高中数学1.1空间几何体1.1.3圆柱圆锥圆台和球课堂探究新人教B版必修220171030214-含答案

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 课堂探究 探究一 概念辨析题 (1)对于旋转体,必须清楚直角梯形必须绕其垂直于底边的腰旋转才能形成圆台;直角 三角形必须绕直角边旋转才能形成圆锥; 圆柱是由矩形绕其一边旋转而形成的几何体, 类比 棱台的定义,圆台也可以看作是一个圆锥被一个平行于底面的平面所截得的. (2)对于组合体我们要弄清楚它是由哪几个简单的几何体组合而成的,尤其对于旋转体 先要看清所选取的旋转轴,再结合圆柱、圆锥、圆台和球的定义加以判断. 【典型例题 1】 (1)下列说法中正确的是( A.圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的 B.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的 C.圆柱不是旋转体 D.圆台可以看作是由平行于底面的平面截一个圆锥而得到的 解析:根据旋转体的定义及圆锥与圆台的内在联系易知 D 正确. 答案:D (2)如图,由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形,若将 它绕轴 l 旋转 180°后形成一个几何体,下面说法不正确的是( ) ) A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B.该组合体仍然关于轴 l 对称 C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D.该组合体中的球和半球只有一个公共点 解析:旋转 180°后形成的组合体是由一个圆锥、一个球体、一个半球、一个圆柱和一 个圆台组合而成,故选项 A 不正确. 答案:A 探究二 简单旋转体的计算问题 (1)对于圆柱的性质,要注意以下两点:一是轴线垂直于圆柱的底面;二是三类截面的 性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆, 轴截面是一个由上、 下底面圆的直径和母线 组成的矩形、平行于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线组成的矩形. (2)对于圆锥的性质,要注意以下两点:一是两类截面——平行于底面的截面是与底面 1 相似的圆, 过圆锥的顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三 角形;二是圆锥的母线 l、高 h 和底面圆的半径 R 组成一个直角三角形.有关圆锥的计算, 一般归结为解这个直角三角形,往往会用到关系式 l =h +R . (3)对于圆台的性质,要注意以下两点:一是圆台的母线共点,所以由任意两条母线确 定的截面为一等腰梯形, 但是与上、 下底面都相交的截面不一定是梯形; 二是圆台的母线 l、 高 h 和上底面圆的半径 r、 下底面圆的半径 R 组成一个直角梯形, 且有 l =h +(R-r) 成立, 有关圆台的计算问题,常归结为解这个直角梯形. 【典型例题 2】 轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱,已知某等边圆柱的轴截面面积 为 16 cm ,求其底面周长和高. 思路分析:作出圆柱的轴截面,建立轴截面边长和圆柱底面半径、高之间的关系,进而 求解问题. 解:如图所示,作出等边圆柱的轴截面 ABCD, 2 2 2 2 2 2 2 由题意知,四边形 ABCD 为正方形,设圆柱的底面半径为 r cm,则 AB=AD=2r. 其面积 S=AB×AD=2r×2r=4r =16,解得 r=2. 所以其底面周长 C=2π r=2π ×2=4π (cm),高 2r=4(cm). 点评解决圆柱基本量的计算问题,要抓住它的基本量:底面半径、高(母线)与轴截面矩 形之间的关系,注意在轴截面矩形中的一边长为圆柱的高,另一边长为圆柱的底面直径. 【典型例题 3】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台的上、下底面半 径的比是 1∶λ ,截去圆锥的母线长是 l0,求圆台的母线长. 解:作原圆锥的截面图如图所示,设圆台的母线长为 l,截得圆锥底面与原圆锥底面半 径分别是 x,λ x,根据相似三角形的性质得: 2 x 1 l0 = = ,所以 l=l0(λ -1). l0 ? l ? x ? 点评圆锥平行于底面的截面是一个圆面, 过圆锥的顶点作的截面是一个等腰三角形, 利 用相似三角形的理论来求解圆台母线的长, 体现了将立体几何问题转化为平面几何问题处理 2 的基本思想. 探究三 组合体问题 组合体问题中常见的主要是切接问题, 解决此类问题关键要画出组合体的核心截面, 并 保证截面图能搭建起两个或多个几何体的内在联系, 能反映出各个几何体的核心元素, 这样 就将立体几何问题的计算归结为平面几何问题的计算. 【典型例题 4】 若圆锥的轴截面是一个面积为 9 3 cm 的正三角形,那么其内切球的半 2 径为( ) B.6cm C. 3 cm D. A.4π cm 3 π cm 解析:轴截面如图所示,设正三角形 SAB 的边长为 a cm,圆 O′的半径为 R cm,则 1 3 3 2 × a ×a= a =9 3 , 2 2 4 所以 a=6. 又 S△SO′B+S△SO′A+S△AO′B= 9 3 , 所以 3× 答案:C 【典型例题 5】 一个圆锥的底面半径为 2,高为 6,在其中有一个高为 x 的内接圆柱. (1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S. (2)当 x 为何值时,S 最大? 思路分析:考虑应用轴截面中的平行关系列比例式解决. 1 ×6×R= 9 3 .所以 R= 3 .故选 C. 2 解:(1)根据题意作截面图如图所示,设内接圆柱的底面圆半径为 r, 由已知得 6? x r = , 6 2 3 所以 r= 6? x . 3 6? x 2 2 ·x=- x +4x,其中 0<x<6. 3 3 所以 S=2· (2)当 x=- 4 2 2 ? (? ) 3 =3 时,S 最大. 点评 涉及立体几何中的最值问题,一般是设出变元,利用函数思想来解决. 探究四 球中的计算问题 解决有关球的问题时常用到如下性质: (1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面, 球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直. (2)如果分别用 R 和 r 表示球的半径和截面圆的半径,用 d 表示球心到截面的距离,则 R =r2+d2.球的有关计算问题,常归结为解这个直角三角形问题. 【典型例题 6】

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