选)浙江省绍兴一中2011-2012学年高二数学下学期期末考试 理

浙江绍兴一中 2011—2012 学年度下学期期末考试 高二数学理试题
一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.设集合 A ? {3 , 5 , 6 ,8} ,集合 B ? { 4 , 5 , 7 ,8} ,则集合 A ? B 的子集个数为 A.1 B.2
3 ?

( D.4



C.3
2 i ,③ z ? ?

2.以下四个复数:① z ? 1 ? 2 i ,② z ? 内对应的点在同一圆上的有 A.①②③ B. ①②④

5 i ,④ z ? 5 ,它们在复平面

C. ②③④

( ) D.①②③④ ( )

? e x?2 , x ? 0 3.已知函数 f ( x ) ? ? , 则使得 f ( x ) ? 1 成立的所有 x 的值为 ? | x ? 1 |, x ? 0

A. ? 2

B. 0 , 2

C. 0 , ? 2

D. 0 , ? 2 )

4.把 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子中, 若每个盒子均非空, 则不同的放法种数为( A.28 B. 36 C. 64 D. 72 5 函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1 ? ? A. ? 0 ,1 ?
2 x

的零点所在的区间是 B. ?1, 2 ? C. ? 2 , 3 ?

( D. ?3 , 4 ?



6.设 f ' ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ' ( x ) 的图象画在同一个直角坐标系 中,... 不可能正确的是 ( )

7.
y ? cx
2





C 次 函



y ? ax

2

? bx ? c

D



? bx ? a ( ac ? 0 , a ? c ) 的值域分别为 M 和 N ,则集 合 M 和 N 必定满 足

(

)

A.M ? N ?
5

B.M ? N ?
5

C.M∩N=?

D.M∩N≠?
( D. 4
5

8.若 (1 ? x ) ? a 0 ? a 1 (1 ? x ) ? ? ? a 5 (1 ? x ) ,则 | a 0 | ? | a 1 | ? ? ? | a 5 |? A. 1
5



B. 2

5

C. 3

5

用心 爱心 专心

1

9.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足:f ( ? 1) ? ? 2 , 且当 x ? 0 时 f / ( x ) ? 2 ,则不等式 的解集为 A. ( ? 1, 0 ) ? (1, ?? ) B. ( ? 1, 0 ) ? ( 0 ,1) C. ( ? 1, ?? )

f (x) ? 2 x

( D. (1, ?? )

)

10.如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下 规则标上数字标签:原点 ( 0 , 0 ) 处标 0,点 (1, 0 ) 处标 1,点 (1, ? 1) 处标 2, 点 ( 0 , ? 1) 处标 3, (-1, ? 1) 处标 4,点 (-1, 0 ) 处标 5,???,依此类推, 点 则标签 2011 ? 2012 对应的格点的坐标为 A. (1005 , ? 1005 ) B. (1006 , ? 1006 ) ( C. (1006 , -1005 ) ) D. (-1006 ,1006 )

二、填空题(每题 3 分,共 21 分) 11.已知复数 z ? 2 ? i , z 是 z 的共轭复数,则
z z ?

.

12. C 2012 ? C 2012 ? C 2010 ? ? ? C 2012 ?
2 4 6 2012

. .

13.函数 f ( x ) ? ( x ? 2 ) e
2

2x

的极小值为

14.客厅里 4 个座位上依次坐有 4 人,现作如下调整:一人位置不变,其余三人位置均相互 调换,则不同的调整方案的种数为 . 15.在平面直角坐标系中, M : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 5 在点 A ( 3 , 2 ) 处的切线方程可如下求解: 圆
2 2

设 P ( x , y ) 为切线上任一点,则由向量方法可得切线方程为: 2 x ? y ? 8 ? 0 ,类似地,在 空间直角坐标系中,球 M : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? 1) ? 6 在点 A ( 3 , 2 , 2 ) 处的切面方程为
2 2 2

. 16.已知数列 { a n } 共有 8 项,满足 a i ? { 0 ,1}( 1 ? i ? 6 ) , a j ? { ? 1,1}( 7 ? j ? 8 ) ,若数列
{ a n } 的前 8 项和 S 8 ? 4 ,则满足条件的数列 { a n } 的个数为

.

17.我们把具有以下性质的函数 f ( x ) 称为“好函数”:对于在 f ( x ) 定义域内的任意三个 数 若这三个数能作为三角形的三边长, f ( a ), f ( b ), f ( c ) 也能作为三角形的三边长. 则 a, b, c , 现有如下一些函数: ① f (x) ?
x

② f ( x ) ? 1 ? x, x ? (0, )
2
用心 爱心 专心 2

1

③ f ( x ) ? e , x ? ( 0 ,1)
x

④ f ( x ) ? sin x , x ? ( 0 , ? ) . .

其中是“好函数”的序号有 三、解答题(共 49 分) 18.(8 分)已知全集 U ? { x ? N | y ?
*

? x

2

? 3 x ? 2 } ,集合 A ? { x | ax ? 1 ? 0 } ,集合

B ? {x | x

2

? ( a ? 3 ) x ? 2 a ? 2 ? 0 } , 若 C U A ? B ,求 a 的值.

