《金版新学案》高三数学一轮复习 第3章 三角函数第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 文 北师大版_图文

?第5课时 两角和与差的正弦 、 ?余弦和正切公式 ? 1.两角和与差的三角函数公式 sin αcos β±cos αsin β ? sin(α±β)= ? cos(α±β)cos_αcos_β?sin_αsin_β ; tan α± tan β . 1?tan αtan β ? tan(α±β)= ? 其变形为: tan(α+β)(1-tan_αtan_β) ? tan α tan(α-β + tan )(1+tan_αtan_β) ; tan α+tan β +β? ? tan α1- tan?α- tan ; ; = . β β = = 【注意】 在公式 T(α±β)中,α、β、α± β 必须使等式两端均有意义,即 α、 π β、α± β 都不能取 +kπ(k∈Z).否则,利用诱导公式求解. 2 ? 2.二倍角公式 ? sin 2α=2sin αcos α 2α-sin2α ? cos 2αcos = = 2tan α 1-tan2α ? tan 2α= ; 2cos2α-1 1-2sin2α = ; . ? 其公式变形为: 2α ? sin2α= 1-cos 2 ? cos2α= 1+cos 2α 2 ; . 1.计算 sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° 的结果等于( 1 A.2 3 B. 3 2 C. 2 3 D. 2 ) 1 解析: sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° =sin(43° -13° )=sin 30° = . 2 故选 A. 答案: A 2.计算 1-2sin2 22.5° 的结果等于( 1 A. 2 2 B. 2 2 ) 3 D. 2 3 C. 3 2 解析: 1-2sin 22.5° =cos 45° = . 2 ? 答案: B 4 3 . (2010· 全国新课标卷 ) 若 cos α=- , α 是第三象限的角,则 5 ? π? sin?α+4?=( ? ? ) 7 2 B. 10 C.- 2 10 D. 2 10 7 2 A.- 10 4 3 解析: 由于 α 是第三象限角且 cos α=-5,∴sin α=-5, ? π? π π 2? 4 3? 7 ∴sin?α+4?=sin αcos +cos αsin = ?-5-5?=- 2. 4 4 2? 10 ? ? ? ? 答案: A ? π? 1 ? 4.已知 tan α+4?=7,则 tan α=________. ? ? ? π? 1 1+tan α 1 解析: 由 tan?α+4?= 得 = , ? ? 7 1-tan α 7 3 所以 tan α=-4. 3 答案: -4 ?π ? 3 5.若 sin?2+θ?=5,则 cos 2θ=________. ? ? ?π ? 3 3 解析: 由 sin?2+θ?= ,可得 cos θ= , 5 ? ? 5 ?3?2 7 ? ? ∴cos 2θ=2cos θ-1=2× 5 -1=- . 25 ? ? 2 7 答案: -25 ? 应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的 正用是常见的,但逆用和变形应用则往往 容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能 开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转 化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形 应用后,才能真正掌握公式的应用. ? π? ? π? 1 已知 α∈?0,2?,tan α=2,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值. ? ? ? ? 1 2× 2 2tan α 4 解析: tan 2α= = = . ?1?2 3 1-tan2α 1-?2? ? ? ? π? 4 ∵α∈?0,2?,2α∈(0,π),tan 2α=3>0, ? ? ? π? ? ?, 0 , ∴2α∈ 2 ? ? 4 3 ∴sin 2α=5,cos 2α=5, ? π? π π ? ? 2 α + ∴sin cos 3+cos 2α· sin3 3?=sin 2α· ? 4 1 3 3 4+3 3 = × + × = 5 2 5 2 10 3 【变式训练】 1.已知 α 为第二象限角,sin α= ,β 为第一象限角, 5 5 cos β=13.求 tan(2α-β)的值. tan 2α-tan β 解析: tan(2α-β)= , 1+tan 2αtan β 3 因为 α 为第二象限角,sin α= , 5 4 sin α 3 所以 cos α=- 1-sin2α=-5,∴tan α=cos α=-4, 2tan α 24 ∴tan 2α= =- , 7 1-tan2α 5 又 β 为第一象限角,cos β= , 13 12 12 ∴sin β= 1-cos β= ,tan β= , 13 5 2 24 12 -7-5 204 ∴tan(2α-β)= = . ? 24? 12 253 1+?- 7 ?× ? ? 5 sin 50° ?1+ 3tan 10° ?-cos 20° 求值: . cos 80° 1-cos 20° 解析: ∵sin 50° (1+ 3tan 10° ) cos 10° + 3sin 10° =sin 50° · cos 10° 2sin 40° =sin 50° · =1, cos 10° cos 80° 1-cos 20° =sin 10° 2sin210° = 2sin210° . sin 50° ?1+ 3tan 10° ?-cos 20° 1-cos 20° ∴ = = 2. 2sin210° cos 80° 1-cos 20° 1+cos 20° ? 1 ? ? ? -tan 5°. 【变式训练】 2.求值: -sin 10°tan 5° 2sin 20° ? ? ?cos 5° sin 5° ? 2cos210° ? ? - 解析: 原式= -sin 1

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