18版高中数学第一章集合3.2全集与补集学案北师大版必修1

3.2 学习目标 全集与补集 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和 Venn 图.3.会求补集, 并能解决一些集合综合运算的问题. 知识点一 全集 思考 老和尚问小和尚:“如果你前进是死,后退是亡,那你怎么办?”小和尚说:“我从 旁边绕过去. ”在这一故事中, 老和尚设定的运动方向共有哪些?小和尚设定的运动方向共 有哪些? 梳理 (1)定义:在研究某些集合时,这些集合往往是某个给定集合的________集,这个给 定的集合叫作全集,全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素. (2)记法:全集通常记作________. 知识点二 补集 思考 实数集中,除掉大于 1 的数,剩下哪些数? 梳理 设 U 是全集,A 是 U 的一个子集(即 A? U),则由 U 中 文字语言 ____________________的元素组成的集合称为 U 中子集 A 的补集 (或余集),记作________ 符号语言 图形语言 性质 ?UA=____________________ A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?,?U(?UA)=A 1 类型一 求补集 例 1 (1)若全集 U={x∈R|-2≤x≤2},A={x∈R|-2≤x≤0},则?UA 等于( A.{x|0<x<2} C.{x|0<x≤2} B.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤2} ) (2)设 U={x|x 是小于 9 的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求?UA,?UB. (3)设全集 U={x|x 是三角形}, A={x|x 是锐角三角形}, B={x|x 是钝角三角形}, 求 A∩B, ?U(A∪B). 反思与感悟 求集合的补集,需关注两处:一是认准全集的范围;二是利用数形结合求其补 集,常借助 Venn 图、数轴、坐标系来求解. 跟踪训练 1 (1)设集合 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},则?UA=________. (2)已知集合 U=R,A={x|x -x-2≥0},则?UA=________. (3)已知全集 U={(x,y)|x∈R,y∈R},集合 A={(x,y)|xy>0},则?UA=________. 类型二 补集性质的应用 命题角度1 补集性质在集合运算中的应用 例 2 已知 A={0,2,4,6},?UA={-1,-3,1,3},?UB={-1,0,2},用列举法写出集合 B. 2 2 反思与感悟 从 Venn 图的角度讲,A 与?UA 就是圈内和圈外的问题,由于(?UA)∩A=v,(? U A)∪A=U,所以可以借助圈内推知圈外,也可以反推. 跟踪训练 2 如图所示的 Venn 图中,A、B 是非空集合,定义 A*B 表示阴影部分的集合.若 A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},则 A*B=________________. 命题角度2 补集性质在解题中的应用 例 3 关于 x 的方程:x +ax+1=0,① 2 x2+2x-a=0,② x2+2ax+2=0,③ 若三个方程至少有一个有解,求实数 a 的取值范围. 反思与感悟 运用补集思想求参数取值范围的步骤: (1)把已知的条件否定, 考虑反面问题; (2)求解反面问题对应的参数的取值范围;(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集. 跟踪训练 3 若集合 A={x|ax +3x+2=0}中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围. 2 3 类型三 集合的综合运算 例 4 (1)已知集合 A, B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集, 且?U(A∪B)={4}, B={1,2}, 则 A∩(? U B)等于( ) B.{4} D.? A.{3} C.{3,4} (2)已知集合 A={x|x≤a},B={x|1≤x≤2},且 A∪(?RB)=R ,则实数 a 的取值范围是 ________. 反思与感悟 解决集合的混合运算时,一般先计算括号内的部分,再计算其他部分.有限集 混合运算可借助 Venn 图,与不等式有关的可借助数轴. 跟踪训练 4 (1)已知集合 U={x∈N|1≤x≤9}, A∩B={2,6}, (?UA)∩(?UB)={1,3,7}, A∩(? U B)={4,9},则 B 等于( ) B.{2,5,6,8} D.{2,4,5,6,8,9} A.{1,2,3,6,7} C.{2,4,6,9} (2)已知集合 U={x|x≤4},集合 A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求 A∩B,(?UA)∪B, A∩(?UB). 4 1.设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM 等于( A.U C.{3,5,6} B.{1,3,5} D.{2,4,6} ) 2.已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)等于( A.{1,3,4} C.{3} B.{3,4} D.{4} ) ) 3.设集合 S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则(?RS)∪T 等于( A.{x|-2<x≤1} C.{x|x≤1} B.{x|x≤-4} D.{x|x≥1} ) 4.设全集 U=R,则下列集合运算结果为 R 的是( A.Z∪?UN C.?U(?U?) B.N∩?UN D.?UQ ) 5.设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩(?UN)={2,4},则 N 等于( A.{1,2,3} C.{1,4,5} B.{1,3,5} D.{2,3,4} 1.全集与补集的互相依存关系 (1)全集并非是包罗万象,含有任何元素的集合,它是对于研究问题而言的一个相对概念, 它仅含有所研究问题中涉及的所有元素,如研究整数,Z 就是全集,研究方程的实数解,R 就是全集.因此,全集因研究问题而异. (2)补集是集合之间的一种运算.求集合 A 的补集的前提是 A 是全集

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