圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明_图文

第二讲 圆锥曲线的概念与性质、存在 性问题与曲线中的证明

【主干知识】 1.必记公式 (1)三个定义式: ①椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); ②双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|);

③抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M.

(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长公式: 设而不求,根据根与系数的关系,进行整体代入.即当直线与圆
1 ? k | x1-x 2 | 锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=_____________
2

1 2 _______. |y1-y2| = 1? ( ) k

(3)抛物线的过焦点的弦长公式: 抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
2 p x 1x 2= ,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.同样可得抛物线y2= 4

-2px,x2=2py,x2=-2py类似的性质.

2.重要性质 (1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系:
c e? a2=b2+c2 离心率为____. ①在椭圆中:________; a c e ? c2=b2+a2 离心率为____. ②在双曲线中:________; a

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标:
b y ? ? x ①双曲线 x ? y ? 1(a>0,b>0)的渐近线方程为_______ a ;焦点 2 2 a b
2 2

(-c,0) 2______. (c,0) 坐标F1_______,F

a 2 2 y?? x y x ②双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线方程为_______, b 焦点 a b

(0,-c) 2______. (0,c) 坐标F1_______,F

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程:
p ( ? ,0) ①抛物线y2=±2px(p>0)的焦点坐标为______, 准线方程为 2 p x? ______. 2 p (0, ? ) ②抛物线x2=±2py(p>0)的焦点坐标为______, 2 准线方程为 p y? ______. 2

3.易错提醒 (1)忽视定位条件:在圆锥曲线问题的研究中,应先定位,后定形,

缺少了定位往往会做无用功.定位条件是:焦点或准线,定形条
件是:a,b,p.

(2)搞清双曲线渐近线的斜率:在求双曲线的渐近线方程时,一
定要注意双曲线渐近线的斜率是± b 还是±
a a . b

(3)忽略一元二次方程的判别式致误:对于以直线与圆锥曲线相 交为前提的问题,应用直线与曲线的方程求参数值或探究问题 时,应注意判别式大于等于零这一条件.

【考题回顾】 1.(2014?安徽高考)抛物线y= A.y=-1 B.y=-2
4 1 2 x 的准线方程是 4

( D.x=-2

)

C.x=-1

【解析】选A.因为y= 1 x2,所以x2=4y,所以抛物线的准线方程 是y=-1.

2 2 x y 2.(2014?天津高考)已知双曲线 2 - 2 =1的一条渐近线平行 a b

于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方

程为

(

)
x 2 y2 B. - ? 1 20 5 3x 2 3y 2 D. - ?1 100 25

x 2 y2 A. - ? 1 5 20 3x 2 3y 2 C. - ?1 25 100

【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上,易知直线l过 双曲线左焦点,所以0=-2c+10,即c=5,又因为渐近线平行于直
b =2,结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,所以双曲 a 2 2 x y 线的标准方程为 - ? 1. 5 20

线l:y=2x+10,故有

3.(2014?江西高考)过点M(1,1)作斜率为- 1 的直线与椭圆 C: x2 ? y2 =1(a>b>0)相交于A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆
a b
2 2

2

C的离心率为

.

【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).
2 2 ? x1 y1 ? 2 ? 1, ? 2 (x1 ? x 2)(x1 ? x 2)(y1 ? y 2)(y1 ? y 2) a b 则? 即 ? ? 0, ? 2 2 2 2 a b ? x 2 ? y 2 ? 1, ? ? a 2 b2

x1 ? x 2 ? 2, y 2 ? y1 1 因为 ? ? ? , ? ? y1 ? y2 ? 2, x 2 ? x1
2

2

所以a2=2b2,故c2= 1 a2,即e= 2 .
2

答案: 2
2

y2 4.(2014?北京高考)设双曲线C经过点(2,2),且与 -x2=1具 4

有相同渐近线,则C的方程为 .

;渐近线方程为________

2 y 【解析】设所求双曲线方程为 -x 2 ? ? (λ≠0), 4 把(2,2)代入得 4 -4=λ, 4 2 2 x y 所以λ=-3 ,所以 C : ? ? 1. 3 12

渐近线方程为y=〒2x.
2 2 x y 答案: ? ? 1 3 12

y ? ?2x

2 2 x y 5.(2013?湖南高考)设F1,F2是双曲线C: 2 - 2 =1(a>0, a b

b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为30°,则C的离心率为___________.

