河南省周口市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)


河南省周口市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)若集合 A={x|﹣2≤x<1},B={x|0<x≤2},则 A∩B=() A.{x|﹣2≤x≤2} B.{x|﹣2≤x<0} C.{x|0<x<1} x≤2} 2. (5 分)下列函数中,在 R 上单调递增的是() A.y=|x|
x

D.{x|1<

B.y=log2x

C.y=2

x

D.y=( )

3. (5 分)若直线(a+2)x+(1﹣a)y=a (a>0)与直线(a﹣1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂 直,则 a 等于() A.1 B.﹣1 C.±1 D.﹣2

2

4. (5 分)若

,则函数 f(x)的定义域为()

A.

B.(0,+∞)

C.

D.

5. (5 分)设函数 f(x)=

,则 f(

)的值为()

A.

B.﹣

C.

D.18

6. (5 分)如图为某几何体三视图,按图中所给数据,该几何体的体积为()

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A.16 16+

B.16

C.64+16

D.

7. (5 分)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BD1 与平面 ABCD 所成角的余弦值为()

A.
6

B.
0.7

C.

D.

8. (5 分)已知 a=0.7 ,b=6 ,c=log0.76,则以下关系式正确的是() A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b
2 2 2

D.c>a>b
2

9. (5 分)M(x0,y0)为圆 x +y =a (a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a 与该 圆的位置关系为() A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或 相交 10. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是() A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和 ④ 11. (5 分)若函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增 函数,则 g(x)=loga(x+k)的是()
x
﹣x

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A.

B.

C.

D.

12. (5 分)若直线 l:ax+by+1=0 始终平分圆 M:x +y +4x+2y+1=0 的周长,则(a﹣2) + 2 (b﹣2) 的最小值为() A. B.5 C.2 D.10

2

2

2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在区间上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为.
x

14. (5 分)如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆) ,则该几何体的表面积是.

15. (5 分)过点 P(0,﹣1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,﹣2) ,B(2,1)的线段没 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是. 16. (5 分)在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,这 些几何形体是(写出所有正确结论的编号) . ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)设全集为 U=R,集合 A=(﹣∞,﹣3]∪ 考点: 对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题.
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分析: 求出结果. 解答: 解:

的定义域为{x|

},由此能够

的定义域为:

{x| 解得{x|﹣ <x<0}.

},即{x|

},

故选 C. 点评: 本题考查对数函数的定义域的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

5. (5 分)设函数 f(x)=

,则 f(

)的值为()

A.

B. ﹣

C.

D.18

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 专题: 计算题;分类法. 分析: 当 x>1 时,f(x)=x +x﹣2; 当 x≤1 时,f(x)=1﹣x ,故本题先求 值.再根据所得值代入相应的解析式求值. 2 2 解答: 解:当 x>1 时,f(x)=x +x﹣2,则 f(2)=2 +2﹣2=4, ∴ ,
2 2 2



当 x≤1 时,f(x)=1﹣x , ∴f( )=f( )=1﹣ = .

故选 A. 点评: 本题考查分段复合函数求值, 根据定义域选择合适的解析式, 由内而外逐层求解. 属 于考查分段函数的定义的题型. 6. (5 分)如图为某几何体三视图,按图中所给数据,该几何体的体积为()

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A.16

B.16

C.64+16

D.16+

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 三视图复原几何体是下部为正四棱柱,上部是四棱锥,根据三视图的数据,求出几 何体的体积. 解答: 解:三视图复原几何体是下部为棱长为 2,的正方体,棱长为 4 的正四棱柱,上部 是底面为边长 2 的正方体高为 四棱锥, 几何体的体积: 故选 D. 点评: 本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,是基础题. 7. (5 分)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BD1 与平面 ABCD 所成角的余弦值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 棱柱的结构特征. 专题: 空间角. 分析: 找出 BD1 与平面 ABCD 所成的角,计算余弦值.

