广东省东莞市第七高级中学高二数学5月月考试题 理 新人教A版

2012-2013 学年高二 5 月月考数学(理)试题

n

? ?

xi yi ? nx y

? 参考公式:1、用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

i ?1 n

xi2

?

2
nx



a?

?

y

?

? b

x



i ?1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1.已知复数 z 满足 z ? ?i ,则复数 z 的共轭复数 z ? ( )

A. ?i

B. i

C.1? i

D.1? i

2. 抛掷两颗骰子,所得点数之和为ξ ,那么ξ =4 表示的随机试验结果是( )

A.一颗是 3 点,一颗是 1 点

B.两颗都是 2 点

C.两颗都是 4 点

D.一颗是 3 点,一颗是 1 点或两颗都是 2



3. 若函数 f (x) ? x3 ? 3x ,则 f (x) 的单调减区间是( )

A . ??1,1?

B. ?1,+??

C . ???,-1?

D.

???,-1? ?1,+??

4.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做 10 次和 15

次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l1 和 l2,已知两个人在试验中发现

对变量 x 的观测数据的平均值都是 s,对变量 y 的观测数据的平均值都是 t,那么下列说法

正确的是

()

A. l1 与 l2 必定平行

B.l1 与 l2 相交,但交点不一定是(s,t)

C.l1 和 l2 有交点(s,t)

D.l1 与 l2 必定重合

5. 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ?? 平 面? ,直线 a ? 平面? ,直线 b ∥平面? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这
是因为( )

A.大前提错误 B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误

6.在某段时间内,甲地不下雨的概率为 0.3,乙地不下雨的概率为 0.4,假设在这段时间内

两地是否下雨相互无影响,则这段时间内两地都下雨的概率是( )

A.0.12

B.0.88

C.0.28

D.0.42

7.设随机变量 ? 服从正态分布 N(2,9),若 P( ? >c+1)=P( ? <c-1),则 c 等于( )

A.1

B.

8. 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人

分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,

其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有

C

A. 12 种

B. 18 种

C. 36 种

D. 48 种

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

9.已知复数 z ? ?3i ?1?i ,则 z ?



10.若随机变量 X B?6,0.5?,则 EX =



11.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处切线的方程为__________.

12. 直线 y ? 2x 与抛物线 y ? x 2 ? 3 所围成图形的面积为

.

13.在

? ??

x4

?

1 x

?10 ??

的展开式中常数项是

.(用数字作答);

14. 已知 ?ABC的三边长为 a, b, c ,内切圆半径为 r (用 S?ABC表示?ABC的面积 ),则

S ?ABC

?

1 2

r(a

?

b

?

c) ;类比这一结论有:若三棱锥

A?

BCD 的内切球半径为

R

,则

三棱锥体积VA?BCD ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分)
设复数 z ? (a2 ? 1) ? (a ? 2)i(a ? R) ,
(1)当 a ? 2,求 z ; (2)若 z 表示纯虚数,求 a 的值; (3)若 z 对应的点位于复平面的第二象限,求 a 的取值范围.

16(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 2x3 ? ax2 ? bx ? 3在 x ? ?1 和 x ? 2 处取得极值. (1)求 a, b 的值; (2)求 f (x) 极值.

17. (本题满分 14 分)
某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有如下对应数据:

x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

(1) 画出散点图;

(第 297 题图)

5

5

5

? ? ? (2)求回归直线方程;(参考数据: xi 2 ? 145 , yi 2 ? 13500 , xi yi ? 1380 )

i ?1

i ?1

i ?1

(3)请根据(2)的结论,预测广告费支出为 10 万元时的销售额.

18.(本小题满分 14 分) 一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件,其中有 2 件次品,用户先对产品进行抽检以决定
是否接收.抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子),若前三次 没有抽查到次品,则用户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,并且用 户拒绝接收这箱产品.
(1)求这箱产品被用户接收的概率;
(2)记抽检的产品件数为? ,求? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 14 分)

已知如下等式:12 ? 1? 2 ? 3 ,12 ? 22 ? 2 ? 3? 5 ,12 ? 22 ? 32 ? 3? 4 ? 7 ,

6

6

6

当 n ? N? 时,试猜想12 ? 22 ? 32 ? ? n2 的值,并用数学归纳法给予证明.