【解析】不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|

=6a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c,则在△PF1F2中,∠PF1F2
=30°,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2(4a)(2c)cos30°, 整理得(e- 3 )2=0,所以e= 3 . 答案: 3

热点考向一
【考情快报】

圆锥曲线的定义、标准方程与性质

难度:基础题

命题指数:★★★

题型:以选择题、填空题为主 考查方式:主要考查圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质,在 求椭圆、双曲线的标准方程、离心率时常应用方程思想得出关

于a,b,c之间的关系,在求解范围、参数值、最值时经常应用转
化与化归思想.

【典题1】(1)(2014?广东高考)若实数k满足0<k<5,则曲线
2 2 x2 y2 x y - ? 1 与曲线 - ?1 的 16 5-k 16-k 5

(

)

A.实半轴长相等
C.离心率相等

B.虚半轴长相等
D.焦距相等

(2)(2014?湖北高考)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F1PF2= ? ,则椭圆和双曲线的离心率
3

的倒数之和的最大值为
4 3 A. 3 2 3 B. 3 C.3

(

)
D.2

2 2 x y 16 ,b2=____ 5-k . 【信息联想】(1)看到曲线 - ? 1 ,想到a2=___ 16 5-k 2 2 16-k ,b2=__ 5. 看到曲线 x - y ? 1 ,想到a2=_____ 16-k 5

椭圆、双曲线的定义 . (2)看到点P为它们的一个公共点,想到___________________

2 2 x y 【规范解答】(1)选D.因为0<k<5,所以曲线 - ? 1 与曲 16 5-k 2 2 线 x - y ? 1 都表示焦点在x轴上的双曲线,且16≠16-k, 16-k 5

5-k≠5,但a2+b2=21-k,故两双曲线的焦距相等. (2)选A.设|PF1|=m,|PF2|=n,F1F2=2c且m>n,则椭圆与双曲线
m?n m?n m ? ? . 2c 2c c 由余弦定理4c2=m2+n2-2m?n?cos ? =m2+n2-mn. 3

离心率的倒数和为

即n2-mn+m2-4c2=0,关于n的一元二次方程有解,Δ=m2-4(m24c2)≥0,故16c2≥3m2,所以
m 4 3 m 2 16 , 故 .因此选A. ? ? 2 c 3 c 3

【规律方法】圆锥曲线的定义、标准方程与性质的关注点 1.求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法 求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a,b,c的 等量关系,然后把b用a,c代换,求
a c 的值;在双曲线中,由于e2= a

1+ ( b ) 2 ,故双曲线的渐近线与离心率密切相关.

2.双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法:把双曲线标准方程等号的右边1改为零,分解因式可得. (2)用法:①可得 b 或
a a 的值. b

②利用渐近线方程设所求双曲线的方程. 3.焦点三角形的作用 借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构 建方程组,便于解决问题.

2 2 x y 【变式训练】1.椭圆C: =1的左、右顶点分别为A1,A2, ? 4 3

点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1

斜率的取值范围是(
1 3 A.[ , ] 2 4 3 3 B.[ , ] 8 4


1 C.[ , 1] 2 3 D.[ , 1] 4

2 2 x0 y0 y 【解析】选B.设P(x0,y0),则 ? ?1 ,k PA2 ? 0 , 4 3 x 0-2 3 2 3 ? x0 2 y0 y0 3 4 k PA1 ? , k PA1 k PA2 ? 2 ? 2 ?? , x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4 4 故 k ? - 3 1 .因为kPA2∈[-2,-1],所以 k ? [ 3 , 3 ]. PA1 PA1 8 4 4 k PA 2

2.(2014?扬州模拟)若抛物线y2=8x的焦点与双曲线 的右焦点重合,则双曲线的离心率为_______.

x2 ? y2 ? 1 m

【解析】因为抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),又因为抛
x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,所以 m c 2 2 3 m+1=4,所以m=3,所以 e ? ? ? . a 3 3 2 3 答案: 3

物线y2=8x的焦点与双曲线

2 2 x y 【加固训练】1.(2014?郑州模拟)已知椭圆C1: ? ?1 m?2 n 2 2 x y 与双曲线C2: ? ? 1 有相同的焦点,则椭圆C1的离心率e的 m n

取值范围为(
A.( 2 , 1) 2


C. (0, 1) 1 D.(0, ) 2

2 B.(0, ) 2

2 2 2 2 x y x y 【解析】选A.因为椭圆C1: ?1 ? ? 1 与双曲线C2: ? m n m?2 n

有相同的焦点,所以m>0,n<0. 所以m+2-(-n)=m-n,解得n=-1.
( ? ? 1) 1 1 2 ? 1? ? 1? ? , m?2 m?2 2 2 又e<1,所以椭圆C1的离心率e的取值范围为 ( 2 , 1). 2

所以椭圆C1的离心率 e ? 1 ?