? ? 1 ? 的展开式中,若前三项系数成等差数列. 19.(9 分)在二项式 ? x ? ? ? 3 2? x ? ?

n

(1)求展开式中的常数项; (2)求展开式中系数最大的项.

20.(9 分)设函数 f ( x ) ? log (1)求 t 的值;

1 2

? 1 ? tx ? ? ? (其中 t ? 1 ),若 f ( x ) 是奇函数: ? 1+ x ?

(2)求 f ( x ) 的定义域,并判断 f ( x ) 的单调性; (3)解关于 a 的不等式: f ( a ? 1) ? f ( 2 a ? 1) ? 0 .

21.(11 分)已知函数 f ( x ) 满足: f ( x )- 2 f ( x ) f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 0 ( x ? R ) ,
2

(1) f ( x ) 能否为正比例函数?若能,求出表达式;若不能,说明理由; (2)若 f ( 0 ) ? 4 ,求 f (1)、 f ( 2 ) 的值,并用数学归纳法证明:对任意的 x ? N ,均有:
*

2 ? f (x) ? 3 .

用心 爱心 专心

3

22.(12 分)已知函数 f ( x ) ?

1 3

x ? x
3

2

? ax ( a 为常数)

(1)若 f ( x ) 在区间 [ ? 1, 2 ] 上单调递减,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x ) 与直线 y ? ? 9 相切: (ⅰ)求 a 的值; (ⅱ)设 f ( x ) 在 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 ) ),N( x 2 , f ( x 2 ) ), P( m , f ( m ) ),
x1 ? m ? x 2 , 若对任意的 m ? ( t , x 2 ),线段 MP 与曲线 f(x) ..

均有异于 M,P 的公共点,试确定 t 的最小值,并证明你的结论.

用心 爱心 专心

4

参考答案 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) DADBB CDCAB 二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 11.
3 ? 4i 5
2011



12. 2

?1;

13. ? e ; 14. 8; 15. 2 x ? y ? z ? 10 ? 0 16. 46 17. ①②③ 三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分)
2

18. 分)解:由不等式 ? x ? 3 x ? 2 ? 0 得: 1 ? x ? 2 ,故 U ? {1, 2 } ???2 分 (8
2

(1) 若 A ? ? , 即 : a ? 0 , 则 B ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0 } ? {1, 2 } , 满 足 C U A ? B , 故
2

a ? 0 ?.2 分

(2)若 A ? ? ,则: ①当 A ? {1} 时: a ? 1 ,则 B ? { x | x ? 4 x ? 4 ? 0 } ? { 2 } ,满足 C U A ? B ,故 a ? 1 ?.2
2

分 ② 当 A ? { 2} 时 : a ?
a ? 1 2 1 2

,则 B ? {x | x ?
2

7

3 x ? 3 ? 0} ? { 2 , } , 不 满 足 C U A ? B , 故 2 2

?2 分

综上: a ? 0 或 a ? 1

19. 分)解:展开式的通项为 T r ? 1 ? ( ) C n x (9
r r

1

n?

4r 3

, r ? 0 ,1, 2 ,....., n .
1 2 1 4

2

由已知:( ) C n , ( ) C n , ( ) C n 成等差数列, ∴
2 2 2

1

0

0

1

1

1

2

2

2?

Cn ?1?

1

Cn

2

∴ n ?8

???3

分 (1)令 8 ?
4 1 6 6 7 r ? 0 得 r ? 6 ,故常数项为: T 7 ? ( ) C 8 ? 3 2 16

???2 分

用心 爱心 专心

5

(2)令 a r ? ( ) C 8 ,故
r r

1

a r ?1 ar

2

1 r ?1 r ?1 ( ) C8 8?r 2 ? = ,???2 分 1 r r 2 ( r ? 1) ( ) C8 2



8? r 2 ( r ? 1)

? 1 ,解得: r ? 2 ,即有: , a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ?
8 16 3

故系数最大的项分别为:

1 2 2 8? T3 ? ( ) C 8 x 3 ? 7 x 2



???2 分 1 3 3 8?4 4 T4 ? ( ) C 8 x ? 7x 2
2

20. (9 分)解: (1)由 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 可得: ( n ? 1) x ? 0 ,该式对定义域内的 x 恒
2

成立, 故 n ? 1 ,又 n ? 1 ,故 n ? ? 1 ?????2 分
2

(2)当 n ? ? 1 时, f ( x ) 的定义域为: ( ? 1,1) ?????1 分
?1? x ? ? ? ? log ? 1+ x ? 2 ? ? ??1? ? ,由复合函数的单调性判断可知: f ( x ) 在区间 1+ x ? 2 ?

又 f ( x ) ? log

1 2

1

( ? 1,1) 上单调递增. ?????2 分

(3) f ( a ? 1) ? f ( 2 a ? 1) ? 0 等价于 f ( a ? 1) ? f (1- 2 a ) ,结合(1) (2)可得:
? ?1? a ?1?1 2 ? ? ? 1 ? 1 ? 2 a ? 1 ,?????3 分,解得: a ? [ ,1 ) ?????1 分 3 ? a ? 1 ? 1 ? 2a ?