20.(本小题满分 14 分)
设函数 f ? x? ? x2 ? a ln?x ?1? .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间;

(Ⅱ)若函数 F (x) ? f (x) ? ln

2

有两个极值点

x1,

x2



x1

?

x2

,求证

F (x2 )

?

1 4



2012—2013 学年 理科数学试题答案及评分标准 一、选择题(本大题 10 小题,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求) 1.B 2.D 3.A 4. C 5. A 6. D 7.B 8. C 二、填空题:(本大题 6 小题,共 30 分)

9. 10

10. 3

11. y ? 1 x ? 2 e

12. 32 3

13. 45

? ? 14.

1R 3

S

ABC ? S

ABD ? S BCD ? S

ACD

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,其中卷面5分.解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤.

15.解:(1)当 a ? 2时, z ? 3 ? 4i ………2分

? z ? 32 ? 42 ? 5 ………4分

(2)当

z

表示纯虚数时,

?a2 ?

?1

?

0

………6 分

?a ? 2 ? 0

(3)依题意有:

?a2 ?1 ?

? ?

a

?

2

?

0 0

………10 分

?a ? ?1………8 分 ∴ ?1? a ? 1………12 分

16.解:(1) f ?(x) ? 6x2 ? 2ax ? b

由已知有

? ? ?

f f

?(?1) ? 0 ?(2) ? 0

,即

?6 ? 2a ? b ? 0 ??24 ? 4a ? b ? 0

…3 分

解得 a ? ?3,b ? ?12 …5 分

? f (x) ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? 3 …6 分

(2)

f ?(x) ? 6x2 ? 6x ?12

由 f ?(x) ? 0 解得 x ? ?1或x ? 2

由 f ?(x) ? 0 解得 ?1? x ? 2

…8 分

故函数 f(x)在 (??, ?1) 和 (2, ??) 是增函数,在 (?1, 2) 上是减函数;…10 分 (列
表同样给分)
当 x ? ?1 时,有极大值 10 , 当 x ? 2 时,有极小值 ?17 …12 分

17.解:(1)根据表中所列数据可得散点图如下:

y
70 60 50 40

. ... .

30

20

10

1 234 567 8 x

……4 分 (

x

?

2+4+5+6+8 25

=

25 5

?

5

y ? 30+40+60+50+70 = 250 ? 50



5

由5







…6 分

5

5

? ? 又已知 xi2 ? 145, xi yi ? 1380,

i ?1

5 i?1

于是可得: 分

?? b ?

xi yi ? 5x y

i ?1

5

xi2

?

2
5x

? 1380 ? 5? 5? 50 145 ? 5? 5? 5

? 6.5

i ?1



……8

a ? y ?bx ? 50 ? 6.5?5 ?17.5

…………10 分

因此,所求回归直线方程为:y ? 6.5x ?17.5

…………11 分

(3)由(2)得,当广告费支出为 10 万元时y ?,6.5?10 ?17.5=82.5

(万

元),

…13 分

即这种产品的销售收入大约为 82.5 万元.

…………14 分

18.解:(1)设“这箱产品被用户接收”为事件 A ,P( A) ? 8? 7 ? 6 ? 7 .

……

10?9?8 15

3分

即这箱产品被用户接收的概率为 7 . 15

……4 分

(2)? 的可能取值为 1,2,3.

……5 分

P?? ? 1?= 2 ? 1 ,
10 5
P?? ? 3?= 8 ? 7 ? 28 ,
10 9 45
∴ ? 的概率分布列为:

P?? ? 2? = 8 ? 2 ? 8 ,
10 9 45

……8 分

?

1

2

3

1

8

28

P

5

45

45

∴ E? = 1 ?1 ? 8 ? 2 ? 28 ? 3 ? 109 .

