高二数学备课教案 3.5.1《二元一次不等式 组 所表示的平面区域》 新人教B版必修5

3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域 教案
一、教学目标: 1.知识目标:能做出二元一次不等式(组)所表示平面区域;会把若干直线围成的 平面区域用二元一次不等式组表示. 2.能力目标:培养学生用数形结合思想分析问题、解决问题的能力; 3.情感目标:体会数学的应用价值,激发学生的学习兴趣. 二、教学重点、难点: 重点:二元一次不等式(组)表示的平面区域 难点:用二元一次不等式(组)表示平面区域. 三、教学方法与手段 本节课采用探究式教学法,采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教 学.并充分利用多媒体辅助教学. 四、教学过程 (一)创设情景,引入新课 本班计划用少于 100 元的钱购买单价分别为 2 元和 1 元的大、 小彩球装点元旦晚会的 会场,根据需要,大球数不少于 10 个,小球数不少于 20 个,请你给出几种不同的购买方 案? 分析:(1)引入问题中的变量:设买大球 x 个,买小球 y 个; (2)把文字语言转化为数学符号语言: (少于 100 元的钱购买) ? (大球数不少于 10) (小球数不少于 20)
? ?
2 x ? y ? 100

(1) (2) (3)

x ? 10 , x ? N
y ? 20 , y ? N

? 2x ? y ? 100 ? (3)抽象出数学模型: ? x ? 10 ? y ? 20, x, y ? N ?

(二)讲授新课 1.二元一次不等式(组)的定义 (1)二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做 二元一次不等式. (2)二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等 式组. 注意:二元一次不等式(组)是根据未知数的个数和未知数的最高次数加以区分. 2.探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形 回忆:初中一元一次不等式(组)的解集所表示的图形——数轴上的区间 二元一次方程表示的是什么图形? 直线 思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形? 问题一:平面直角坐标系中不在直线上的点被直线 Ax ? By ? C ? 0 分为几部分?

两部分

以 x ? y ? 1 ? 0 为例进行直观说明,引出以下概念:

每部分叫做开半平面,开半平面与直线的并集叫做闭半平面. 以不等式解(x,y)为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的区域或不等式的 图象. 如何求二元一次不等式表示的平面区域? 我们先研究具体的二元一次不等式 x ? y ? 1 ? 0 的解集所表示的图形. 问题二:平面内所有的点被直线 x ? y ? 1 ? 0 分成几类? 如图:在平面直角坐标系内, x ? y ? 1 ? 0 表示一条直线. 平面内所有的点被直线分成三类: 第一类:在直线 x ? y ? 1 ? 0 上的点; 第二类:在直线 x ? y ? 1 ? 0 左下方的区域内的点; O 第三类:在直线 x ? y ? 1 ? 0 右上方的区域内的点. 问题三:每部分中的点都有哪些特点? 在直线的上方、下方取一些点: 上方:(0,2),(1,3),(0,5),(2,2) 下方:(-1,0),(0,0),(0,-2),(1,-1) 分别把点的坐标代入式子 x ? y ? 1 中,会有什么结果? 直线上方的点使的 x ? y ? 1 ? 0 ;直线下方的点使的 x ? y ? 1 ? 0 . 猜想:直线同侧点的坐标是否使式子的值具有相同的符号? 问题四:直线 x ? y ? 1 ? 0 右上方的平面区域如何表示?左下方的平面区域呢?
x ? y ?1 ? 0 ; x ? y ?1 ? 0 .

y 1 1 x

由学生自行归纳总结,不要求证明. 结论:直线 Ax ? By ? C ? 0 把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部分,同一 侧点的坐标使式子 Ax ? By ? C 的值具有相同的符号,并且两侧的点的坐标使式子
Ax ? By ? C 的值符号相反,一侧都大于 0,一侧都小于 0.

问题五:如何判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 哪一侧平面区域? 根据以上结论,只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0 , y0),从 Ax0 ? B y 0 ? C 的 正负即可判断不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面区域, 这种方法称为代点法.

概括为: “直线定界,特殊点定域”. 特别地,当 C ? 0 时,常把原点作为特殊点,即“直线定界、原点定域”. 问题六: Ax ? By ? C ? 0 表示的平面区域与 Ax ? By ? C ? 0 表示的平面区域有何 不同?如何体现这种区别? 把直线画成实线以表示区域包含边界直线; 把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线. (三)应用新知,练习巩固 例1.画出下面二元一次不等式表示的平面区域: (1) 2x ? y ? 3 ? 0 ; (2) 3x ? 2y ? 6 ? 0 .

设计以下几个问题: (1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧?这条直线是画实线还是虚线? (2)运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好? 学生完成,师指导.

例 2.画出下列不等式组表示的平面区域
? 2x ? y ? 1 ? 0 (1) ? ?x ? y ? 1 ? 0

? 2x ? 3y ? 2 ? 0 ? (2) ?2y ? 1 ? 0 ?x ? 3 ? 0 ?

设计以下几个问题: (1)不等式组表示的平面区域如何确定?(各个不等式表示的平面点集的交集即各个 不等式所表示的平面区域的公共部分)

(2)第二小题中加上条件 x, y ? N ,又会是什么图形呢?

多媒体演示平面区域 (是上述公共平面区域内的整点) 例3.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是 磷酸盐4吨,硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨,硝酸盐15 吨.现有库存磷酸盐10吨,硝酸盐66吨.如果在此基础上进行生产,设x,y分别为计划生 产甲、乙两种混合肥料的车皮数,请列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平 面区域.
? 4x ? y ? 10 ? ?18x ? 15y ? 66 解:x,y 满足的数学关系式为 : ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

分别画出不等式组中,各不等式表示的区域,然后取交集.如图中的阴影部分.

(四)课堂小结 知识上:1.二元一次不等式(组)表示平面区域 2.判定方法: “直线定界,特殊点定域”. 小诀窍:如果 C≠0,可取(0,0); 如果 C=0,可取(1,0)或(0,1). 思想方法上:数形结合的数学思想方法. (五)布置作业 大屏幕展示思考题: (再次回到引例)为下一节课做准备。 我们班计划用少于 100 元的钱购买单价分别为 2 元和 1 元的大、小彩球装点联欢晚会 的会场,根据需要,大球数不少于 10 个,小球数不少于 20 个,请问最多可以买到几只彩 球?如果要求大球与小球的总数不超过 48 个,哪种方案最省钱?


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