bn

?

0, 则



a1

?

5n n

?13 , n ?1

?

N



n

≥2.

∴当 a1

?

5n ?13 n ?1

(其中 n ?

N且

N≥2)时,数列{an } 从第 n

项开始便不存在.

于是知:当

a1

在集合

{?3



5n n

? 13 ?1

:

n

?

N

,



n

≥2}上取值时,无穷数列

{an

}

都不存在.

说明:形如: an

?

ma n?1 k (an?1 ? b)

递推式,考虑函数倒数关系有 1 an

? k( 1 an?1

? 1) m

?

1 an

?k? 1 an?1

?k m



bn

?

1 an

? ? 则 bn 可归为 an?1

?

pan

?q

型。(取倒数法)

例 23: an

?

3

?

an?1 an?1

?

1

,

a1

?1

解:取倒数: 1 ? 3? an?1 ?1 ? 3 ? 1

an

an?1

an?1

?

? ? ?

1 an

? ? ?

是等差数列,

1 an

?

1 a1

? (n ?1) ? 3

? 1? (n ?1) ?3 ? an

?1 3n ? 2

六、构造法

构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,有时会联想出一种适当的

辅助模型,如某种数量关系,某个直观图形,或者某一反例,以此促成命题转换,产生新的解题方法,这

种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式,此类题通常

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 12 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

较难,但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.

1、构造等差数列或等比数列

由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若能构造等差数列或等比数列,无疑

是一种行之有效的构造方法.

例 24: 设各项均为正数的数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,对于任意正整数 n,都有等式:an2 ? 2an ? 4Sn 成 立,求?an ?的通项 an.

解: an2

? 2an

?

4Sn

?

a2 n?1

? 2an?1

? 4Sn?1 ,

∴ an2 ? an2?1 ? 2an ? 2an?1 ? 4(Sn ? Sn?1 ) ? 4an

? ? (an ? an?1)(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,∵ an ? an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 . 即 an 是以 2 为公差的等差数列,且

a12 ? 2a1 ? 4a1 ? a1 ? 2 .

∴ an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n

例 25: 数列 ?an ?中前 n 项的和 Sn ? 2n ? an ,求数列的通项公式 an .







a1 ? S1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 1



n



2





? ? an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? an ? 2(n ?1) ? an?1

?

?an

? 2 ? an?1

?

an

?

1 2

an?1

?1

?

an

?2

?

1 2

(an?1

? 2)

令 bn

?

an

? 2 ,则 bn

?

1 2

bn?1

,且

b1

?1? 2

?

?1

?bn ?是以

1 2

为公比的等比数列, bn

?

?1? ( 1 )n?1 2

?

?( 1 )n?1 2

∴ an

?

2 ? ( 1 )n?1 . 2

2、构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项

公式.

? ? 例 26: 设 an 是首项为 1 的正项数列,且 an2 ? an2?1 ? nan ? nan?1 ? 0 ,(n∈N*),求数列的通项公式 an.

解:由题设得 (an ? an?1)(an ? an?1 ? n) ? 0 . ∵ an ? 0 , an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 0 .

∴ an ? an?1 ? n

an

?

a1

? (a2

? a1)

? (a3

? a2 ) ??(an

? an?1)

?1?

2 ? 3 ???

n

?

n(n ?1) 2



27 :

数 列 ?an ? 中 ,

a1 ? 1, a2 ? 3 ,且 an?2 ? (n ? 3)an?1 ? (n ? 2)an ,(n∈N*),求通项公式 an . 解:? an?2 ? an?1 ? (n ? 2)(an?1 ? an ) ? (n ? 2)(n ? 1)(an ? an?1 ) ? ? ? (n ? 2)(n ?1) ?4 ? 3(a2 ? a1) ? (n ? 2)! ∴ an ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1) ? 1? 2!?3!??n!(n∈N*)
3、构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.

? ? 例 28:

数列

an

中, a1

?

1 2

,前

n

项的和 Sn

?

n2an

,求 an?1 .

解: an ? Sn ? Sn?1 ? n2an ? (n ?1)2 an?1 ? (n2 ?1)an ? (n ?1)2 an?1

? an ? n ?1 , an?1 n ?1

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 13 页

中学教育研发网(www.book678.com)

博学而笃志 切问而近思

∴ an

?

an an?1

?

an?1 an?2

? a2 a1

? a1

?

n n

?1? ?1

n

? n

2?1 ? 3

1 2

?

1 n(n ?1)



an ?1

?

(n

1 ? 1)( n

?

2)

4、构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.

例 29: 设正项数列 ?an ?满足 a1 ? 1, an ? ? ? 2an2?1 (n≥2).求数列 an 的通项公式.

解:两边取对数得:

log

an 2

?

1

?

2

log

an ?1 2



log

an 2

?1

?

2(log

an ?1 2

? 1)

,设

bn

?

log

an 2

?

1



则 bn ? 2bn?1

?bn

?是以

2

为公比的等比数列,

b1

?

log

1 2

?1

?

1.

bn

? 1? 2n?1

?

2 n ?1



log

an 2

?1

?

2 n ?1



log

an 2

? 2n?1 ?1 ,

∴ an ? 22n?1?1

例 30:

已知数列 ?an ?中, a1

? 2 ,n≥2 时 an

?

7an?1 ? 3 ,求通项公式. 3an?1 ? 1

解:∵

an

?1

?

4an?1 3an?1

?4 ?1

,两边取倒数得

1 an ?1

?

1 an?1 ?1

?

3 4

.

可化为等差数列关系式.

1 ? 1 ? 3 (n ?1) ? 3n ?1

an ?1 a1 ?1 4

4



an

?

3n ? 5 3n ?1

总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.

北京海淀区新街口外大街 19 号京师大厦 邮箱:3004886@qq.com

共 14 页 第 14 页


相关文档

(第44讲)高中数学复习专题讲座-数列通项为公式的求法
高考数学复习专题讲座 数列通项公式的求法
(第13讲) 高中数学复习专题讲座-数列的通项公式与求和的常用方法
高中数学复习专题讲座数列的通项公式与求和的常用方法
高中数学复习专题讲座(第13讲)_数列的通项公式与求和的常用方法
广东省珠海市金海岸中学高中数学复习专题讲座-数列通项公式的求法
高中数学复习专题讲座(第44讲)数列通项为公式的求法
(第45讲)高中数学复习专题讲座-特征方程法求递推数列的通项公式
电脑版