2.(2014?嘉峪关模拟)已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线
x 2 y2 ? =1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点 7 9

A在抛物线上且|AK|= 2 |AF|,则△AFK的面积为( A.4 B.8 C.16 D.32



【解析】选D.因为抛物线y2=2px的焦点F与双曲线

x 2 y 2 =1的 ? 7 9

右焦点重合,所以p=8.设A(m,n),又|AK|= 2 |AF|,所以 m+4=|n|,又n2=16m,解得m=4,|n|=8, 所以△AFK的面积为S= 1 〓8〓8=32.
2

热点考向二
【考情快报】

与圆锥曲线有关的证明问题

难度:中、高档题

命题指数:★★☆

题型:以解答题为主,大多出现在最后两个解答题中 考查方式:主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、逻辑推理能 力.

2 2 x y 【典题2】(2014?北京模拟)已知椭圆W: 2 ? 2 =1(a>b>0)的焦 a b

距为2,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为-1,O为坐标原
点. (1)求椭圆W的方程. (2)设斜率为k的直线l与W相交于A,B两点,记△AOB面积的最大 值为Sk,证明:S1=S2.

2c ;看到右焦点和短轴一个 【信息联想】(1)看到焦距,想到___

两点连线的斜率 . 端点的直线的斜率,想到_______________
直线方程与椭圆方程 (2)看到直线l与W相交于A,B两点,想到___________________ 联立 . _____

【规范解答】(1)由题意得W的半焦距c=1,右焦点F(1,0), 上顶点M(0,b),所以直线MF的斜率 k MF ? b-0 ? ?1 ,解得
0- 1 2 b=1,由a2=b2+c2,得a2=2,所以W的方程为 x ? y 2 ? 1. 2

(2)设直线l的方程为y=kx+m,其中k=1或k=2,A(x1,y1),
? y ? kx ? m, 2 2 2 B(x2,y2),由方程组 ? 得 ( 1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0, ? x2 2 , ? ? y ?1 ?2

所以Δ=16k2-8m2+8>0(*),

-4km 2m2-2 由根与系数的关系,得 x1 ? x 2 ? ,x1x 2 ? . 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

所以 AB ? 1 ? k

2

-4km 2 2m 2-2 ( ) ? 4? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

1? k2 2 2 ? ( 8 2k - m ? 1) , 2 1 ? 2k

因为原点O到直线y=kx+m的距离 d ?
所以 S△AOB ? 1 AB d ?

m
2

2 2 1 ? 2k 2 3 时,S 2 2 2 当k=1时,因为 S△AOB ? 2 m 所以当 m ? (3-m ) , △AOB 2 3 有最大值,所以S1 ? 2 ,验证知(*)成立; 2 2 当k=2时,因为 S△AOB ? 2 m ( 9-m2) , 9 所以当 m 2 ? 9 时,S△AOB的最大值 S2 ? 2 , 2 2

1? k 2 m ( 2k 2-m2 ? 1) ,



验证知(*)成立.所以S1=S2.

【规律方法】 1.直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量(如y)得出方程 Ax2+Bx+C=0. (1)若A=0,此时直线与圆锥曲线只有一个交点.

(2)若A≠0,则当Δ>0时,直线与圆锥曲线有两个交点(相交);当 Δ=0时,直线与圆锥曲线有一个交点(相切);当Δ<0时,直线与 圆锥曲线没有交点(相离). 注:当曲线为开口向上(下)的抛物线时,常用导数求解其切线问 题.

2.证明与圆锥曲线有关问题的思路

将待证问题转化为与点、线、向量等几何元素或斜率、长度等
与数量有关的计算问题求解.

3.直线与圆锥曲线问题中的巧设直线
若直线l过x轴上一点(a,0)时,可设直线l的方程为x=ty+a;这样 可避免对直线l斜率存在性的讨论.

