数学理卷·2014届四川省绵阳市高中高三一诊试题(2013.11)WORD版

1、若集合 A={x|1<x<4},集合 B={y|y2<4},则 A∩B= A、 ? B、{1,2} C、 (1,2) D、 (1,4) 2、对于非零向量 a,b, “a∥b”是“a+b=0”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 3、若向量 a=(1,2) ,b=(1,-1) ,则 2a+b 与 b 的夹角为 A、0 B、

? 3

C、

? 2

D、 ?

4、已知命题 p: 2 是有理数,命题 q:空集是集合 A 的子集,下列判断正确的是 A、 p ? q 为假命题 C、 (?p) ? (?q) 为假命题 B、 p ? q 真命题 D、 (?p) ? (?q) 为假命题

5、下列不等式中,正确的是 A、sin1°>cos1 B、sin1>cos1°
x ?x

C、sin1<sin2

D、sin2<sin3

6、已知函数 f(x)=k a ? a (a>0且a ? 1) 在 R 上是奇函数,且是增函数,则函 数 g(x)=loga(x-k)的大致图象是
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7、若正数 a,b 满足 A、1 B、6 C、9 D、16

的最小值为

8、已知函数

其中 k>0,若当自变量 x 在任何两个整数间(包括整数本

身)变化 时,至少含有 2 个周期,则最小的正整数 k 为 A、50 B、51 C、12 D、13 9、已知 ? , ? 都是锐角,且 cos ? ?

5 4 , 全品高考网sin(? ? ? ) ? ,则 tan ? 为 5 5
D、 全品高考网

2 或-2 11 ???? ??? ? ???? 1 10、已知 O 为△ABC 的外心, cos A ? , 若 AO ? ? AB ? ? AC , 则? ? ? 的最大值为 3 1 1 2 3 A、 B、 全品高考网 C、 D、 3 2 3 4
A、2 B、- C、-

2 11

2 或2 11

11、设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ? n 。 ,中 a5 =___
2

12、计算:

=_____

13、已知变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为___

14、已知 f(x)是 R 上的减函数,A(3,-1) ,B(0,1)是其图象上两个点,则不等式 |f(1+lnx)|<1 的解集是____ 15、对于定义域为[0,1]的函数 f(x) ,如果同时满足以下三条: ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0;②f(1)=1;③若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有 f (x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数 f(x)为“美好函数” ,给出下列结论:
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①若函数 f(x)为美好函数,则 f(0)=0; ②函数 g(x)=2x-1(x∈[0,1])不是美好函数; ③函数 是美好函数;

④若函数 f(x)为美好函数,且?x0∈[0,1],使得 f(f(x0) )=x0,则 f(x0)=x0. 以上说法中正确的是______(写出所有正确的结论的序号) 。

16、 (本题满分 12 分) 已知函数 (I)求函数 f(x)的定义域及最大值; (II)求使 f(x)≥0 成立的 x 的取值集合。

17、 (本题满分 12 分) 已知{ an }为等差数列,且 a4 ? 14, a5 ? a8 ? 48 。 (I)求{ an }的通项公式; (II)设 Sn全品高考网 是等比数列{ bn }的前 n 项和,若 数列,求 S4。 成等差

18、 (本题满分 12 分) 安通驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路 OASBCD,道路的平面图如图所示(单 km)已知曲线 ASB 为函数 位: , 的图象,

且最高点为 S(1,2) ,折线段 AOD 为固定线路,其中 AO= 3全品高考网 ,OD=4,折 线段 BCD 为可变线路,但为保证驾驶安全,限定∠BCD=120°。 (I)求 的值;

(II)应如何设计,才能使折线段道路 BCD 最长?

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19、 (本题满分 12 分) 已知函数 (I)若函数 f(x)满足 f(3+x)=f(-x) ,求使不等式 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值 集合; (II)若函数 h(x)=f(x)+g(x)+2 在(0,2)上有两个不同的零点 求实数 b 的取值范围。

20、 (本题满分 13 分) 已知函数 y=lg(1+tx-x2)的定义域为 M,其中 t ? R。 (I)若 ,求函数 函数 在 M 上的最小值及相应的 x 的值; 满足 求 t 的取值范围。

(2)若对任意

21、 (本题满分 14 分) 已知函数 (I)若函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程为 y=2x+b,求 a,b 的值; (II)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (III)如果函数 恰好有两 全品 个不同的极值点 证明:

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绵阳市高 2011 级第一次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBCDC ABBAD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.9 12.6 13.5

1 14. ( , 2 ) e e

15.①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 全品高考网解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 16.解: (Ⅰ) cosx≠0 知 x≠kπ,k∈Z, 即函数 f (x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ,k∈Z}.………………………3 分 又∵ f ( x) ?
2 sin x cos x(sin x ? cos x) 1 ? cos 2 x ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 2 ? ? sin 2 x cos x 2 ? 1 ? (sin 2x ? cos 2x)

? 1 ? 2 sin(2 x ?

