河北省保定市容城中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析

河北省保定市容城中学 2014-2015 学年高二下学期第一次月考数 学试卷(理科)
一.选择题(每小题 5 分,共 12 个小题) 1.用三段论推理:“指数函数 y=a 是增函数,因为 y=( ) 是指数函数,所以 y=( ) 是 增函数”,你认为这个推理() A.大前提错误 B.小前提错误
x x x

C.推理形式错误

D.是正确的

2.若 f′(x0)=﹣3,则 A.﹣3 3.定积分 A.e+2 4.函数 A.e
﹣1

() C . ﹣9 D.﹣12

B . ﹣6 (2x+e )dx 的值为() B.e+1 的最大值为() B. e
x

C. e

D.e﹣1

C. e

2

D.

5.数列 2,5,11,20,x,47,…中的 x 值为() A.28 B.32 C.33
3

D.27

6.直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A.2 B. 4 C. 2 D.4 7.曲线 y=xe A.2e
x﹣1

在点(1,1)处切线的斜率等于() B. e C. 2

D.1

8.设曲线 y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=() A.0 B. 1 C. 2 D.3 9.已知 f(x)=x ﹣3x +2x+a,若 f(x)在 R 上的极值点分别为 m,n,则 m+n 的值为() A.2 B. 3 C. 4 D.6 10.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()
3 2

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个 ,

11.设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则

类比这个结论可知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径为 r, 四面体 S﹣ABC 的体积为 V,则 r=() A. C. B. D.

12.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x﹣1)f′(x)≥0,则必有() A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C. f (0) +f (2) ≥2f (1) D. f(0)+f(2)>2f(1)

二、填空题.(本题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.∫ sin
2

dx=.

14.若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间(



)是减函数,则 a 的取值范围是.

15.f(n)=1+ + +…+ (n∈N ) ,计算可得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, f(32)> ,推测当 n≥2 时,有.

*

16.如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部 分的概率为.

三、解答题: 17.已知函数 f(x)=﹣x +3x +9x+a. (Ⅰ)求 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若 f(x)在区间上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 18.已知函数 y=ax +bx ,当 x=1 时,有极大值 3. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值. 19.已知:sin 30°+sin 90°+sin 150°= ,sin 5°+sin 65°+sin 125°= .通过观察上述两等式的规 律,请你写出一般性的命题,并给出证明. 20.设函数 f(x)=2lnx﹣x . (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若关于 x 的方程 f(x)+x ﹣x﹣2﹣a=0 在区间内恰有两个相异实根,求实数 a 的取值范 围.
2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2

21.已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)在点(1,﹣

﹣1. )处的切线方程;

(2)若直线 y=m 与 f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的范围. 22.已知函数 (a∈R) .

(Ⅰ)若函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程为 y=2x+b,求 a,b 的值; (Ⅱ)若函数在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

河北省保定市容城中学 2014-2015 学年高二下学期第一次 月考数学试卷(理科)
一.选择题(每小题 5 分,共 12 个小题) 1.用三段论推理:“指数函数 y=a 是增函数,因为 y=( ) 是指数函数,所以 y=( ) 是 增函数”,你认为这个推理() A.大前提错误 B.小前提错误
x x x

C.推理形式错误

D.是正确的

考点: 演绎推理的基本方法. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)是 R 上的增函数,这个说法是错误的,要根据所给的 底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性,即大前提是错误的. x 解答: 解:指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)是 R 上的增函数, 这个说法是错误的,要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性, 大前提是错误的, ∴得到的结论是错误的, ∴在以上三段论推理中,大前提错误. 故选 A. 点评: 本题考查演绎推理的基本方法,解题的关键是理解演绎推理的三段论原理,在大前 提和小前提中,若有一个说法是错误的,则得到的结论就是错误的.
x

2.若 f′(x0)=﹣3,则 A.﹣3 B . ﹣6 C.

() ﹣9 D. ﹣12

考点: 极限及其运算. 专题: 计算题. 分析: 先把 等价转化为

=4f′(x0) ,从而导出其最终结果.

