高中数学苏教版必修三《2.3.2方差与标准差》课件_图文

2. 3. 2 方 差 与 标 准 差

黄建忠制作

有甲、乙两种钢筋现从中各抽取一个样本?如表? , 检查它们的抗拉程度 单位 : kg / mm2 , 通过计算发 现,两个样本的平均数均为 . 125

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甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145

? 哪一种钢筋的质量较好 ?

将甲、乙两个样本数据 分别标在数轴上 ,如下图所示 .
105 110 115 120 125 130 135 140

极差
极差



乙 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145

从图中可以看出乙样本的最小值 低于甲样本的最 , 100 小值 110, 最大值145高于甲样本的最大值 , 这说明 135 乙种钢筋没有甲种钢筋 的抗拉强度稳定 . 我 们 把 一 组 数 据的最大 值与最小 值的差 称 为极差 ?range?, 从 图中可以看出,乙的 极 差较大, 数据点较分 散;甲的极差小, 数据点较 集中, 这说 明甲比乙 稳定.运 用极差对两组数 据 进行比 较, 操 作 简单方便, 但若两 组数据的集中程度差异 不大时, 就不容易得出结论 .

我们还可以考虑 每一抗拉强度与平均抗拉强度的 离差, 离差越小, 稳定性 就 越 高.结合上节有关离差 的讨论, 可用各次抗拉强度与平 均抗拉强度的差的 平方和表示由于两组数据的容量可 . 能不同,因此应 将上述平方和除以数据 的个数, 我们把由此所得的 值称为这组数据的 方差 ?varirnce?.

因为方差与原始数据的 单位不同 且平方后可能夸 , 大了离差的程度我们将方差的算术平方 , 根称为这 ? 组数据的标准差 ?s tandard deviation .标 准 差也可 以刻画数据的稳定性 .

一般地, 设一组样本数据 x1 , x2 ,? ? ?, xn , 其平均数为 x, 则称 2 1 n 2 s ? ? xi ? x 为这个样本的方差, n i ?1 2 1 n 其算术平方根 s ? ? xi ? x 为样本的标 n i ?1

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准差, 分别简称样本方差、样本标准差.
根据上述方差计算公式可算得甲、乙两种样 本的方差分别为50 和165, 故可以认为甲种钢 筋的质量好于乙种钢筋 .

例 4 甲、乙两种水稻试验品 种连续5年的平均单位面积 产量如下 单位:t / hm 2 , 试 根 据这组数据估计哪一种 水 稻品种的产量比较稳定 .

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品 种 第1年 第2 年 第3 年 第4 年 第5 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8

解 甲品种的样本平均数为 , 样本方差为 10 ?9.8 ? 10?2 ? ?9.9 ? 10?2 ? ?10.1 ? 10?2 ? ?10 ? 10?2 ? ?10.2 ? 10?2 ? 5 ? 0.02 乙品种的样本平均数也 10, 样本方差为 为 ?9.4 ? 10?2 ? ?10.3 ? 10?2 ? ?10.8 ? 10?2 ? ?9.7 ? 10?2 ? ?9.8 ? 10?2 ? 5 ? 0.24 因为0.24 ? 0.02, 所以,由这组数据可以认为甲 种水稻的产量 比较稳定.

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例5 为了保护好学生的视力教室内的日光灯在 , 使用一段时间后必须更 . 换已知某学校使用的 100 只日光灯在必须 掉前的使用天数如下试 估计 换 , 这种日光灯的平均使用寿命和标 准差.
天数
灯泡数
151~ 181~ 211 ~ 241 ~ 271 ~ 301 ~ 331 ~ 361 ~ 180 210 240 270 300 330 360 390

1

11

18

20

25

16

7

2

分析 用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使 用寿命,再求平均寿命 .

解 各组中值分别为165, 195, 225, 255, 285, 315, 345, 375, 由此算得平均数为 165 ? 1 % ? 195 ? 11 % ? 225 ? 18 % ? 255 ? 20 % ? 285 ? 25 % ? 315 ? 16 % ? 345 ? 7 % ? 375 ? 2 %

? 267.9 ? 268 ?天?. 这些组中值的方差为 1 2 2 2 ? ?1 ? ?165 ? 268 ? ? 11 ? ?195 ? 268 ? ? 18 ? ?225 ? 268 ? 100 2 2 2 ? 20 ? ?255 ? 268 ? ? 25 ? ?285 ? 268 ? ? 16 ? ?315 ? 268 ? ?
7 ? ?345 ? 268 ? ? 2 ? ?375 ? 268 ? ? 2128.60 天2 ,
2 2

故所求的标准差为 2128.6 ? 46 ?天?. 答 估计这种日光灯的平使用寿命约为268 天, 标准差约 为46 天.

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