江苏省扬州市2015年高考数学考前指导 填空题4

江苏省扬州市 2015 年高考数学考前指导 填空题 4
1.将全体正奇数排成一个三角形数阵: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ?????? 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 【分析】考点:归纳推理——引导学生寻找这个数阵中数的排列规律 【答案】法一:全体正奇数的通项公式为 an ? 2n ? 1 , 前 n-1 行共有正奇数 1+2+?+( n -1)个,即 .

n2 ? n 个, 2 n2 ? n + 1 个 , 即 为 2

∴ 第 n 行 第 1 个 数 是 全 体 正 奇 数 中 第

( 2

n2 ? n ? 1) ? 1 ? n 2 ? n ? 1, 2
2 2

∴ 第 n 行从左往右第 3 个数是 n ? n ? 1 ? 4 ? n ? n ? 5 法二:记 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 7, a4 ? 13? ,利用累加法可求得

an ? n 2 ? n ? 1 ,即为第 n 行的第一个数
0) 2 . 已知 a, b, c 成等差数列 , 点 M(-3, 在直线 ax ? by ? c ? 0 上的射影点为 N , 点
P(1,1) ,则 PN 的最小值为_____________ .
【分析】先找出“等差数列”这个条件和直线之间的联系,然后根据射影点 N 满足的条件分析出 N 点的轨迹 【答案】由题

2b ? a ? c ,即 a ? 2b ? c ? 0 ,故直线过定点 A(1,-2)
∴ MN ? AN
2 2

∵ MN ? l

(x ? 1 ) ? ( y ? 1) ? 5 ∴ N 点的轨迹为以 AM 为直径的圆 C:
∴ ( PN) min ? PC ? r ? 2 2 ? 5

1

3.对向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2)定义一种运算“ ? ”:a ? b=(a1,a2) ? (b1,b2)= (a1b1,a2b2).已知动点 P,Q 分别在曲线 y=sin x 和 y=f(x)( x ? ?0, 1 π

? ?? ? )上运动,且 ? 2?

OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为坐标原点),若向量 m=(2,3),n=( 6 ,0),则 y=f(x)的
取值范围为________. 【分析】考查向量的坐标运算,利用条件找到 P,Q 坐标间的关系,再通过点 P 的轨迹方程求 Q 点的轨迹方程,即 y=f(x)的解析式 【答案】解析:设 P=(x1,y1),Q=(x,y) ( x ? ?0, 1 ∵ m=( ,3), 2 1 x1 π ∴ OQ ? m ? OP ? n =( ,3) ? (x1,y1)=( ,3y1)+( ,0) 2 2 6

? ?? , ?) ? 2?

x1 π =( + ,3y1) , 2 6


x1 π π y x= + ,y=3y1,∴ x1=2x- ,y1= ,
2 6 3 3

y π 又 y1=sin x1,∴ =sin(2x- ), 3 3

? 3 3 ? π ,3? ∴ y=3sin(2x- ) ? ?3 2 ? ?
4 .定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?

?log2 (x ? 1) (0? x ? 1) ,若函数 ( x ? 1) ?| x ? 3 | ?1


g ( x) ? f ( x) ? m 有五个零点,则 m 的取值范围为

【分析】根据零点的定义,将问题等价转化为方程 f ( x) ? m 的跟的个数问题

?log2 ( x ? 1)(0 ? x ? 1) ? (-1, 1) 【答案】 f ( x ) ? ?2 ? x (1 ? x ? 3) ,作出其图象可得答案为 ? x ? 4( x ? 3) ?

2

5.已知函数 f(x)=

3-ax (a≠1), a-1

(1)若 a>0,则 f(x)的定义 域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________.

3? ? 解析:(1)由 3-ax≥0 得定义域为?-∞, ?.

?

a?

(2)当 a>1 时, y= 3-ax 递减并且 3-ax≥0 对于任 意的 x∈(0,1]恒成立, 求得 a∈(1,3]; 当 a<1 时, y= 3-ax递增并且 3-ax≥0 对于任意的 x∈(0,1]恒成立, 得到 a<0.综上得 a<0 或 1<a≤3. 3? ? 答案:(1)?-∞, ?

?

a?

(2)(-∞,0)∪(1,3]

1 6.在△ABC 中, D 为边 BC 上一点, BD= CD, ∠ADB=120°, AD=2, 若△ADC 的面积为 3- 3, 2 则∠BAC=________.

解析: 由 A 作垂线 AH⊥BC 于 H. 1 1 3 因为 S△ADC= DA·DC·sin 60°= ×2×DC· =3- 3,所以 DC=2( 3-1),又因为 2 2 2

AH⊥BC,∠ADH=60°,所以 DH=ADcos 60°=1,∴HC=2( 3-1)-DH=2 3-3.

1 又 BD= CD,∴BD= 3-1,∴BH=BD+DH= 3.又 AH=AD·sin 60°= 3,所以在 Rt 2 △ABH 中 AH=BH,∴∠BAH=45°.

HC 2 3-3 又在 Rt△AHC 中 tan∠HAC= = =2- 3, AH 3
所以∠HAC=15°.又∠BAC=∠BAH+∠CAH=60°, 故所求角为 60°. 答案 60°

3

7. 已知 m, n 为正整数,实数 x , y 满足 x ? y ? 4

?

x ? m ? y ? n ,若 x ? y 的最大值为

?

40 ,则 m ? n =
解析: 因为 2 ab ? a ? b ? ( a ? b)2 ? 2(a ? b) ? a ? b ? 2(a ? b)(a, b ? 0) , 所以 x ? y ? 4

?
2

x ? m ? y ? n ? 4 2? x ? m ? y ? n? ,

?

于是有 ? x ? y? ? 32? x ? y? ? 32(m ? n) ? 0 ,因此 x ? y ? 16 ? 4 16 ? 2 ? m ? n? 。由于

16 ? 4 16? 2 ,得 m ? n ? 10 . ? m ? n ? ? 40
答案:10 8

x, y ?[? , ] 4 4 则 tan( x ? 2 y ) ?


? ?



x3 ? sin x ? 2a ? 0, 4 y3 ? sin y cos y ? a ? 0



解析: 设函数 f ( x) ? x3 ? sin x ,x ?[? , ] ,易知函数为奇函数,且在 [? , ] 为增函数.

? ?

? ?

2 2

2 2

由 x ? sin x ? 2a ? 0, 4 y ? sin y cos y ? a ? 0
3 3

可得

f ( x) ? x3 ? sin x ? 2a, f (2 y) ? (2 y)3 ? sin 2 y ? ?2a.
f ( x) ? f (2 y) ? 0.


?

x, y ?[? , ] 4 4

? ?





x, y2 ??

? ?

[ 2 2

, ,

所 ]



f ( x) ? ? f (2 y) ? f (?2 y). , 由 函 数 的 单 调 性 可 知 , x ? ? 2y ,即 x ?2 y ?0,
tan( x ? 2 y ) ? 0.
答案:0

4


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