【变式训练】(2014?茂名模拟)已知圆C:

x2+y2=3的半径等于椭圆E: x

y 2 =1(a>b ? 2 2 a b

2

>0)的短半轴长,椭圆E的右焦点F在圆C内, 且到直线l:y=x- 6 的距离为 3- 2 ,点M
2

是直线l与圆C的公共点,设直线l交椭圆E于不同的两点A(x1,y1), B(x2,y2). (1)求椭圆E的方程. (2)求证:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.

【解析】(1)设点F(c,0)(c>0),则F到直线l的距离为
? 3?

c- 6 2

2 ,即 c ? 6 ? 6 ? 1,因为F在圆内,所以c< 3 ,故 2 2 2 x y c=1.因为圆C:x2+y2=3的半径等于椭圆E: 2 ? 2 =1(a>b> a b 2 2 x y 2 0)的短半轴长,所以b =3,所以椭圆方程为 ? ? 1. 4 3

(2)连接OM,OA,因为圆心O到直线的距离为 | - 6 | ? 3 ,所以
2

直线l与圆C相切,M是切点,故△AOM为直角三角形,所以
2 2 x y 2 2 AM ? OA - OM ? x1 ? y1 -3. 又因为 1 ? 1 =1,可得 4 3 2 2 2 2 |AM|= 1 x1, ,又因为 x1 ? y1 =1,可得 AF ? (x1- 1) ? y1 2 4 3 |AF|=2- 1 x1 ,所以|AM|+|AF|=2,同理|BF|+|BM|=2,所以 2
2 2

|AM|+|AF|=|BF|+|BM|,即|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.

【加固训练】(2014?天水模拟)已知椭圆C的中心在原点,焦
3 在椭圆C上. 点在x轴上,长轴长为4,且点 (1 , ) 2

(1)求椭圆C的方程. (2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作方向向量d=(2,1)的 直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.

【解析】(1)因为C的焦点在x轴上且长轴长为4,故可设椭圆C
2 2 3 在椭圆C上,所以 x y 的方程为 ? 2 ? 1 (b>0),因为点 (1 , ) 2 4 b 1 3 x2 2 ? 2 =1,解得b =1,所以椭圆C的方程为 ? y 2 ? 1. 4 4b 4 1 (2)设P(m,0)(-2≤m≤2),由已知,直线l的方程是y= (x2 1 ? y ? (x ? m) , ? 2 m),由 ? ? 2x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? ( 0 *) . ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?4

设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是方程(*)的两个根,
m2 ? 4 所以 x1 ? x 2 ? m,x1x 2 ? , 2
2 2 2 所以 PA 2 ? PB 2 ? (x1 ? m) ? y1 ? (x 2 ? m) ? y2 2

1 1 2 2 2 2 ? (x1 ? m) ? (x1 ? m)( ? x 2 ? m) ? (x 2 ? m) 4 4 5 5 2 2 ? (x1 ? m) ? (x 2 ? m) 4 4 5 2 2 ? [x1 ? x 2 ? 2m(x1 ? x 2) ? 2m 2] 4

5 2 ? [(x1 ? x 2) ? 2m(x1 ? x 2) ? 2x1x 2 ? 2m 2] 4 5 2 ? [m ? 2m 2 ? (m 2 ? 4) ? 2m 2] ? (定值) 5 . 4

即|PA|2+|PB|2为定值.

热点考向三
【考情快报】

圆锥曲线中点、线、参数等存在性问题 高频考向
多维探究

难度:中、高档题

命题指数:★★★

题型:以解答题为主,通常为压轴题 考查方式:通常以圆锥曲线为载体,从不同角度考查,或探究平 分面积的线、平分线段的点,或探究使某解析式成立的参数是

否存在,常与距离、倾斜角、斜率、方程恒成立问题综合,形成
知识交汇问题.

命题角度一

与圆锥曲线有关的存在性问题

x 2 y2 【典题3】(2014?韶关模拟)F1,F2为椭圆C: 2 + 2 =1的左、 a b 右焦点,D,E是椭圆上顶点、右顶点,椭圆的离心率e= 3 , 2 3 .若点M(x ,y )在椭圆C上,则点N x 0 y0 称为 ( , ) S△DEF2=- 1 0 0 a b 2

点M的一个“椭点”,直线l与椭圆交于A,B两点,A,B两点的
“椭点”分别为P,Q.

(1)求椭圆C的标准方程. (2)问是否存在过左焦点F1的直线l,使得以PQ为直径的圆经过 坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理 由.