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解答: 解:连接 BD,



∵DD1⊥平面 ABCD,∴BD 是 BD1 在平面 ABCD 的射影, ∴∠DBD1 是 BD1 与平面 ABCD 所成的角; 设 AB=1,则 BD= ,BD1= , ∴cos∠DBD1= = = ;

故选:D. 点评: 本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角,是基础题. 8. (5 分)已知 a=0.7 ,b=6 ,c=log0.76,则以下关系式正确的是() A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b D.c>a>b 考点: 指数函数的图像与性质;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 6 0.7 分析: 根据指数式、对数式的性质,直接推出 a=0.7 ,b=6 ,c=log0.76 的范围,即可得 到 a,b,c 的大小关系. 0.7 6 解答: 解:由指数式、对数式的性质可知:b=6 ∈(1,+∞) ;a=0.7 ∈(0,1) ;c=log0.76 <0 显然:b>a>c. 故选:A. 点评: 本题主要考查对数函数、指数函数的单调性,属于基础题,常规题.比较大小,往 往借助“0”,“1”这两个数字比较大小. 9. (5 分)M(x0,y0)为圆 x +y =a (a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a 与该 圆的位置关系为() A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 由圆的方程找出圆心坐标与半径,因为 M 为圆内一点,所以 M 到圆心的距离小于 圆的半径, 利用两点间的距离公式表示出一个不等式, 然后利用点到直线的距离公式表示出 圆心到已知直线的距离 d,根据求出的不等式即可得到 d 大于半径 r,得到直线与圆的位置 关系是相离. 解答: 解:由圆的方程得到圆心坐标为(0,0) ,半径 r=a, 由 M 为圆内一点得到: <a,
2 2 2 2 6 0.7

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则圆心到已知直线的距离 d=



=a=r,

所以直线与圆的位置关系为:相离. 故选 C 点评: 此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法, 灵活运用 两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值,是一道综合题. 10. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是() A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系; 命题的真假判断与应用; 空间中直线与直线之 间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 证明题;压轴题;空间位置关系与距离. 分析: 根据线面平行性质定理,结合线面垂直的定义,可得①是真命题;根据面面平行 的性质结合线面垂直的性质,可得②是真命题;在正方体中举出反例,可得平行于同一个 平面的两条直线不一定平行,垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行,可得③④不正 确.由此可得本题的答案. 解答: 解:对于①,因为 n∥α,所以经过 n 作平面 β,使 β∩α=l,可得 n∥l, 又因为 m⊥α,l?α,所以 m⊥l,结合 n∥l 得 m⊥n.由此可得①是真命题; 对于②,因为 α∥β 且 β∥γ,所以 α∥γ,结合 m⊥α,可得 m⊥γ,故②是真命题; 对于③,设直线 m、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线, 而平面 α 是正方体下底面所在的平面, 则有 m∥α 且 n∥α 成立,但不能推出 m∥n,故③不正确; 对于④,设平面 α、β、γ 是位于正方体经过同一个顶点的三个面, 则有 α⊥γ 且 β⊥γ,但是 α⊥β,推不出 α∥β,故④不正确. 综上所述,其中正确命题的序号是①和② 故选:A 点评: 本题给出关于空间线面位置关系的命题, 要我们找出其中的真命题, 着重考查了线 面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题. 11. (5 分)若函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增 函数,则 g(x)=loga(x+k)的是()
x
﹣x

A.

B.

C.

D.

