高一数学第一学期期末试卷_图文

高 一 数 学第一学期期末试卷
一、选择题(共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,满分 60 分。) 1.非空集合 S、T、P 满足关系式 S ? T=T, T ? P=T ,则 S、P 间的关系为( A、 S=P B、 S?P C、 P?S )

D、 S ? P=?

2.从集合 A={a,b}到集合 B={x,y}可以建立的映射有( A、1 个 B、2 个 C、3 个

) D、4 个

3. “|x|<2”是“|x+1|<1”的 A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

4.a、b、c 成等比数列,那么关于 x 的方程 ax +bx+c=0 ( A、有两不等实根 B、有两相等实根 C、无实根

2

) D、有两符号不相同的实根

5.若函数 f ( x ) 的值域为 [0,1] ,则函数 f ( x ? 2) 的值域为( A、 [2,3] B、 [?2, ?1] C、 [1, 2]

) D、 [0,1]

6.直线 y=1 与函数 y=loga|x|的图象交于 A、B 两点,则|AB|等于( A、1 B、2 C、a

) D、2a

7.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ( ) ,那么 f (1) 的值是(
x

1 3



A、 ?

1 3

B、

1 3

C、 ? 3

D、 3

8 . 设 数 列 {an } 的 前 项 和 Sn ? an2 ? bn

( a , b 为 常 数 ) 且 a1 ? a2 ? a3 ? ?24 ,

a18 ? a19 ? a20 ? 78 则 S20 ? (
A、160 B、180

) C、200 D、220

x 9.若函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 [1, 4] ,则 f (3 ) 的定义域为(

) D、 (1, 2)

A、 ( ??, log 3

3 ] 2

B、 [3 ,3 ]

3

9

C、 [1, 2]

10.下列所给4个图像中,与所给3件事吻合最好的顺序为 (1)我离开家不久,发现作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学; (2)我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速。 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离

O

(1)

时间

O
(2)

时间

O

(3)

时间

O

(4)

时间

A、 (1) (2 ) (4)

B、 (4) (2) (3)

C、 (4) (1) (3)

D、 (4) (1) (2)

11.将奇函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴的正方向平移 1 个单位所得图像为 C ,又设图像 C 与 C 关于原点对称,则 C 对应的函数为( A、 y ? f ( x ? 1) B、 y ? ? f ( x ? 1)
/

/

) D、 y ? ? f ( x ? 1)

C、 y ? f ( x ? 1)

12.函数 f ( x ) 在 [?2, 2] 上是减函数,函数 y ? f ( x ? 2) 是偶函数,下列不等式成立的是 ( ) A、 f (?1) ? f (1) ? f (4) C、 f (?1) ? f (4) ? f (1) B、 f (1) ? f (4) ? f (?1) D、 f (4) ? f (1) ? f (?1)

二、填空题(4 小题.只要求直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律是零分.共 16 分) 13.在等差数列 {an } 中,前项和为 Sn ,若 S9 ? 90 ,则 a5 的值为 ;

14.函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2) 单调减区间为
2



15.已知函数 f ( x) ? x ?1 ( x ? ?2) , 则其反函数是
2



16.定义一种运算“ ? ”对于一切正整数 n ,同时满足以下运算: (1) 1 ?1 ? 1 ; (2) (n ? 1) ?1 ? 2(n ?1) 。则 n ? 1 用含 n 的代数式表示为 。

三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知集合 A ? {x | | x ? 4 |? 6} , B ? {x | | x ? a |? 3} 且 A ? B ? R ( R 为实数集) 。 求实数 a 的取值范围。 (12 分)

18.若 ? , ? 是方程 x ? 10 x ? m ? 0 ( m ? 0 )的两实根,且 ? ,? ? ? , ? 成等比数列。
2 2

(1)求 m 的值; (2)数列 {an } , an ?