【现场答案】

【纠错析因】找出以上现场答案的错误之处,分析错因,并给出 正确答案. 提示:以上解题过程中出错之处是: 1.第(2)小题忽视对直线l的斜率存在性的讨论,原因是直线l的 斜率可能存在,也可能不存在;上述解答过程中,只考虑了斜率 存在的情况. 2.忽视题中“直线与椭圆交于两点”,从而Δ>0的约束.

3 1 【规范解答】(1)由题意得 e ? c ? 3 ,因此 c ? a,b ? a, 1 1 3 a 1 3 3 S△DEF2 ? ? ? a ? c ? ? b ? (a ? a) ? ? ? (1 ? )a 2 ? 1 ? . 2 2 2 2 4 2 2 2 x 2 故a =4,即a=2,所以b=1,c= 3 ,故椭圆C的标准方程为 ? y 2 ? 1. 4

a

2

2

2

(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=- 3 ,
? x ? ? 3, ? x ? ? 3, ? x ? ? 3, ? ? 联立 ? 解得 2 或 ? ? ?x 1 1 2 y ? y ? ? , ? y ? 1, ? ? ? 2 2 ? ? ?4 不妨令 A( ? 3, 1 ),B( ? 3, ? 1 ), 2 2 所以对应的“椭点”坐标为 P( ? 3 , 1 ),Q( ? 3 , ? 1 ), 2 2 2 2 而 OP OQ= 1 ? 0. 2

所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点.

②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+ 3 ).
? y ? k(x ? 3) , 联立方程得 ? 消去y得: ? x2 2 ? ? y ? 1, ?4

(4k 2 ? 1)x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0.
2 4k 2 ? 1 ? 0,? ? (8 3k 2) ?( 4 4k 2 ? 1)(12k 2 ? 4) ? 16k 2 ? 16 ? 0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则这两点的“椭点”坐标分别为
P( x1 x , y1 ),Q( 2 , y 2 ), 2 2

?8 3k 2 12k 2 ? 4 由根与系数的关系可得: x1 ? x 2 ? , x1x 2 ? . 2 2 4k ? 1 4k ? 1

若使得以PQ为直径的圆经过坐标原点,则OP⊥OQ, 而 OP ? ( x1 , y1 ),OQ ? ( x 2 , y 2 ), 因此 OP OQ =0,
2k 2 ? 1 x1 x 2 x1 x 2 即 ? ? y1 y 2 ? 即 2 ? 0, ? y1 y 2 ? 0, 4k ? 1 2 2 4 2 解得k=〒 . 2 2 6 2 6 所以直线方程为 y ? x? 或y ? ? x? . 2 2 2 2
2 2

命题角度二

点的存在性问题

x 2 y2 【典题4】(2014?汕头模拟)已知椭圆C: 2 ? 2 =1(a>b>0) a b 3 的离心率为 ,以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2 2

(r>0),设圆T与椭圆C交于点M,N. (1)求椭圆C的方程. (2)求 TM TN 的最小值,并求此时圆T的方程.

(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别 与x轴交于点R,S,O为坐标原点.试问:是否存在使S△POS? S△POR最大的点P,若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.

c 3 ? 3 【信息联想】(1)看到椭圆的离心率为 ,想到______ a 2 . 2

(2)看到以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0), 椭圆的左顶点为(-2,0),a=2 . 想到____________________________ 用坐标形式表示向量,转 (3)看到求 TM TN 的最小值,想到_______________________ 化为二次函数求最值 . ___________________

2 2 x y 【规范解答】(1)椭圆C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 a b 3 c 3 ,由题意可得椭圆的左顶点为(-2,0),即a=2, ? ? 2 a 2 2 x 2 2 2 所以c= 3 ,b =a -c =1,椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1. 4

(2)点M与点N关于x轴对称,设M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨设
2 x 2 y1>0,由于点M在椭圆C上,所以 y1 ? 1? 1 , 4

由已知T(-2,0),则 TM ? (x1 ? 2,y1), TN ? (x1 ? 2, ? y1),
2 2 所以 TM TN ? (x1 ? 2,y1) (x1 ? 2, ? y1) ? (x1 ? 2) ? y1

2 x1 5 8 1 ? (x1 ? 2)? (1 ? ) ? (x1 ? ) 2 ? , 4 4 5 5 8 由于-2<x1<2,故当x1=- 时, 5 1 取得最小值为 , TM TN 5 2