5 45 45

45

19.解:由已知,猜想12 ? 22 ? 32 ? ? n2 ? n(n ?1)(2n ?1) ,……3 分 6

下面用数学归纳法给予证明:

(1)当 n ?1 时,由已知得原式成立; ……4 分

……11 分 ……14 分

(2)假设当 n ? k 时,原式成立,即12 ? 22 ? 32 ? ? k 2 ? k(k ?1)(2k ?1) ……5 分 6

那么,当 n ? k ?1 时, 12 ? 22 ? 32 ?


? k 2 ? (k ?1)2 ? k(k ?1)(2k ?1) ? (k ?1)2 6

……7

? k(k ? 1)(2k ? 1) ? 6(k ? 1)2 ? (k ?1)(2k 2 ? 7k ? 6) ……9 分

6

6

? (k ?1)(k ? 2)(2k ? 3) 6
= (k ?1)[(k ?1) ?1][2(k ?1) ?1] ……13 分 6

故 n ? k ?1时,原式也成立. 由(1)、(2)知12 ? 22 ? 32 ?

? n2 ? n(n ? 1)(2n ?1) 成立. ……14 分 6

20.解:(Ⅰ)函数 f (x) 的定义域为 (?1, ??) ,(1 分)

f ?(x) ? 2x ? a ? 2x2 ? 2x ? a (x ? ?1) (2 分)

x ?1

x ?1

令 g(x) ? 2x2 ? 2x ? a ,则 ? ? 4 ?8a .

①当 ? ? 0 ,即 a ? 1 时,g(x) ? 0 ,从而 f '(x) ? 0 ,故函数 f (x) 在 (?1, ??) 上单调递增; 2
(3 分)
②当 ? ? 0,即 a ? 1 时, g(x) ? 0 ,此时 f '(x) ? 0 ,此时 f '(x) 在 f '(x) ? 0 的左右两侧 2
不变号,故函数 f (x) 在 (?1, ??) 上单调递增; (4 分)

③当

?

?

0 ,即

a

?

1 2

时,g ( x)

?

0

的两个根为

x1

?

?1 ?

1? 2a

2

, x2

? ?1?

1? 2a 2

??1, 2



1?

2a

?

1 ,即

a

?

0

时,

x1

?

?1,当 0

?

a

?

1 2

时,

x1

?

?1 .

故当 a ? 0 时,函数 f (x) 在 (?1, ?1? 1? 2a ) 单调递减,在 ( ?1? 1? 2a , ??) 单调递增;

2

2

当 0 ? a ? 1 时 , 函 数 f (x) 在 (?1, ?1? 1? 2a ), ( ?1? 1? 2a , ??) 单 调 递 增 , 在

2

2

2

( ?1? 1? 2a , ?1? 1? 2a ) 单调递减.(7 分)

2

2

(Ⅱ)∵ F?(x) ? f ?(x) ,∴当函数 F(x) 有两个极值点时 0 ? a ? 1 , 0 ? 1? 2a ? 1 , 2

故此时 x2

? ?1?

1? 2a 2

?

(?

1 2

,

0)

,且

g

( x2

)

?

0

,即

a

?

?(2

x22

?

2 x2

)



(9 分)

?F ? x2 ? ? x22 ? a ln ?1? x2 ? ? ln 2 ? x22 ? (2x22 ? 2x2)ln ?1? x2 ? ? ln 2 ,

设 h(x) ? x2 ? (2x2 ? 2x) ln(1? x) ? ln 2 ,其中 ? 1 ? x ? 0 , 2

(10 分)

则 h?(x) ? 2x ? 2(2x ?1) ln(1? x) ? 2x ? ?2(2x ?1) ln(1? x) ,

由于 ? 1 ? x ? 0 时, h '(x) ? 0 ,故函数 h(x) 在 (? 1 , 0) 上单调递增,

2

2



h(

x)

?

h(?

1 2

)

?

1 4

.∴

F

( x2

)

?

h( x2

)

?

1 4



(14 分)


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