四川省叙永一中2013-2014学年高二数学上学期期中试卷 理
叙永一中 2013 年秋期高 2012 级半期考试 数 学 试 卷（理）
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第一部分 1 至 2 页，第 二部分 3 至 4 页．共 150 分．考试时间 120 分钟． 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂写在答题卡上． 祝你考试成功！ 第一部分 （选择题 共 50 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用笔写、涂在答题卡的规定的位 置上； 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把机读卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案； 3．本部分共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心和半径分别是 A． (?1,2) ，3 B． (1,?2) ，3
x
C． (?1,2) ，1
D． (1,?2) ，1
?1? 2．已知全集为 R，集合 A ? {x | ? ? ? 1} ， B ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ，则 A ? B ? ?2?
A． {x | ?1 ? x ? 0} B． {x | 0 ? x ? 3} C． {x | 1 ? x ? 3} D． {x | 0 ? x ? 1}
3．设 a, b, c ? R ，且 a ? b ，则 A． ac ? bc
2 2
B．
1 1 ? a b
C． a ? b
3
3
D． a ? b
2
2
4．下列命题正确的是 A．若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 B．若平面 ? ? ? ， ? ? ? ，则平面 ? ? ? C．平行四边形的平面投影可能是正方形 D．若一条直线上的两个点到平面 ? 的距离相等，则这条直线平行于平面 ? 5．若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?
2
1 1 ? x ? } ，则 a ? b 的值是 2 3
C．10 D．14
A． ? 10
B． ? 14
6．在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，直线 A1 B 与平面 A1 B1CD 所成的角为 A． 30? B． 45? C． 60? D． 90?
y 2 2 7．如果实数 x，y 满足 ( x ? 2) ? y ? 2 ，那么 的最大值是 x
1
A．
1 2
B．
3 3
C．1
D． 3
8．椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A、B，左焦点是 F1 ，O 为坐标原点．若 a2 b2
AF1 ， OF1 ， BF1 成等比数列，则此椭圆的离心率为
A．
5 5
B．
1 2
C．
3 3
D．
2 2
9．某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A、B 两种车辆的载客量分别 为 36 人和 60 人， 租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆， 旅行社要求租车总数不超过 21 辆， 且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为 A．38400 元 B．36800 元 C．36000 元 D．31200 元 10．若正数 x，y 满足 x ? 3 y ? 2 xy ，则 3x ? 4 y 的最小值是 A．12 B．14 C．
25 2
D．15
第二部分 （非选择题 共 100 分）
2
注意事项： 1． 0． 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上． 用 5 作图题可先用铅笔绘出， 确认后再用 0． 5 毫米黑色签字笔描清楚． 2．本部分共 11 个小题，共 100 分． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．双曲线
x2 ? y 2 ? 1 的渐近线的方程是 4
▲
▲
．
12．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图 如图所示，则该四棱锥的侧面积是 ．
13． 若直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 有两个不 同的交点，则实数 k 的取值范围是 ▲ ．
14．点 M 是边长为 1 的正方形 ABCD 内或边界上的一点，N 是边 BC 的中点，则 AM ? AN 的 最大值是 ▲ ．
15．如图，在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，给出下列四个命题： ①点 P 在直线 BC1 上运动时，三棱锥 A ? D1 PC 的 体积不变； ②点 P 在直线 BC1 上运动时， 直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变； ③点 P 在直线 BC1 上运动时， 二面角 P ? AD1 ? C 的大小不变； ④点 M 是平面 A1 B1C1 D1 上到点 D 和 C1 距离相等的 点，则点 M 的轨迹是过点 D1 的直线． 其中真命题的编号是 ▲ ． （写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本小题满分 12 分） 已知圆 C : x ? ( y ? 2) ? 4 ．
2 2
（Ⅰ）若过点 M (?2,?3) 的直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的方程； （Ⅱ）已知点 A(2,0) ，点 B 在圆 C 上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程．
17． （本小题满分 12 分） 某单位建造一间背面靠墙的小房， 地面为面积是 12 m 的矩形， 房屋正面每平方米的造
3
2
价为 1200 元，房屋侧面每平方米的造价为 800 元，屋顶的造价为 6800 元．如果墙高为 3m， 且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 18． （本小题满分 12 分） 已知双曲线 C 的两个焦点分别为 F1 (?2 2 ,0) 、F2 ( 2 2 ,0) ， 双曲线上一点 P 到 F1 、F2 的距离的差的绝对值等于 4． （Ⅰ）求双曲线的标准方程； （Ⅱ）若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 C 没有公共点，求实数 k 的取值范围．
19． （本小题满分 12 分） 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 10 x ? 2 y ? 10 ? 0 ． （Ⅰ）若过点 (4,?2) ，倾斜角为 135 ? 的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求 AB 的长； （Ⅱ）求经过点 M (1,?1) ，且与圆 C 相切于点 N ( ,? ) 的圆的方程．
9 5
7 5
20． （本小题满分 13 分） 如图，一张平行四边形的硬纸片 ABC1 D 中， AD ? 1 ， AB ? 的对角线 BD 把 ?BDC1 折起， 使点 C1 到达平面 ABC1 D 外点 C 的位置． （Ⅰ）证明：平面 ABC1 D ? 平面 CBC1 ； （Ⅱ）如果 AB ? AC ，求二面角 A ? BD ? C 的大 小． 21． （本小题满分 14 分） 设椭圆 E :
3 ， BD ? 2 ，沿它
x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，离心率为 ，过点 F1 2 2 a b
且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 3． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）是否存在过点 F1 的直线 m 与椭圆 E 交于 A、 B 两点，且使得 F2 A ? F2 B ？若存 在，求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由．
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