?
4

),

结合 x≠kπ,k∈Z 知满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合为

π ≤x< kπ ? π ,k∈Z}.………………………………………………12 分 4 17.解: (I)设{an}的公差为 d,则由题知
{x| kπ ?

?a1 ? 3d ? 14, 解得 a1=2,d=4. ……………………………………4 分 ? ?a1 ? 4d ? a1 ? 7 d ? 48,
∴an=2+4(n-1)=4n-2.…………………………………………………………6 分 (II)设{bn}的公比为 q, 若 q=1,则 S1=b1,S2=2b1,S3=3b1, 由已知 2 ? 2S2 ? 3S1 ? S3 ,代入得 8b1=4b1,而 b1≠0,故 q=1 不合题意. ……………………………………………………

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18.解: (I)由已知 A=2, 且有 2 sin(? ? 0 ? ? ) ? 3 ,即 sin ? ? 由| ? |<
3 , 2

? ? 得? ? . 3 2

又∵ 最高点为(1,2), ∴ 2 sin(? ? . 6 3 ? ? ∴ y ? 2 sin( x ? ) .…………………………………………………………6 分 6 3 π π (II)∵ B 点的横坐标为 3,代入函数解析式得 yB ? 2sin( ? 3 ? ) =1, 6 3 ∴ BD ? 12 ? (4 ? 3) 2 ? 2 .…………………………………………………8 分 在△ BCD 中,设∠CBD=θ,则∠BDC=180? -120? -θ=60? -θ. 由正弦定理有 ∴ CD ?
BD CD BC , ? ? sin 120? sin ? sin(60? ? ? )

?

) ? 2,解得 ? ?

?

2 6 2 6 sin ? , BC ? sin(60? ? ? ) , …………………………………9 分 3 3 2 6 [sin ? ? sin(60? ? ? )] 3

∴ BC ? CD ?

?
?

2 6 3 1 [sin ? ? cos ? ? sin ? ] 3 2 2
2 6 ? sin(? ? ) . 3 3

∴ 当且仅当 ? ?

?
6

时,折线段 BCD 最长,最长为

2 6 千米.…………12 分 3

19.解: (I)由于 f(3+x)=f(-x)知函数 f (x)关于 x ?

3 对称, 2

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即?

b 3 2 ? ,解得 b=-3,于是 f(x)=x -3x+2.………………………………3 分 2 2

? x 2 ? 1,x ? ?1或x ? 1, ? g ( x) ? ? 2 ? ?1 ? x , 1 ? x ? 1, ?
当 x≤-1,或 x≥1 时,由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥x2-1,解得 x≤1, ∴ 此时 x 的范围为 x≤-1,或 x=1. 当-1<x<1 时,由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥1-x2,解得 x≤ ∴ 此时 x 的范围为-1<x≤
1 . 2

1 或 x≥1, 2

∴ 综上知,使不等式 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|x≤

1 或 x=1}. 2 ………………………………………………………………

7分

?2 x 2 ? bx ? 3,x ? ?1或x ? 1, (II) h( x) ? ? ? 1 ? x ? 1, ?bx ? 5, ?2 x 2 ? 3,x ? ?1或x ? 1, 若 b=0 时, h( x) ? ? 显然 h(x)>0 恒成立,不满足条件. ? 1 ? x ? 1. ?5, …………………………………………………………………9
分 若 b≠0 时,函数 ? (x)=bx+5 在(0,1)上是单调函数, 即 ? (x)在(0,1)上至多一个零点,不妨设 0<x1<x2<2. ①如果 0<x1<1,1≤x2<2 时,则 ? (0)? (1) ? 0 ,且 h(1)h(2) ≤0,即

?b ? 5 ? 0, 11 解得 ? ≤ b ? ?5 . ? 2 ?(b ? 5)(2b ? 11) ? 0,
经检验 b ? ?

10 11 11 时, h(x) 的零点为 ,2(舍去) ,∴ ? < b ? ?5 . 2 11 2

②若 1≤x1<x2<2 时

? h(1) ? 1, ?b ? 5 ? 0, ? h(2) ? 0, ?2b ? 11 ? 0, ? ? ? 即? 得:-5≤ b ? ?2 6 . b ? 1 ? ? ? 2, ?? 8 ? b ? ?4, ? 4 ?b ? ?2 6或b ? 2 6, ? 2 ? ?b ? 24 ? 0, ?

