华师大版数学九年级上册21.2二次根式的乘除法4

21.2 二次根式的乘除法 第四课时 课前知识管理(从教材出发,向宝藏纵深) 1 、二次根式乘法 法则:两个二次根式相等,把被开方数相乘,根指数不变 . 用字母表示为 : a ? b ? ab?a ? 0, b ? 0? . 注 意 : ① 对 于 多 个 二 次 根 式 相 乘 也 适 用 , 即 a ? b ? c ? abc?a ? 0, b ? 0, c ? 0?;②法则中 a , b 可以是数也可以是代数式,只要满足成立条件即 可;③根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形,或将有的因式适当改变移到根号外边,或将根号外边 的非负因式平方后移到根号内. 2、二次根式乘法法则的逆用: ab ? a ? b ?a ? 0, b ? 0? .注意:①二次根式的乘法法则的逆用实 际上就是积的算术平方根,利用它可以进行二次根式的化简;②如果 a , b 都是负数, ab ? 0 , ab 有意 义 , 但 a, b 在 实 数 范 围 内 无 意 义 , 因 此 应 先 进 行 符 号 运 算 , 如 ? 4 ? ?? 9? ? 4 ? 9 ? 4 ? 9 ? 2 ? 3 ? 6 . 3、二次根式除法法则:两个二次根式相除,结果仍为二次根式,只需把被开方数相除.用字母表示为: a b ? a ?a ? 0, b ? 0? . b a a ?a ? 0, b ? 0?.注意:①二次根式的除法法则的逆用实际上 ? b b a a ?0, 有意义, b b 4、二次根式除法法则的逆用: 就是商的算术平方根,利用它可以进行二次根式的化简;②如果 a , b 都是负数,虽然 但 a , b 在实数范围内无意义,此时应先进行符号运算,如 ?4 4 4 2 ? ? ? ;③如果被开方数是 ?9 9 9 3 带分数,应先化成假分数,如 2 1 9 1 1 必须先化成 ,以免出现 2 ? 2 ? 这样的错误. 4 4 4 4 5、最简二次根式:我们把满足被开方 数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根 式,叫做最简二次根式.它必须满足两个条件:①被开方数不含分母或小数;②被开方数中不含能开 得尽 方的因数或因式.二次根式的计算和化简的结果,一般都要化成最简二次根式. 名师导学互动(切磋琢磨,方法是制胜的法宝) 典例精析 类型一:二次根式的乘除法 例 1、计算: (1) x ? 2 y × 2x ? 4 y ; (2) 1 1 1 ÷ . 2 6 【解题思路】 (1)用二次根式的乘法法则进行计算,运算时应视 x+2y 为一个整体; (2)直接运用公 式 a÷ b= a a 化简. ? b b 2 【解】 (1) x ? 2 y × 2x ? 4 y = 2 ? x ? 2 y ? =(x+2y) 2 ; (2) 1 1 1 1 1 3 ÷ = 1 ? = ? 6 =3. 2 2 6 2 6 类型二:逆用二次根 式的乘除法法则化简代数式 例 2、计算: (1) ?? 4?? ?? 9? (2) ? 3 ? ? b b3 ? c c3 ? ???? a ? a ? ??? ? ? a a ? c ? ? b b ? ? c ? 【解题思路】 (1)题为具体数字的二次根式的乘、除法运算,要避免出现这样的算法: ?? 4?? ?? 9? = 视了公式 ab ? ? 4 ? ? 9 ? ?? 2? ? ?? 3? ? 6 .虽然结果是对的,但其计算过程是大错特错,其 原因是忽 (2)本题为二次根式的字母运算,方法与具体数字 a ? b 成立的前提条件 a ? 0, b ? 0 ; 的二次根式的运算一样,所不同的是要注意根号下字母的取值范围,此题中的 a、b、c 均为正数. 【解】 (1) (2)原式= ? ?? 4?? ?? 9? = 4? 9 ? 2? 3 ? 6; b c a b3 c3 a 3 ? ? ? ? ? ? a 2 b 2 c 2 ? abc . a b c a b c 类型三:将根号外的因式或因数移入根号内 例 3、把 根号外的因式移入根号内. 【解题思路】根据 由被开方数 ? 及 把根号外面的非负因式平方后移至根号里面; ,所以把 1 1 ? 0 ,? ? 0 ,又 x ? 1 在分母的位置故 x ? 1 ? 0 ,? 只有 x ?1 x ?1 移至根号里边时,外面要加负号. 【解】 . ,如果被开方数中有的因式能开的 【方法归纳】由二次根式的性质 尽,那么这些因式可用它们的算术平方根代替而移到根号外面,本题须利用上述开方的逆运算.如果被开方 数是代数和的形式,那么先解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面. 类型四:将根号内的因式或因数移出根号外 例 4、计算(1) 【解题思路】首先 (2) 中,被开方数是 ,它们是求差的运算.所以 是错误的.对于根号内的被开方数要进行计算或因式分解, 特别是根号内的被 开方数能因式分 解时,比直接计算要容易. 【解】 (1) (2) . 例 5、化简: (1) (2) ; 【解题思路】如果一个二次根式的被开方数中有完全平方形式的因式(或数)则要利用积的算术平方 根的性质,将这些因式(或数)开出来. 解: (2) a ? a b ? 6 2 4 , . a 2 a 4 ? b 4 ? a a 4 ? b 4 , 当a ? 0时,原式? a a4 ? b4 ; ? ? 当a ? 0时,原式? ?a a 4 ? b4 . 【方法归纳】在二次根式的化简与计算中,凡是被开方数是多项式的,必先进行因式分解,再利用根 式 乘法法则进行计算, 如果题目中没有给出字母的取值范围, 则需要讨论, 如上题。 当 时, 及当 , 即为讨论. 类型五:综合运用二次根式乘除法法则计算或化简 例 6、 化简:(1) 12 ? ( 27 ? 6) ? 24 ; (2) 2 a ? 3 3 ?

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