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考点: 奇偶性与单调性的综合;对数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. 分析: 由函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增函 数,则由复合函数的性质,我们可得 k=1,a>1,由此不难判断函数的图象. 解答: 解:∵函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是奇函数 则 f(﹣x)+f(x)=0 即(k﹣1) (a ﹣a )=0 则 k=1 又∵函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是增函数 则 a>1 则 g(x)=loga(x+k)=loga(x+1) 函数图象必过原点,且为增函数 故选 C 点评: 若函数在其定义域为为奇函数,则 f(﹣x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶 函数,则 f(﹣x)﹣f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质, 在公共单调区间上:增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键. 12. (5 分)若直线 l:ax+by+1=0 始终平分圆 M:x +y +4x+2y+1=0 的周长,则(a﹣2) + 2 (b﹣2) 的最小值为() A. B. 5 C. 2 D.10 考点: 圆方程的综合应用. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的是直线与圆性质及其综合应用,由已知条件我们可以判定直线必过圆 M:x +y +4x+2y+1=0 的圆心,则不难求出(a,b)表示的点在平面直线直角坐标系中的位 2 2 置,分析表达式(a﹣2) +(b﹣2) 的几何意义,找出满足条件的点的坐标,即可求出答 案. 解答: 解:∵直线 l:ax+by+1=0 始终平分圆 M:x +y +4x+2y+1=0 的周长 2 2 ∴直线必过圆 M:x +y +4x+2y+1=0 的圆心 即圆心(﹣2,﹣1)点在直线 l:ax+by+1=0 上 则 2a+b﹣1=0 2 2 则(a﹣2) +(b﹣2) 表示点(2,2)至直线 2a+b﹣1=0 点的距离的平方 则其最小值 d =
2 2 2 2 2 2 2 2 x
﹣x

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

=5

故选 B 点评: 直线的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点, 此题巧妙地将直线与圆性质融 合在一起进行考查,题目有一定的思维含量但计算量不大,所以题型设置为选择题,该试题 立足基础考查了学生思维能力与运算能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力, 有一定的选拔作用同时对中学数学教学具有产生较好地导向作用. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

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13. (5 分)函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在区间上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为 或 .

x

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 a>1 时,函数 f(x)在区间上单调递增,由 f(2)﹣f(1)= ,解得 a 的值.当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间上单调递减,由 f(1)﹣f(2)= , 解得 a 的值,综合可得结论. 解答: 解:由题意可得: ∵当 a>1 时,函数 f(x)在区间上单调递增, ∴f(2)﹣f(1)=a ﹣a= ,解得 a=0(舍去) ,或 a= . ∵当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间上单调递减, ∴f(1)﹣f(2)=a﹣a = ,解得 a=0(舍去) ,或 a= . 综上可得,a= ,或 a= . 点评: 本题主要考查指数函数的单调性的应用, 体现了分类讨论的数学思想, 属于中档题. 14. (5 分)如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆) ,则该几何体的表面积是 20+3π.
2 2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由几何体的三视图, 知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体, 下半部分是半径 为 1,高为 2 的圆柱的一半,由此能求出该几何体的表面积. 解答: 解:由几何体的三视图,知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体,下半部分是 半径为 1,高为 2 的圆柱的一半, ∴该几何体的表面积 S=5×2 +π×1 +
2 2

=20+3π.

故答案为:20+3π. 点评: 本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积的求法, 是基础题. 解题时要认真审 题,仔细解答.
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15. (5 分)过点 P(0,﹣1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,﹣2) ,B(2,1)的线段没 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是(45°,135°) . 考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 利用斜率计算公式可得 kPA=﹣1,kPB=1.可得直线 PA,PB 的倾斜角分别为 135°, 45°.由于直线 l 与连接 A(1,﹣2) ,B(2,1)的线段没有公共点,可得直线 l 的斜率 k 满足 k>1 或 k<﹣1,即可得出. 解答: 解:∵kPA= =﹣1,kPB= =1.

∴直线 PA,PB 的倾斜角分别为 135°,45°. ∵直线 l 与连接 A(1,﹣2) ,B(2,1)的线段没有公共点, ∴直线 l 的斜率 k 满足 k>1 或 k<﹣1, ∴直线 l 的倾斜角的取值范围是(45°,135°) . 故答案为: (45°,135°) . 点评: 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,考查了计算能力,属于基础题. 16. (5 分)在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,这 些几何形体是①③④⑤(写出所有正确结论的编号) . ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 考点: 棱柱的结构特征. 专题: 综合题. 分析: 先画出图形, 再在底面为正方形的长方体上选择适当的 4 个顶点, 观察它们构成的 几何形体的特征,从而对五个选项一一进行判断,对于正确的说法只须找出一个即可. 解答: 解:如图:①正确,如图四边形 A1D1BC 为矩形 ②错误任意选择 4 个顶点,若组成一个平面图形,则必为矩形或正方形,如四边形 ABCD 为正方形,四边形 A1D1BC 为矩形; ③正确,如四面体 A1ABD; ④正确,如四面体 A1C1BD; ⑤正确,如四面体 B1ABD; 则正确的说法是①③④⑤. 故答案为①③④⑤