当 x1 ? ? 8 时, y1 ? 3, 故 M(? 8 , 3 ), 又点M在圆T上,代入圆的方程得
5 5 5 5 r2 ? 13 , 25

13 2 故圆T的方程为: (x ? 2) ? y2 ? . 25

(3)假设存在满足条件的点P,设P(x0,y0),
y0 ? y1 (x ? x 0), x 0 ? x1 x y ?x y x y ?x y 令y=0,得 x R ? 1 0 0 1 , 同理 xS ? 1 0 0 1 ,故 y0 ? y1 y0 ? y1 2 2 2 2 x1 y0 ? x 0 y1 x R xS ? . 2 2 y0 ? y1 2 2 2 2 又点M与点P在椭圆上,故 x0 ?( 4 1 ? y0 ),x1 ?( 4 1 ? y1 ) ,得 y ? y0 ? 则直线MP的方程为:
2 2 2 2 2 2 ( 4 1 ? y1 )y 0 ?( 4 1 ? y0 )y1 ( 4 y0 ? y1 ) x R xS ? ? ? 4, 2 2 2 2 y 0 ? y1 y 0 ? y1

所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xRxS|=4为定值,因为
S△POS S△POR ? 1 1 1 2 2 OS | y P | OR y P ? ? 4 ? y P ? yP . 2 2 4

因为P为椭圆上的一点,所以要使S△POS?S△POR最大,只要 y2 P 最大,而 y2 的最大值为1,故满足条件的P点存在,其坐标为 P P(0,1)和P(0,-1).

【规律方法】存在性问题求解的思路及策略 (1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存 在;若结论不正确,则不存在. (2)策略:①当条件和结论不唯一时要分类讨论 ; ②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条 件.

【变式训练】(2014?深圳模拟)如图,直线l:y=x+b(b>0),抛物 线C:y2=2px(p>0),已知点P(2,2)在抛物线C上,且抛物线C上的 点到直线l的距离的最小值为
3 2 . 4

(1)求直线l及抛物线C的方程. (2)过点Q(2,1)的任一直线(不经过点P)与抛物线C交于A,B两点, 直线AB与直线l相交于点M,记直线PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,

k3.问:是否存在实数λ ,使得k1+k2=λ k3?若存在,试求出λ 的值;
若不存在,请说明理由.

【解析】(1)方法一:因为点P(2,2)在抛物线C上,所以p=1.

设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m,
? y ? x ? m, 由? 2 得x2+(2m-2)x+m2=0, ? y ? 2x,

因为Δ=(2m-2)2-4m2=4-8m.
所以由Δ=0,得m= 1 ,
2

则直线l′方程为y=x+ .
因为两直线l,l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短
1 |b ? | 2 ?3 2, 距离,所以有 4 2

1 2

解得b=2或b=-1(舍去).

所以直线l的方程为y=x+2,抛物线C的方程为y2=2x. 方法二:因为点P(2,2)在抛物线C上,所以p=1,

抛物线C的方程为y2=2x.
t2 设 M( , t) (t∈R)为抛物线C上的任意一点,点M到直线l的距 22 t 2 | ? t ? b| 1 t 离为d= 2 ,根据图象,有 -t+b>0,所以d= [(t2 2 2 2

1)2+2b-1]. 因为t∈R,所以d的最小值为 2b ? 1 ,由 2b ? 1 ? 3 2 ,
2 2 2 2 4

解得b=2. 因此,直线l的方程为y=x+2,抛物线C的方程为y2=2x.

(2)因为直线AB的斜率存在,所以设直线AB的方程为y-1=k(x2),即y=kx-2k+1, 由?
? y ? kx ? 2k ? 1,
2 ? y ? 2x,

得ky2-2y-4k+2=0,

设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 ? 4k , k k ?2 2 2 因为 k1 ? y1 ? 2 ? y1 ? , k2 ? , 2 x1 ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?2 2 2 y1 ? y2) ?8 所以 k1 ? k 2 ? 2 ? 2 ? ( y1 ? 2 y2 ? 2 y1y2 ? ( 2 y1 ? y2) ?4

则 y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ?