解答: 解:

= =4f′(x0) =﹣12. 故选 D. 点评: 本题考查极限的性质和应用,解题时要合理地进行等价转化. 3.定积分 A.e+2 (2x+e )dx 的值为() B.e+1 C. e D.e﹣1
x

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据微积分基本定理计算即可.

解答: 解:

(2x+e )dx=(x +e )

x

2

x

=(1+e)﹣(0+e )=e.

0

故选:C. 点评: 本题主要考查了微积分基本定理,关键是求出原函数.

4.函数 A.e
﹣1

的最大值为() B. e C. e
2

D.

考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题. 分析: 先找出导数值等于 0 的点,再确定在此点的左侧及右侧导数值的符号,确定此点是 函数的极大值点还是极小值点, 从而求出极值. 解答: 解:令 当 x>e 时,y′<0; 当 x<e 时,y′>0, 在定义域内只有一个极值, 所以 , , ,

故答案选 A. 点评: 本题考查求函数极值的方法及函数在某个点取得极值的条件. 5.数列 2,5,11,20,x,47,…中的 x 值为() A.28 B.32 C.33

D.27

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题. 分析: 根据所给数列中相邻两项的差的规律性,即从第二项起,每一项与前一项的差依次 是 3 的倍数,再进行求解. 解答: 解:由题意知,数列 2,5,11,20,x,47, ∴5﹣2=3,11﹣5=6,20﹣11=9, 则 x﹣20=12,解得 x=32, 故选 B. 点评: 本题考查了数列的概念的应用,即需要找出数列各项之间的特定关系,考查了分析 问题和解决问题的能力. 6.直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A.2 B. 4 C. 2 D.4
3

考点: 定积分. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分上限为 2,积分下限为 0 的积分,从而 利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 解答: 解:先根据题意画出图形,得到积分上限为 2,积分下限为 0, 曲线 y=x 与直线 y=4x 在第一象限所围成的图形的面积是∫ 而∫ (4x﹣x )dx=(2x ﹣ x )|
3 2 4 3

(4x﹣x )dx,

3

=8﹣4=4,

∴曲边梯形的面积是 4, 故选:D.

点评: 考查学生会求出原函数的能力,以及会利用定积分求图形面积的能力,同时考查了 数形结合的思想,属于基础题. 7.曲线 y=xe A.2e
x﹣1

在点(1,1)处切线的斜率等于() B. e C. 2

D.1

考点: 导数的几何意义. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率. 解答: 解:函数的导数为 f′(x)=e 当 x=1 时,f′(1)=2,
x﹣1 x﹣1

+xe

x﹣1

=(1+x)e

x﹣1



即曲线 y=xe 在点(1,1)处切线的斜率 k=f′(1)=2, 故选:C. 点评: 本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础. 8.设曲线 y=ax﹣ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=() A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据导数的几何意义,即 f′(x0)表示曲线 f(x)在 x=x0 处的切线斜率,再代入计 算.

解答: 解:



∴y′(0)=a﹣1=2, ∴a=3. 故答案选 D. 点评: 本题是基础题,考查的是导数的几何意义,这个知识点在 2015 届高考中是经常考查 的内容,一般只要求导正确,就能够求解该题.在 2015 届高考中,导数作为一个非常好的研 究工具,经常会被考查到,特别是用导数研究最值,证明不等式,研究零点问题等等经常以大 题的形式出现,学生在复习时要引起重视. 9.已知 f(x)=x ﹣3x +2x+a,若 f(x)在 R 上的极值点分别为 m,n,则 m+n 的值为() A.2 B. 3 C. 4 D.6 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据题意,可知 m,n 为 f′(x)=0 的两个根,利用韦达定理即可求得 m+n 的值. 解答: 解:∵f(x)=x ﹣3x +2x+a, 2 ∴f′(x)=3x ﹣6x+2, ∵f(x)在 R 上的极值点分别为 m,n, 则 m,n 为 f′(x)=0 的两个根, 根据韦达定理可得,m+n= =2,
3 2 3 2