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点评: 本题主要考查了点、线、面间位置特征的判断,棱柱的结构特征,能力方面考查空 间想象能力和推理论证能力,属于基础题.找出满足条件的几何图形是解答本题的关键. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)设全集为 U=R,集合 A=(﹣∞,﹣3]∪ ∴2ax+a+b=1﹣4x 对一切 x∈R 成立. ∴ ∴ (5 分) ,

又∵f(1)=1, ∴a+b+c=1, ∴c=0. 2 ∴f(x)=﹣2x +3x(8 分) 2 (2)g(x)=f(x)﹣x﹣a=﹣2x +2x﹣a, (10 分) 函数 g(x)在实数 R 上没有零点, 故△ =4﹣8a<0, (13 分) 解之得 (15 分)

点评: 本题考查求解函数解析式及一元二次方程的根的分布与系数的关系, 着重考查待定 系数法,考查二次函数零点,属于中档题. 19. (12 分)如图,三棱柱 A1B1C1﹣ABC 的三视图,主视图和侧视图是全等的矩形,俯视 图是等腰直角三角形,点 M 是 A1B1 的中点. (Ⅰ)求证:B1C∥平面 AC1M; (Ⅱ)求证:平面 AC1M⊥平面 AA1B1B.

考点: 平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (I)由三视图确定直观图的形状,连接 A1C,设 A1C∩AC1=O,连接 MO,证明 MO∥B1C,利用线面平行的判定,可得 B1C∥平面 AC1M; (II)先证明 C1M⊥平面 AA1B1B,再证明平面 AC1M⊥平面 AA1B1B.

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解答: 证明: (I)由三视图可知三棱柱 A1B1C1﹣ABC 为直三棱柱,底面是等腰直角三角 形且∠ACB=90°, 连接 A1C, 设 A1C∩AC1=O. 连接 MO, 由题意可知 A1O=CO, A1M=B1M, 所以 MO∥B1C. ∵MO?平面 AC1M,B1C?平面 AC1M ∴B1C∥平面 AC1M; (II)∵A1C1=B1C1,点 M 是 A1B1 的中点 ∴C1M⊥A1B1, ∵平面 A1B1C1⊥平面 AA1B1B,平面 A1B1C1∩平面 AA1B1B=A1B1, ∴C1M⊥平面 AA1B1B ∵C1M?平面 AC1M ∴平面 AC1M⊥平面 AA1B1B.

点评: 本题考查线面平行,考查面面垂直,解题的关键是掌握线面平行的判定,掌握面面 垂直的证明方法. 20. (12 分)如图:PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形,PA=AB=1,AD= ,点 F 是 PB 的 中点,点 E 在边 BC 上移动. (Ⅰ)求三棱锥 E﹣PAD 的体积; (Ⅱ)当点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 分析: 本题考查了空间几何体的体积、线面位置关系的判定、线面垂直等知识点, (Ⅰ)利用换底法求 VP﹣ADE 即可; (Ⅱ)利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决; (Ⅲ)通过证明 AF⊥平面 PBE 即可解决.