2 ?8 4k ? 2 k ? ? . 2 ? 4k 2 3 ?2 ?4 k k y ? kx ? 2k ? 1, 2k ? 1 4k ? 1 由? 得 x ? , y ? . ? M M k ?1 k ?1 ?y ? x ? 2 4k ? 1 ?2 2k ? 1 所以 k ? k ? 1 ? , 3 2k ? 1 3 ?2 k ?1 2

所以k1+k2=2k3,即所求λ的值为2.

x 2 y2 【加固训练】(2014?西安模拟)已知椭圆 2 ? 2 =1(a>b a b

>0)的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,且截抛物线的
准线所得弦长为 2 ,倾斜角为45°的直线l过点F.

(1)求该椭圆的方程.
(2)设椭圆的另一个焦点为F1,问抛物线y2=4x上是否存在一点

M,使得M与F1关于直线l对称,若存在,求出点M的坐标,若不
存在,说明理由.

【解析】(1)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x= -1,所以a2-b2=1,① 又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为 2 ,所以椭圆与抛物
1 2 ,所以 1 2 线的准线的上交点为 ? 2 ? 1,② ( ?1 , ) 2 a b 2 将①代入②得2b4-b2-1=0,解得b2=1或b2=- 1 (舍去),从而 2 2 a2=b2+1=2.所以该椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1. 2

(2)因为倾斜角为45°的直线l过点F, 所以直线l的方程为y=tan 45°(x-1),即y=x-1, 由(1)知椭圆的另一个焦点为F1(-1,0), 设M(x0,y0)与F1关于直线l对称,则得
? y0-0 ?1 ? - 1, ? ? x 0 ? 1, ? x0 ? 1 解得 ? ? (- 1) ? y0 ? -2, ? y0 ? 0 ? x 0 ? - 1, ? 2 ? 2

即M(1,-2),又M(1,-2)满足y2=4x, 故点M在抛物线上.所以抛物线y2=4x上存在一点M(1,-2),使 得M与F1关于直线l对称.

分类讨论思想 ——解决圆锥曲线中的参数问题 【思想诠释】 与圆锥曲线有关的参数问题中应用分类讨论思想的常见类型 1.判断曲线的类型:判断曲线的类型,常依据二元方程对其参数 进行分类讨论,分类标准一般考虑二次项系数的正负、大小关 系.

2.参数方程、不等式的求解:如求离心率、渐近线方程时对圆 锥曲线焦点位置的讨论,或者对方程系数的讨论,或者求解过程 中分母是否为0的讨论. 3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:对于含参数的直线与圆锥 曲线位置关系问题的求解,如对直线斜率存在与否的讨论、消

元后二次项系数是否为0的讨论,判别式与0的大小关系的讨论
等.

【典例分析】
2 2 x y 【典题】(2014?中山模拟)已知椭圆C: 2 ? 2 ?( 1 a>b>0) a b 经过点M( 2 ,1),离心率为 2 . 2

(1)求椭圆C的方程. (2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,点P(4,3), 记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k1?k2最大时,求直线l的方 程.

【思想联想】知道直线l过点Q(1,0),应用直线l的方程时, 联想到分类讨论思想,分斜率为0与斜率不为0两种情况求解.

【规范解答】

【能力迁移】 (2014?吉林检测)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上
1 ,离心率是 3 . 且过点P ( 3, ) 2

2

(1)求椭圆C的标准方程. (2)直线l过点E(-1,0)且与椭圆C交于A,B两点,若|EA|=2|EB|, 求直线l的方程.

【思想联想】根据直线l过点(-1,0),因此可联想到分类讨论思 想,分斜率存在与不存在两种情况讨论求解.

2 2 x y 【解析】(1)设椭圆C的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0). a b ?c 3 ? , ? 2 ?a 3 1 由已知可得 ? ? 2 ? 2 ? 1, 4b ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? 2 x 2 2 解得a =4,b =1.故椭圆C的标准方程为 +y2= 1. 4

(2)由已知,若直线l的斜率不存在,则过点E(-1,0)的直线l的

方程为x=-1,此时可得 A( ? 1, 3 ),B( ? 1, ? 3 ) ,显然
2 2

|EA|=2|EB|不成立. 若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x+1).
? x2 2 ? y ? 1, ? 则? 4 ? y ? k(x ? 1) , ?

整理得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0.

由Δ=(8k2)2-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),
2 8k 故x1+x2=- 2 ,① 4k ? 1 2 4k ? 4 x1x 2= 2 .② 4k ? 1

因为|EA|=2|EB|, 即x1+2x2=-3.③ ①②③联立解得k=〒 15 .
6

所以直线l的方程为 15x+6y+ 15=0和 15x-6y+ 15=0.


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