∴m+n 的值为 2. 故选:A. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的极值,解题时要注意运用极值点必定是导函数对应 方程的根,而导函数对应方程的根不一定是极值点.将极值点问题可以转化为 f′(x)=0 的根 的问题进行处理.属于中档题. 10.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则 函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由图象得:导函数 f′(x)=0 有 3 个根,只有在 b 附近的根满足根的左边为负值,根 的右边为正值,故函数只有 1 个极小值点.从而问题得解. 解答: 解:由图象得:导函数 f′(x)=0 有 3 个根, 只有在 b 附近的根满足根的左边为负值,根的右边为正值, 故函数只有 1 个极小值点,

故选:A. 点评: 本题考察了函数的极值问题,导数的应用,是一道基础题. 11.设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则



类比这个结论可知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径为 r, 四面体 S﹣ABC 的体积为 V,则 r=() A. C. B. D.

考点: 类比推理. 专题: 探究型. 分析: 根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面, 由内切圆类比内切球, 由平面图形面积类比立体图形的体积, 结合求三角形的面积的方法类比 求四面体的体积即可. 解答: 解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 ∴R= 故选 C.

点评: 类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移 到另一类数学对象上去.一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想) . 12.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x﹣1)f′(x)≥0,则必有() A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C. f (0) +f (2) ≥2f (1) D. f(0)+f(2)>2f(1) 考点: 导数的运算. 专题: 分类讨论.

分析: 分 x≥1 和 x<1 两种情况对(x﹣1)f′(x)≥0 进行讨论,由极值的定义可得当 x=1 时 f(x)取得极小值也为最小值,故问题得证. 解答: 解:依题意,当 x≥1 时,f′(x)≥0,函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; 当 x<1 时,f′(x)≤0,f(x)在(﹣∞,1)上是减函数, 故当 x=1 时 f(x)取得极小值也为最小值,即有 f(0)≥f(1) ,f(2)≥f(1) , ∴f(0)+f(2)≥2f(1) . 故选 C. 点评: 本题以解不等式的形式,考查了利用导数求函数极值的方法,同时灵活应用了分类 讨论的思想,是一道好题. 二、填空题.(本题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.∫ sin
2

dx=



考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据函数的积分公式,即可得到结论. 解答: 解:∫ 故答案为: sin ,
2

dx=∫

=(



)|

=



点评: 本题主要考查积分的计算,要求熟练掌握常见函数的积分公式,利用三角函数的关 系是将函数进行化简是解决本题的关键,比较基础. )是减函数,则 a 的取值范围是(﹣∞,2].

14.若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间(



考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: 利用二倍角的余弦公式化为正弦,然后令 t=sinx 换元,根据给出的 x 的范围求出 t 的范围,结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解 a 的范围. 解答: 解:由 f(x)=cos2x+asinx =﹣2sin x+asinx+1, 令 t=sinx, 2 则原函数化为 y=﹣2t +at+1. ∵x∈( ,
2 2

)时 f(x)为减函数,

则 y=﹣2t +at+1 在 t∈( ,1)上为减函数, ∵y=﹣2t +at+1 的图象开口向下,且对称轴方程为 t= .
2



,解得:a≤2.

∴a 的取值范围是(﹣∞,2]. 故答案为: (﹣∞,2]. 点评: 本题考查复合函数的单调性,考查了换元法,关键是由换元后函数为减函数求得二 次函数的对称轴的位置,是中档题. 15.f(n)=1+ + +…+ (n∈N ) ,计算可得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, f(32)> ,推测当 n≥2 时,有 f(2 )≥
n *



考点: 归纳推理. 专题: 规律型. 分析: 已知的式子可化为 f(2)= (2 )>
5

,f(2 )> .

2

,f(2 )>

3

,f(2 )>

4

,f

,由此规律可得 f(2 )≥

n

解答: 解:已知的式子 f(2)= , f(4)>2, f(8)> , f(16)>3, f(32)> ,… 可化为:f(2)= f(2 )> f(2 )> f(2 )> f(2 )> … 以此类推,可得 f(2 )≥ 故答案为:f(2 )≥ 点评: 本题考查归纳推理,把已知的式子变形找规律是解决问题的关键,属基础题.
n n 5 4 3 2



, , , ,



16.如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部 分的概率为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

几何概型. 综合题;概率与统计. 利用定积分计算阴影部分的面积,利用几何概型的概率公式求出概率. x 解:由题意,y=lnx 与 y=e 关于 y=x 对称, (e﹣e )dx=2(ex﹣e )
x x

∴阴影部分的面积为 2

=2,
2

∵边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形的面积为 e , ∴落到阴影部分的概率为 故答案为: . .