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解答: 解: (Ⅰ)三棱锥 E﹣PAD 的体积

. (4

分) (Ⅱ)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. (5 分) ∵在△ PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点, ∴EF∥PC,又 EF?平面 PAC,而 PC?平面 PAC, ∴EF∥平面 PAC. (8 分) (Ⅲ)证明: ∵PA⊥平面 ABCD,BE?平面 ABCD, ∴EB⊥PA,又 EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP?平面 PAB, ∴EB⊥平面 PAB,又 AF?平面 PAB, ∴AF⊥BE. (10 分) 又 PA=AB=1,点 F 是 PB 的中点, ∴AF⊥PB, 又∵PB∩BE=B,PB,BE?平面 PBE, ∴AF⊥平面 PBE. ∵PE?平面 PBE, ∴AF⊥PE. (12 分) 点评: 无论是线面平行(垂直)还是面面平行(垂直) ,都源自于线与线的平行(垂直) , 这种“高维”向“低维”转化的思想方法,在解题时非常重要,在处理实际问题的过程中,可以 先从题设条件入手,分析已有的平行(垂直)关系,再从结论入手分析所要证明的平行(垂 直)关系,从而架起已知与未知之间的桥梁. 21. (12 分)已知圆 C 的圆心在直线 l1:x﹣y﹣1=0 上,与直线 l2:4x+3y+14=0 相切,且截 得直线 l3:3x+4y+10=0 所得弦长为 6,求圆 C 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题. 分析: 由题意设圆心为 (a, b) , 半径为 r, 利用圆与直线 4x+3y+14=0 相切, 在 3x+4y+10=0 上截得弦长为 6,列出方程,即可求出 a,b,从而可得到圆的方程. 解答: 解:设圆心 C(a,b) ,半径为 r. 则∵圆 C 的圆心在直线 l1:x﹣y﹣1=0 上, ∴a﹣b﹣1=0, ∵圆 C 与直线 l2:4x+3y+14=0 相切 ∴r= ,

∵圆 C 截得直线 l3:3x+4y+10=0 所得弦长为 6 ∴ .

所以



=9. =9.



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因为 a﹣b=1, 所以 ∴a+b=3. 由 解之得
2 2

=9,

故所求圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =25. 点评: 本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,正确应用直线与圆相切,相交的关系是 解题的关键,考查计算能力. 22. (12 分)已知点 P(4,3) (1)若过点 P 的直线 l1 在坐标轴上的截距相等,求 l1 的方程; (2)若过点 P 的直线 l2 与原点的距离为 4,求 l2 的方程; (3) 若过点 P 的直线 l3 的直线交 x 轴正半轴于 A 点, 交 y 轴正半轴于 B 点, O 为坐标原点, 当△ AOB 的面积最小时,求 l3 的方程. 考点: 待定系数法求直线方程. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)分直线过原点和不过原点设出直线方程,然后把点(4,3)代入直线方程, 求出斜率后直线方程可求. (2)直线已过一点,考虑斜率不存在时是否满足条件,再利用待定系数法根据点到直线的 距离公式建立等量关系,求出斜率; (3)由题意可设直线 l3 的方程为 直线方程得到 得到直线 l3 的方程. 解答: 解: (1)当直线过原点时,斜率等于 ,故直线的方程为 y= x,即 3x﹣4y=0. 当直线不过原点时,设直线的方程为 x+y+m=0,把 P(4,3)代入直线的方程得 m=﹣7, 故求得的直线方程为 x+y﹣7=0, 综上,满足条件的直线方程为 3x﹣4y=0 或 x+y﹣7=0; (2)过 P 点的直线 l2 与原点距离为 4,而 P(4,3) ,可见,过 P(4,3)垂直于 x 轴的直 线满足条件. 此时 l2 的斜率不存在,其方程为 x=4. 若斜率存在,设 l2 的方程为 y﹣3=k(x﹣4) ,即 kx﹣y+4k﹣3=0. 由已知,过 P 点与原点距离为 2,得 =4,解之得 k=﹣ . =1,a>0,b>0.由于直线 l3 过点 P(4,3) ,代入

.利用基本不等式即可得出 ab 的最小值,取得最小值时 a,b,即可

此时 l2 的方程为 7x+4y﹣100=0. 综上,可得直线 l2 的方程为 x=4 或 7x+4y﹣100=0. (3)由题意可设直线 l3 的方程为 ∵直线 l3 过点 P(4,3) ,
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=1,a>0,b>0.

∴ ∴

. ≥2 ,

∴ab≥48,当且仅当 = ,即 a=2,b=6 是取等号. 此时△ AOB 的面积取得最小值,l3 的方程为 .

点评: 本题考查了直线的方程,考查了分类讨论的数学思想方法,是中档题.

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