高中数学必修四(苏教版):第一章 课件+练习(19份)(19份打包)1. 2.3 三角函数的诱导公式

1.2.3 三角函数的诱导公式

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1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式. 2.掌握诱导公式二至公式六及其应用.

典例剖析

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用诱导公式求三角函数式的值
已知 cos(75°+α)=31,其中 α 为第三象限角.求 cos(105°-α) +sin(α-105°)的值.
分析:从被求式和已知式的角度看,关键是寻求到 75°+α与
105°-α 之间的关系,我们发现(75°+α)+(105°-α)=180°,这 样有关系式 105°-α=180°-(75°+α),就可以用诱导公式了.

解析:cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)]=-cos(75°+α)

=-31. sin(α-105°)=-sin(105°-α)=-sin[180°-(75°+α)]=-
sin(75°+α).

又 cos(75°+α)=31>0,α为第三象限角,可知角 75°+α为第 四象限角,则有

sin(75°+α)=- 1-cos2(75°+α)

=-

1-???-13???2

=-2 3 2.

∴cos(105°-α)+sin(α-105°)=-13+23 2=2

2-1 3.

方法指导:(1)解答本题的关键是发现 105°-α 与 75°+α 之间 的关系,即(105°-α)+(75°+α)=180°.这为应用诱导公式化简本 题找到入手之处.
(2)使用平方关系,出现开方运算时,需由角所在象限来确定根 号前的“±”号.而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题.
(3)已知一个角的某个三角函数值,求这个角的其他三角函数 值.若给定具体数值,但未指定角 α 所在象限,就需要进行分类讨 论.

变式训练

1.设 f(x)=asin(π x+α)+bcos(π x+β),其中 a,b,α ,β 都

是非零实数,若 f(2 013)=-1,则 f(2 014)等于( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析:用诱导公式寻求 f(2 013)和 f(2 014)的关系是解决本题的关

键.

∵f(2 013)=asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β)=asin(π+α)+

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bcos(π+β)=-(asin α+bcos β)=-1,∴f(2 014)=asin(2 014π

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+α)+bcos(2 014π+β)=asin α+bcos β=1.

答案:C

利用诱导公式化简三角函数

化简:sin??kπ
?

+23π

??
?cos?kπ
??

-π6

??(k∈Z).
?



分析:分 k 为奇数和偶数进行讨论.

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解析:(1)当 k=2n(n∈Z)时,



原式=sin???2nπ+23π???·cos???2nπ-π6 ???

=sin

23πcos

π 6 =sin

π 3 cos

π 6=

23×

23=34.

(2)当 k=2n+1(n∈Z)时,

原式=sin???2nπ+π+2π3 ???cos???2nπ+π-π6 ???

=sin???2π-π3 ???cos???π-π6 ???

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=??-sin
?

π??

3

??-cos
??

π?

6

? ?

=??-
?

23???×???-

23???

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=43.

综合(1)(2)式可知,原式=43.

◎规律总结:归纳到一般有:sin(kπ+α)=(-1)ksin α(k∈Z),

cos(kπ-α)=(-1)kcos α(k∈Z).



思 考 : sin(k π - α) = ? cos(kπ - α) = ? sin ???kπ2 ±α??? = ?

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cos???kπ 2 ±α???=?以上均有 k∈Z.

变式训练

2.化简:coss(in(π 2-πα-)αsi)n(co3sπ(-π α+)αs)inc(os-???π2π+-αα???co)s???s12i1nπ???9-π2 α+??? α???

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解析:原式

=(-(c-ossinαα))sin((-πc-osαα))[-(sin-(siπn +αα))c]ossi???n5???π4π++???π2???-π2 α+??????α??????



= (-cos

-sin2αcos α???-cos???π2 -α?????? α)sin α[-(-sin α)]sin???π2 +α???

目 链 接

=(-cos

sin2αcos α)sin

α·sin α·sin

α α·cos

α

=-cossinαα=-tan α.

3.已知



cos?
?

6

-α???=32,求

?
sin?α
?

-2π3

??的值.
?







解析:sin???α-2π 3 ???=-sin???2π 3 -α???=-sin???π2 +



???π6 -α??????=-cos???π6 -α???=-23.

诱导公式在三角形中的应用

在△ABC 中,你能由诱导公式得到哪些公式?



分析:注意到在△ABC 中,角 A、B、C 满足:A+B+C=π,即 A

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+B=π-C,A+2 B=π2 -C2等.由此可得到相关的公式.

解析:∵A+B+C=π,

∴A+B=π-C,A+2 B=π2 -C2.

∴sin(A+B)=sin(π-C)=sin C;

cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C;

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tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C;

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sin A+2 B=sin???π2 -C2???=cos C2;

cos A+2 B=cos???π2 -C2???=sin C2;



方法指导:(1)三角形中的这些公式是非常有用的公式,在后面

的学习中,我们经常要用到这些公式,请熟记这些公式.

(2)与这些公式对应的还有一些类似的公式.如与 sin(A+B)=sin

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C 对应的有 sin(B+C)=sin A,sin(A+C)=sin B,除了这些类似公式

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之外,你还能想到哪些公式呢?想一想.

已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,求证:

(1)sin B+2 C=cos A2;



(2)tan

A+4 B=-tan

3π +C 4.

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分析:△ABC 的三个内角应满足 A+B+C=π,注意到左右两

边的差异,灵活运用诱导公式证明.

证明:∵A、B、C 为△ABC 的三个内角,∴A+B+C=π .

(1)sin B+2 C=sin???π2 -A2???=cosA2;

(2)tanA+4 B=tanπ

-4 C=-tan???π

-π

-4 C???=-tan3π

+C 4.

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◎规律总结:由于 A+B+C=π,因此,解题过程中可直接利

用 sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,sin A+2 B=cos C2等结论.

变式训练

4.在△ABC 中,已知 sin(2π -A)=

?3π

2cos?
?

2

-B??,
?

3cos A=





- 2cos(π -B).

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(1)求 cos A 的值;

(2)求 A,B,C 的值.

解析:(1)由已知得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B,两式平

方相加得 2cos2A=1,∴cos A=± 22.若 cos A=- 22,由 3cos A= 2

cos

B



cos

B=-

23,这时

A,B

均为钝角,矛盾,∴cos

A=

2 2.

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(2)由(1)知

π A= 4 ,cos

B=

23,



∴B=π6 ,C=π-(A+B)=71π2 .

∴A=π4 ,B=π6 ,C=71π2 .


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