11 ? b ? ?2 6 . ……………………………12 分 2 1 3 1 20.解: (I)由 1 ? x ? x 2 ? 0 解得 ? ? x ? 2 .即 M ? (? , ) .……………2 分 2 2 2 2
∴ 综上所述 b 的取值范围为 ? ∵ f ( x) ? 3 ? 4 x ? 2 x ? 2 ? 3 ? ( 2 x ) 2 ? 4 ? 2 x , 令 2x=t,则

2 4 2 ? t ? 4 , f ( x) ? g (t ) ? 3t 2 ? 4t ? 3(t ? ) 2 ? , 2 3 3
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∴ g(t)在 ( ∴ g(t)在 (

2 , ) 上是增函数. 4 2
2 , ) 上无最小值,即 f(x)在 M 上无最小值. 4 2 ……………………………………………………7 分
2(1 ? tx ? x 2 ) ?0, ( x 2 ? 1) 2

(II)∵ g ?( x) ?

∴ g(x)在 M 上是增函数. ……………………………………………………8 分 设 1+tx-x2=0 的两根为 α,β(α<β),则 α+β=t,αβ=-1,M=(α,β). 于是 g ( ? ) ? g (? ) ?
? 2? ? t 2? ? t (2 ? ? t )(? 2 ? 1) ? (2? ? t )(? 2 ? 1) ? ? (? 2 ? 1)(? 2 ? 1) ? 2 ?1 ? 2 ?1 2?? (? ? ? ) ? 2(? ? ? ) ? t (? ? ? )(? ? ? ) (?? ) 2 ? (? ? ? ) 2 ? 2?? ? 1

?

? 4(? ? ? ) ? t 2 (? ? ? ) = ? ?? 4 ? t2

? (? ? ? ) 2 ? 4??

? t2 ? 4 .
由题意知,要使原不等式恒成立,只需 t 2 ? 4 ? 3 ,解得 t ?[? 5, 5] . ……………………………………………………………………………13 分 21.解: (I)∵ f ?( x) ? e x ? x ? a , ∴ f ?(0) ? 1 ? a . 于是由题知 1-a=2,解得 a=-1. ∴ f ( x) ? e x ? ∴ f (0) ? 1 , 于是 1=2× 0+b,解得 b=1.……………………………………………………4 分 (II)由题意 f ?( x) ? 0 即 e x ? x ? a ? 0 恒成立, ∴ a ? e x ? x 恒成立. 设 h( x) ? e x ? x ,则 h?( x) ? e x ? 1 . x
h?(x)
1 2 x ? x. 2

(-∞,0) 减函数

0 0 极小值

(0,+∞) + 增函数

h(x) ∴ h(x)min=h(0)=1,

∴ a<1.…………………………………………………………………………9 分 (III)由已知 g ( x) ? e x ? ∴ g ?( x) ? e x ? 2ax ? a . ∵ x1,x2 是函数 g(x)的两个不同极值点(不妨设 x1<x2) ,
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1 2 1 x ? ax ? ax2 ? x 2 ? e x ? ax2 ? ax , 2 2

∴ a>0(若 a≤0 时, g ?( x) ? 0 ,即 g(x)是 R 上的增函数,与已知矛盾) ,且 g ? ( x1 ) ? 0 ,
g ? ( x2 ) ? 0 .

∴ e x1 ? 2ax1 ? a ? 0 , e x2 ? 2ax2 ? a ? 0 . 两式相减得: 2a ? 于是要证明
e x1 ? e x2 , x1 ? x2
x1 ? x2 2

x1 ? x2 ? ln 2a ,即证明 e 2
x2
x1 ? x 2 ,即证 e 2

?

e x1 ? e x2 , x1 ? x2
x1 ? x2 2

两边同除以 e 即证(x1-x2) e

?

e x1 ? x 2 ? 1 ,即证(x1-x2) e x1 ? x2

> e x1 ?x2 ? 1,

x1 ? x2 2

- e x1 ? x2 ? 1 >0,

令 x1-x2=t,t<0.
t

即证不等式 te 2 ? et ? 1 ? 0 当 t<0 时恒成立. 设 φ(t ) ? te ? et ? 1 ,
t t
t 2

∴ ? ?(t ) ? e 2 ? t ? e 2 ?
t

1 t ?e 2

t ? ( ? 1)e 2 ? et 2 t ? ?e 2 [e 2 ? ( ? 1)] . 2
t t



t 2 由(II)知 e

t t ? ? 1 ,即 e 2 ? ( ? 1) ? 0 , 2 2

t

∴ ? (t)<0, ∴ ? (t)在 t<0 时是减函数. ∴ ? (t)在 t=0 处取得极小值 ? (0)=0. ∴ ? (t)>0,得证. ∴
x1 ? x2 ? ln 2a .……………………………………………………………14 分 2

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