点评: 本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到. 三、解答题: 17.已知函数 f(x)=﹣x +3x +9x+a. (Ⅰ)求 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若 f(x)在区间上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I)先求出函数 f(x)的导函数 f′(x) ,然后令 f′(x)<0,解得的区间即为函数 f (x)的单调递减区间; (II)先求出端点的函数值 f(﹣2)与 f(2) ,比较 f(2)与 f(﹣2)的大小,然后根据函数 f(x)在上单调递增,在上单调递减,得到 f(2)和 f(﹣1)分别是 f(x)在区间上的最大 值和最小值,建立等式关系求出 a,从而求出函数 f(x)在区间上的最小值. 2 解答: 解: (I)f′(x)=﹣3x +6x+9. 令 f′(x)<0,解得 x<﹣1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1) , (3,+∞) . (II)因为 f(﹣2)=8+12﹣18+a=2+a,f(2)=﹣8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(﹣2) . 因为在(﹣1,3)上 f′(x)>0,所以 f(x)在上单调递增, 又由于 f(x)在上单调递减,
3 2

因此 f(2)和 f(﹣1)分别是 f(x)在区间上的最大值和最小值,于是有 22+a=20,解得 a= ﹣2. 故 f(x)=﹣x +3x +9x﹣2,因此 f(﹣1)=1+3﹣9﹣2=﹣7, 即函数 f(x)在区间上的最小值为﹣7. 点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.以及在闭区间上的最值问题等基础知识, 同时考查了分析与解决问题的综合能力. 18.已知函数 y=ax +bx ,当 x=1 时,有极大值 3. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值. 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题. 分析: (1)求出 y′,由 x=1 时,函数有极大值 3,所以代入 y 和 y′=0 中得到两个关于 a、b 的方程,求出 a、b 即可; (2) 令 y′=0 得到 x 的取值利用 x 的取值范围讨论导函数的正负决定函数的单调区间 , 得到函 数的极小值即可. 2 解答: 解: (1)y′=3ax +2bx,当 x=1 时,y′|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b=3, 即 (2)y=﹣6x +9x ,y′=﹣18x +18x,令 y′=0,得 x=0,或 x=1 当 x>1 或 x<0 时,y′<0 函数为单调递减;当 0<x<1 时,y′>0,函数单调递增. ∴y 极小值=y|x=0=0. 点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力,以及会用待定系数法球函数解析式的能力.
2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2

19.已知:sin 30°+sin 90°+sin 150°= ,sin 5°+sin 65°+sin 125°= .通过观察上述两等式的规 律,请你写出一般性的命题,并给出证明. 考点: 归纳推理;三角函数恒等式的证明. 专题: 证明题;探究型. 分析: 分析已知条件中:sin 30°+sin 90°+sin 150°= ,sin 5°+sin 65°+sin 125°= .我们可以 发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方,且三个角组成一个以 60°为公差的等差数列, 右边是常数,由此不难得到结论. 解答: 解:由已知中 sin 30°+sin 90°+sin 150°= , sin 5°+sin 65°+sin 125°= . 归纳推理的一般性的命题为: sin (α﹣60°)+sin α+sin (α+60°)= . 证明如下:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

左边= = ﹣ = =右边.