(注意:直接带入表达式求解也行,参照该标准相应给分)
- 21. 分) (1) (11 解: 假设 f ( x ) ? kx , ( k ? 0 ) , 代入可得: k x ? ( 2 k ? 2 k ) x ? 2 k ? 0
2 2 2

对任意 x 恒成立, 故必有 k ? 0 , 但由题设知 k ? 0 , f ( x ) 不可能为正比例函数??.??4 故 分 (2)由 f ( 0 ) ? 4 ,可得: f (1 ) ?
8 3

, f (2) ?

32 15

????.2 分

当 x ? 1 时:显然有 2 ? f (1) ? 3 成立. 假设当 x ? k 时,仍然有 2 ? f ( k ) ? 3 成立. 则当 x ? k ? 1 时, 由原式整理可得: f ( k ? 1) ?
f
2

(k )

2 f (k ) ? 2
1 2

= [( f ( k ) ? 1) ?
2
(t ? 1 t ? 2) ? (2,

1

1 ( f ( k ) ? 1)
9 4

? 2 ] ??.??2 分

令 t ? f ( k ) ? 1 ? (1, 2 ) ,故 f ( k ? 1) ? 故 2 ? f ( k ? 1) ? 3 成立.

) ? ( 2 , 3 ) ??.??2 分

综上可得:对任意的 x ? N ,均有 2 ? f ( x ) ? 3 .??.??1 分
*

用心 爱心 专心

6

22. (12 分)解: (1)由题: f ( x ) ? x ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [ ? 1, 2 ] 上恒成立.
/ 2

结合图像可知:只需当 x ? ? 1 时: f ( ? 1) ? 3 ? a ? 0 即可,解得: a ? ? 3 ???3 分
/

(2)设 f ( x ) 与直线 y ? ? 9 相切于点 A ( x 0 , ? 9 ) ,则有:
2 ? f / (x0 ) ? x0 ? 2 x0 ? a ? 0 ? ????.2 分 1 3 ? 2 f ( x 0 ) ? x 0 ? x 0 ? ax 0 ? ? 9 ? 3 ?

(ⅰ)由以上两式联立消去 a 并整理可得: 2 x 0 ? 3 x 0 ? 27 ? 0 ,因式分解为:
3 2

( x 0 ? 3 )( 2 x 0 ? 3 x 0 ? 9 ) ? 0 ,该方程只有唯一解 x 0 ? 3 ,即 a ? ? 3 ????.1 分
2

(ⅱ)令 f '( x ) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ? 1, x 2 ? 3
2

由(ⅰ)得的 f ( x ) 单调增区间为 ( ? ? , ? 1) 和 (3, ? ? ) ,单调减区间为 ( ? 1, 3) ,所以函数在 处取得极值。故 M( ? 1, 直线 MP 的方程为 y
2

5 3
2

).N( 3, ? 9 )????.1 分
x? m ? 4m
2

?

m ? 4m ? 5 3

.

3

? m ? 4m ? 5 m x? ?y ? ? 3 由? 1 3 ? y ? x ? x2 ? 3x ? 3 ?

2

? 4m 3

得 x3

? 3 x ? (m ? 4m ? 4) x ? m ? 4m ? 0
2 2 2

????.1 分

线段 MP 与曲线
3 2

f (x)
2

有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数
2

g ( x ) ? x ? 3 x ? ( m ? 4 m ? 4 ) x ? m ? 4 m 在 ( - 1 , m ) 上有零点.

因为函数 g ( x ) 为三次函数,所以 g ( x ) 至多有三个零点,两个极值点. 又 g ( ? 1) ? g ( m ) ? 0 .因此, g ( x ) 在 ( ? 1, m ) 上有零点等价于 g ( x ) 在 ( ? 1, m ) 内恰有一个极大值 点和一个极小值点,即 g '( x )
2

? 3x

2

? 6 x ? (m

2

? 4 m ? 4 ) ? 0 在((1, m ) ) ? 1, m

内有两不相等的实数根

? ? = 3 6 ? 1 ( m ? 4 m ? 4) > 0 2 ? 2 2 ? 3( ? 1) ? 6 ? ( m ? 4 m ? 4 ) ? 0 等价于 ? 2 2 ?3m ? 6 m ? (m ? 4 m ? 4) ? 0 ?m ? 1 ?
??1 ? m ? 5 ? 即 ? m ? 2 或 m ? ? 1, 解 得 2 ? m ? 5 ?m ? 1 ?

????.3 分

用心 爱心 专心

7

又因为 ? 1 ? m ? 3 ,所以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的 t 的最小值为 2. ????.1 分

(注意:本小题若直接根据 MP 与 f ( x ) 相切求出 m ? 2 ,从而得出 t 的最小值为 2,但对于 过程不能严密证明者,最多给 3 分)

用心 爱心 专心

8


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