13常见的解析几何中对称问题

扬子江高级中学高二数学学科教案 主备人:仇建华

第 13 课时

常见的解析几何中对称问题
教学目标 理解四种对称. 教学重点 直线与圆的位置关系的判断. 教学难点 直线与圆的位置关系的判断. 教学方法:启发式,讲授法 教学过程 1.点关于点对称 ⑴点 P (a, b) 关于原点的对称点坐标是 (?a, ?b) ; ⑵点 P (a, b) 关于某一点 M ( x0 , y0 ) 的对称点的坐标,利用中点坐标式 求得为 (2x0 ? a, 2 y0 ? b) 。 例1 坐标。 已知点 A(5,8) ,B(4 ,1) ,试求 A 点关于 B 点的对称点 C 的

2.直线关于点对称 ⑴直线 L: Ax ? By ? C ? 0 关于原点的对称直线。 设所求直线上一点为 P ( x, y ) ,则它关于原点的对称点为 Q(? x, ? y) , 因为 Q 点在直线 L 上,故有 A(? x) ? B(? y) ? C ? 0 ,即 Ax ? By ? C ? 0 ; ⑵直线 l1 关于某一点 M ( x0 , y0 ) 的对称直线 l2 。 ①当 M ( x0 , y0 ) 在 l1 上时,它的对称直线为过 M 点的任一条直线。 ②当 M 点不在 l1 上时,对称直线的求法为: 解法:由 Kl1 ? Kl 2 ,可设 l1 : Ax ? By ? C ? 0 关于点 M ( x0 , y0 ) 的对称直

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第 13 课时

线为 Ax ? By ? C ' ? 0 且

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

?

Ax0 ? By0 ? C ' A2 ? B2

求设 C ' 从而可求的

及对称直线方程。 例 2 求直线 l 1 : 3x-y-4=0 关于点 P(2,-1)对称的直线 l 2 的方程。

3.点关于直线对称 ⑴ 点 P (a, b) 关于 x 轴、 y 轴,直线 x ? y , x ? ? y 的对称点坐标可利 用图像分别求设为 (a, ?b),(?a, b),(b, a),(?b, ?a) 。 ⑵ 点 P (a, b) 关于某直线 L : Ax ? By ? C ? 0 的对称点 P ' 的坐标。
a? x b? y , ) 2 2 B a?x b? y ? B? ? C ? 0 ;① 再由 K PP ' ? 得 把中点坐标代入 L 中得到 A ? A 2 2 b? y B ? ②,联立①、②可得到 P ' 点坐标。 a?x A 例 3 已知点 A 的坐标为(-4,4),直线 l 的方程为 3x+y-2=0,求点 A 关于直线 l 的对称点 A’的坐标。

解法: 设对称点 P '( x, y) 由中点坐标公式求得中点坐标为 (

4.直线 l1 关于直线 l 的对称直线 l2 ⑴ 当 l1 与 l 不相交时,则 l1 ∥ l ∥ l2 。在 l1 上取一点 P( x0 , y0 ) 求出它关
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于 l 的对称点 Q 的坐标。再利用 P l1 ? P l 2 可求出 l 2 的方程。 ⑵ 当 l1 与 l 相交时, l1 、 l 、 l2 三线交于一点。 解法:先解 l1 与 l 组成的方程组,求出交点 A 的坐标。则交点必在对 称直线 l2 上。再在 l1 上找一点 B ,点 B 的对称点 B ' 也在 l2 上,由 A 、 B ' 两 点可求出直线 l2 的方程。 例4 试求直线 l1:x-y-2=0 关于直线 l2:3x-y+3=0 对称的直线 l 的方程。

三、课堂小结:求对称问题的通法是: ⑴ 求对称点一般采用,先设对称点 P ( x, y ) ,再利用中点坐标公式或 垂直、平分等条件,列出 x , y 的方程组,解方程组所得的解就是对称点的 坐标; ⑵ 求对称直线一般是:先设对称曲线上任一点 P ( x, y ) ,再利用求对 称点的方程求出 P 点的对称点 Q 点坐标,将 Q 点坐标代入已知曲线方程 中,所得的关于 x , y 的关系式,就是所求对称曲线的方程。 四、布置作业:

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