等差数列的前n项和_图文

复习等差数列的有关概念
定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等差数列,

这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

an?1 ? an ? d (是与n无关的数或式子)
等差数列

an ? a1 ? (n ?1)d

?an ? 的通项公式为
a?b A? 2

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数 列,那么A叫做a与b的等差中项

一、等差数列前n项和的引入:
1、引例:1+2+3+…+100=? 2、高斯的算法: 首项与末项的和:1+100=101, 第2项与倒数第2项的和:2+99=101, 第3项与倒数第3项的和:3+98=101, ……

第50项与倒数第50项的和:50+51=101.

100 于是所求的和为: 101 ? ? 5050 2

解法2:设:∵S= 1 +2 +3 +4+· · · +97+98+99+100 , S=100+99+98+97+· · · +4 +3 +2 +1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ · · · (97+4)+(98+3) +(99+2)+(100+1) 100 ? ?1 ? 100 ? =100×(1+100) S?
2

∴S=5050 注:此法称倒序求和(属代数法)
3、上述求解过程带给我们什么启示? (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示;

(2)任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项 的和。

学习目标
? 1、了解等差数列前n项和公式的推导过程

? 2、记住等差数列前n项和公式
? 3、会应用公式解决实际问题

学习指导(一)
? 请同学们用8分钟时间学习课本42页探究~43页思 考的内容,注意:

? 1、体会等差数列前n项和公式的推导过程 ? 2、记住等差数列的前n项和公式

? 8分钟后检测,比比谁的学习效果好!

学习效果检测
? 1、数列的前n项和
? 一般地,我们称

a1 ? a2 ? a3 ? ?? an
? 为数列?an ?的前n项和,用 Sn 表示,即

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

倒序求和法 Sn=a1 +a2 +a3 +… Sn=an +an-1 +an-2+… +an-2 +an-1 +an +a3 +a2 +a1
,,

∴2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+… +(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 ) 2Sn=n(a1+an)

n?a1 ? an ? Sn ? 2

? 把 an ? a1 ? ?

n?a1 ? an ? n ?1 d 代入 S n ? 2

?

,得到 Sn 也

可以用首项 a1 与公差 d 表示,即

n?n ? 1? S n ? na1 ? d 2

? 3、等差数列前n项和公式
n?a1 ? an ? Sn ? 2
n?n ? 1? S n ? na1 ? d 2

首项、未项与项数

首项、公差与项数

学习指导(二)
请同学们用5分钟时间学习课本43页的例1,注意:

1、从例1中抽象出具体的数学问题.

2、所得数列的首项、公差、项数分别是什 么?
5分钟后检测,比比谁的学习效果好!

? 例1、2001年工程经费为500万元,以后每 年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从 2001年起的未来10年内,工程投入是多少?

?an ? 可以建立一个等差数列
a1 ? 500
d ? 50

n ? 10

? 课本45页练习1题
? 课本46页1(1)(2)

小结
? 1、等差数列的前n项和公式推导 ? 倒序相加法 ? 2、等差数列的前n项和公式
Sn ? n?a1 ? an ? 2

S n ? na1 ?

n?n ? 1? d 2

? 3、公式的应用

? 作业 ? 课本46页3题

学习目标
? 1、运用方程思想解决等差数列前n项和问 题 ? 2、会用前n项和公式求通项公式,并会判 断是否为等差数列

例2:已知一个等差数列的前10 项的和是310, 前20项的和是1220,由此可以确定求其前项n和的公 式吗?

分析:只要根据已知的两个条件求出首项a1 和公差d即可.
解:由题设: S10 ? 310

将它们代入公式

n?n ? 1? S n ? na1 ? d 2
?a1 ? 4 ?? ?d ? 6

S 20 ? 1220

? 10 a1 ? 45 d ? 310 得:? ?20 a1 ? 190 d ? 1220

所以

n(n ? 1) S n ? 4n ? ? 6 ? 3n 2 ? n 2

? 已知一个等差数列的前6 项的和是150, 前12项的和是516,由此可以确定求其前项 n和的公式吗?

a1 ? 10

d ?6

? 课本46页2题

例3. 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+0.5n,求 这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?如果 是,它的首项与公差分别是什么? 解:根据Sn ? a1 ? a2 ? ?? an?1 ? an
Sn?1 ? a1 ? a2 ? ?? an?1 ?n ? 1?
1 1 2 ? n ? n ? [( n ? 1) ? (n ? 1)] 2 2
2

当n>1时, an

? S n ? S n ?1
1 ? 2n ? 2

当n=1时,a1也满足上式,

1 所以{an}通项公式 an ? 2n ? 2 {an}是首项为3/2,公差为2的等差数列.

前n项和的函数的特性
例4.已知等差数列 4 2 5, 4 , 3 ,? 7 7 前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
分析:等差数列的前n项和公式
n(n ? 1) d 2 d S n ? na1 ? d ? n ? (a1 ? )n 2 2 2

Sn可以看成关于n的函数,即在二次函数
d 2 d y ? x ? (a1 ? ) x 2 2

的自变量 x 取正整数时的函数值.

解:由题意知:等差数列的首项a1=5,公差为
5 d ?? 7 n(n ? 1) 5 S n ? 5n ? ? (? ) 2 7 5 2 75 ?? n ? n 14 14

所以

配方

5 15 2 1125 ? ? (n ? ) ? 14 2 56

所以,当n取与7.5最近的整数即7或8时,Sn 取最大值.


相关文档

2.3等差数列的前n项和
巩固练习_基础_等差数列及其前n项和
第8课时 等差数列的前n项和(3)
课时分层作业11 等差数列的前n项和
高一数学等差数列及其前n项和人教版
巩固练习_提高_等差数列及其前n项和
2.2.3等差数列的前n项和
9.2.2等差数列的前n项和
高二数学等差数列的前n项和19页PPT
北师大版高中数学必修5:等差数列的前n项和(2)
电脑版