+

+

∴结论正确. 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) , (3)论证. 20.设函数 f(x)=2lnx﹣x . (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若关于 x 的方程 f(x)+x ﹣x﹣2﹣a=0 在区间内恰有两个相异实根,求实数 a 的取值范 围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的零点. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求函数 f(x)的导数,解 f′(x)>0 便得增区间.要使关于 x 的方程 f(x)+x ﹣x 2 ﹣2﹣a=0 在区间内恰有两个相异实根,也就是让函数 f(x)+x ﹣x﹣2﹣a 在内有两个零点, 2 令 g(x)=f(x)+x ﹣x﹣2﹣a=2lnx﹣x﹣2﹣a,下面要做的就是考查 g(x)在区间内最值情 况,若有最大值,则限制最大值大于 0,然后两个端点值都小于 0,若有最小值,情况恰好相 反. 解答: 解: (1)f′(x)= ,∵x>0,x∈(0,1)时,f′(x)>0,所以函数 f
2 2 2

(x)的单调递增区间是(0,1]. 2 (2)将 f(x)代人方程 f(x)+x ﹣x﹣2﹣a=0 得 2lnx﹣x﹣2﹣a=0,令 g(x)=2lnx﹣x﹣2 ﹣a 则 g′(x)= ;

∴x∈时,g′(x)<0; ∴g(2)是 g(x)的极大值,也是 g(x)在上的最大值; 2 ∵关于 x 的方程 f(x)+x ﹣x﹣2﹣a=0 在区间内恰有两个相异实根; ∴函数 g(x)在区间内有两个零点;则有:g(2)>0,g(1)<0,g(3)<0,所以有:

解得:2ln3﹣5<a<2ln2﹣4,所以 a 的取值范围是(2ln3﹣5,2ln2﹣4) . 点评: 利用导数求函数的单调区间,这个不难掌握,注意做第二题 g(2)>0,g(1)<0, g(3)<0,这几个限制条件的得出,并 掌握做这类题的方法. 21.已知函数 f(x)= ﹣1.

(1)求函数 f(x)在点(1,﹣

)处的切线方程;

(2)若直线 y=m 与 f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (1)根据题意,对 f(x)求导可得 f′(x) ,从而可得 f′(1)的值,即可得函数 f(x) 在点(1,﹣ )处的切线的斜率,由直线的点斜式方程计算可得答案;

(2)对 f(x)求导可得 f′(x) ,借助导数与单调性的关系分析可得 f(x)的单调性和极值, 分析直线 y=m 与 f(x)的图象的位置关系即可得答案. 解答: 解: (1)由已知得:f′(x)=x +x … ∴f′(1)=2 则切线方程为:y+ =2(x﹣1) 即 12x﹣6y﹣13=0 … (2)令 f′(x)=x +x=0 解得:x=﹣1,x=0 当 x<﹣1 时,f′(x)>0 当﹣1<x<0 时,f′(x)<0 当 x>0 时,f′(x)>0 ∴f(x)的极大值是 f(﹣1)=﹣ f(x)的极小值是 f(0)=﹣1… 所以 要使直线 y=m 与 f(x)的图象有三个不同的交点,m …
2 2

点评: 本题考查导数的运用, (2)的关键在于根据导数判断出函数的单调性以及极值,从 而大致判断出函数的形状. (a∈R) .

22.已知函数

(Ⅰ)若函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程为 y=2x+b,求 a,b 的值; (Ⅱ)若函数在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)先求出 f′(x)=e ﹣x﹣a,从而 f′(0)=1﹣a=2,解得:a= ﹣1,得 f(x)=e ﹣ x +x,解得:b=1. (Ⅱ)由题意 f′(x)>0,即 e ﹣x﹣a≥0 恒成立,得 a≤e ﹣x 恒成立,设 h(x)=e ﹣x,求出 h(x)min=h(0)=1,从而 a≤1. x 解答: 解: (Ⅰ)∵f′(x)=e ﹣x﹣a, ∴ f′(0)=1﹣a=2,解得:a=﹣1, ∴f(x)=e ﹣ x +x,
x 2 x x x 2 x x

∴f(0)=1, ∴1=2×0+b,解得:b=1. (Ⅱ)由题意 f′(x)>0,即 e ﹣x﹣a≥0 恒成立, x ∴a≤e ﹣x 恒成立, x x 设 h(x)=e ﹣x,则 h′(x)=e ﹣1, 令 h′(x)>0,解得:x>0, 令 h′(x)<0,解得:x<0, ∴h(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增, ∴h(x)min=h(0)=1, ∴a≤1. 点评: 本题考察了函数的单调性,导数的应用,求参数的范围,是一道基础题.
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