1 1 ,前 n 项和为 Sn ,求证:log 2 m ? S n ? log m 2 (12 分) 2 n(n ? 1)

19.函数 y ? f ( x) 定义域为 (0, ??) ,且同时满足: (1) f (2) ? 1 ; (2) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; (3)当 x ? y ? 0 时,有 f ( x) ? f ( y ) 。 若 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 ,试求 x 的取值范围。 (12 分)

20.设函数 f ( x) ? log2 x ? log x 2 (0 ? x ? 1) ,数列 ?an ? 的通项 an 满足

f (2an ) ? 2n (n ? N * ) .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)判定数列 ?an ? 的单调性。 (12 分)

21.某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到 2003 年底全县的绿化率已达 30%。从 2004 年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的 16%将被绿化,与此 同时,由于各种原因,原有绿化面积的 4%又被沙化。 (1)设全县面积为 1,2003 年底绿化面积为 a1 ? 试求 an ?1 与 an 的关系式; (2)至少需要几年,才能使全县的绿化率达到 60%?(年取整数, lg 2 ? 0.3010) (12 分)

3 , 经过 n 年后绿化总面积为 an?1 . 10

22.设定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 满足: (1)对于任意正实数 a、b,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? p ,其中 p 是正实常数; (2) f (2) ? p ? 1; (3)当 x ? 1 时,总有 f ( x) ? p . 求(Ⅰ)求 f (1)及f ( ) 的值(写成关于 p 的表达式) ; (Ⅱ)求证: f ( x)在(0,??) 上是减函数; (Ⅲ)设 an ? f (2n ) (n ? N ) ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 当且仅当 n=5 时,Sn 取得最大值. 求 p 的取值范围。 (14 分)

1 2

参考答案
一、选择题(把选项代号填入下表,每题 5 分。满分 60 分) 题号 选项 1 B 2 D 3 B 4 C 5 D 6 D 7 C 8 B 9 C 10 D 11 A 12 B

二、填空题(4 小题,每题填对得 4 分,否则一律是零分.共 16 分) 13. 15. f 10
?1



14. ( 2, ??) 16. 2
n ?1



( x) ? ? x ?1 ( x ? 3) ;



三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分)解: A ? {x | ?2 ? x ? 10} ――――――――――――――2 分 得 分

B ? {x | x ? ?a ? 3或x ? 3 ? a} ――――――――――4 分 A? B ? R ??a ? 3 ? ?2 ―――――――――――――――――8 分 ?? ? 3 ? a ? 10 ? a ? ?1 得? ――――――――――――――――――10 分 ?a ? ?7 故 a ?[?7, ?1] ―――――――――――――――――12 分

18. (12 分)解: (1)
2

? ,? ? ? , ? 成等比数列 ―――――――1 分 ? (? ? ? ) ? ??即(? ? ? )2 ? 5??

得 分

又 ? ? ? ? 10 、 ?? ? m2
2

―――――――――――2 分

? ? 10 ? 4m ? 0 ―――――――――――――3 分 ?? 2 ? 10 ? 5m 得 m ? ? 2且m ? 0 ―――――――――――――4 分 故m? 2 ―――――――――――――――――5 分
an ? 1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 2
――――――――――――――――――6 分

(2)

又 S n ? a1 ? a2 ? …an ? (1 ? ) ? ( ? ) ? …(

1 1 2 3

1 1 1 ? ) ? 1? ――7 分 n n ?1 n ?1

m? 2
1 ? log 2 m ? , 2 1 log m 2 ? 1 ――――――――――――――――――9 分 2 1 1 1 n ?1 n ? N * , ? Sn ? ? 1 ? ? ? ? 0 ――――――――――10 分 2 n ? 1 2 2(n ? 1) 1 ?1 ? Sn ? ? 0 ―――――――――――――――――――――――11 分 n ?1 1 故 log 2 m ? S n ? log m 2 ――――――――――――――――――――12 分 2

19. (12 分)解:令 x ? y ? 2 ,这由条件① ②得

? x?0 ? 又由③得: ? x ? 3 ? 0 ―――――――――――――――――8 分 ? x 2 ? 3x ? 4 ? ? x?0 ? ?? x?3 ―――――――――――――――10 分 ? ?1 ? x ? 4 ? 解得: 3 ? x ? 4 则 x 的取值范围为 {x | 3 ? x ? 4} ―――――――――――――12 分 20. (12 分)解: (1) f ( x) ? log2 x ? log x 2 1 f (2an ) ? log 2 2an ? ――――――――――――2 分 得 log 2 2an 分 1 ? an ? ? 2n an
即 an 2 ? 2nan ?1 ? 0 又 ―――――――――――――――3 分 ―――――――――――――――4 分

得 分

f (4) ? 2 f (2) ? 2 ――――――――――――――――――2 分 又由②得: f ( x) ? f ( x ? 3) ? f [ x( x ? 3)] ? 2 ? f (4) ――――4 分

0 ? 2an ? 1 ?an ? 0

? an ? n ? n 2 ? 1 即为所求

――――――――――――――――――6 分

2 (2)又 an ?1 ? n ? 1 ? (n ? 1) ? 1

? an ?1 ? an ? 1 ? n 2 ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 1

―――――――――――――――――7 分

?

n2 ? 2 ? 2 n2 ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 1 1 ? n 2 ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 1

?

2( n2 ? 1 ? n) 1 ? n 2 ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 1

?0

―-10 分

? an?1 ? an
(另解: an ?

―――――――――――――――――――――――-11 分 ―――――――――――――――――――12 分

故数列 ?an ? 是递增数列

?1
2

n ? n ?1 1 为递减数列 ――11 分 bn

2 ――8 分,又 bn ? n ? n ? 1 为递增数列( bn ? 0 )-10 分

? an ? ?

1 是递增数列 ――12 分) bn

21. (12 分) (1)解:由已知可得 an 确定后, a n ?1 表示如下: 得 分 ―――――――3 分 a n?1 = an ? (1 ? 4%) ? (1 ? an ) ? 16% 4 4 即 a n ?1 =80% an +16%= an + ――――――――――5 分 5 25

(2)解:由 a n ?1 =

4 4 an + 5 25 4 4 4 4 4 4 n 4 可得: an?1 ? = ( an ? )=( )2( an?1 ? )=?= ( ) (a1 ? ) 5 5 5 5 5 5 5 1 4 n 4 故有 a n ?1 = ? ( ) ? ――――――――――――――――――――7 分 2 5 5 3 1 4 n 4 3 1 4 n ?1 若 a n ?1 ? . 则有 ? ( ) ? ? . 即 ? ( ) ――――――――――8 分 2 5 5 5 2 5 5 两边同时取对数可得 ? lg 2 ? (n ? 1)(2 lg 2 ? lg 5) ? (n ? 1)(3 lg 2 ? 1) ――9 分 lg 2 故n? ? 1 ? 4 ―――――――――――――――――――――11 分 1 ? 3 lg 2
故使得上式成立的最小 n ? N 为 5。 ――――――――――――――――12 分
*

4 4 4 4 an + ,令 an ?1 ? x ? (an ? x ) ,解得 x ? ? 5 25 5 5 1 4 n 4 也可求得 a n ?1 = ? ( ) ? ) 2 5 5 4 4 (另解 2: a n ?1 = an + , 5 25 4 4 ? an?2 = an ?1 + 5 25 4 4 ? an ? 2 ? an ?1 ? (an ?1 ? an ) ? … ? ( ) n (a2 ? a1 ) 5 5 4 4 4 ? an?2 ? an?1 ? ( an ?1 + ) ?an ?1 = ( ) n (a2 ? a1 ) , 5 25 5 1 4 n 4 也可求得 a n ?1 = ? ( ) ? ) 2 5 5
(另解 1:

a n?1 =

22. (14 分)解: (1)取 a=b=1,则 f (1) ? 2 f (1) ? p. 得 分

故f (1) ? p

――――――――――――――――――――2 分

又 f (1) ? f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? p . 且 f (2) ? p ? 1. 得: f ( ) ? f (1) ? f (2) ? p ? p ? ( p ? 1) ? p ? p ? 1 (2)设 0 ? x1 ? x2 ,

1 2

1 2

1 2

――4 分

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (

x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ――――――――――――――――5 分 x1 x x ? [ f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? p] ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? p ――――――6 分 x1 x1

x2 ? 1 ――――――――――――――――――――7 分 x1 x 再依据当 x ? 1 时,总有 f ( x) ? p 成立,可得 f ( 2 ) ? p ―――――――8 分 x1 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 成立 故 f ( x)在(0,??) 上是减函数. ――――――――――――――――――9 分
依 0 ? x1 ? x2 , 可得

(3)

an ? f (2n )

n?1 ?an?1 ? f( 2 ) ? f ( 2? n 2 ) ? f ( 2? )f n ( 2?p ) 即有 an ?1 ? ( p ? 1) ? an ? p ? an ? 1. ―――――――――――――-10 分 ? an?1 ? an ? ?1 又 a1 ? f (2) ? p ? 1. ? 数列 {an } 是以 a1 ? p ? 1 为首项,公差为-1 的等差数列。 ――――-11 分 ――――――――-12 分 ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? ( p ? 1) ? (n ? 1) ? ?n ? p .

由题意 ?

?a5 ? ?5 ? p ? 0, ―――――――――――――――――――13 分 ?a 6 ? ?6 ? p ? 0 ?5 ? p ? 6 ―――――――――――――――――――――――――14 分


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