动量方程和能量方程


空气动力学
§ 2.1 连续方程

第二章 流体运动 的基本方 程和基本 规律

§ 2.2 动量方程
§ 2.3 能量方程 § 2.4 方程的基本解法

§ 2.5 微团运动分析
§ 2.6 旋涡运动

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§2.1 连续方程

空气动力学

§ 2.1.1 连续方程的物理意义

§ 2.1.2 连续方程的积分形式
§ 2.1.3 连续方程的微分形式 § 2.1.4 连续方程的物质导数形式

§ 2.1.1 连续方程的物理意义
连续方程描述的是流体力学中的质量 守恒规律:流出控制体的质量流量等于 控制体内质量随时间的减少率。

空气动力学

§ 2.1.2 连续方程的积分形式

空气动力学

? ? ? ?d? ? ?? ?V ? dS ? 0 ??? ?t ? S

§ 2.1.3 连续方程的微分形式
根据散度定量以及控制体选取的任意 性可得连续方程的微分形式为:

空气动力学

? ?? ? ? ? ?V ? 0 ?t

? ?

§ 2.1.4 连续方程的物质导数形式

空气动力学

? D? ? ?? ? V ? 0 Dt

§2.2 动量方程

空气动力学

§ 2.2.1 动量方程的物理意义

§ 2.2.2 动量方程的积分形式
§ 2.2.3 动量方程的微分形式 § 2.2.4 动量方程的物质导数形式

§ 2.2.1 动量方程的物理意义
动量方程描述的是动量守恒规律:控 制体动量随时间的变化率等于作用在控 制体上的力。

空气动力学

§ 2.2.2 动量方程的积分形式
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?V ? dS ?V ? ??? ?Vd? ? ? ?? p dS ? ??? ?fd? ? Fviscous ? ?t ? S? S ?

空气动力学

等号左边项分别为定常情况的控制体的 动量流量和非定常情况下的动力增加率, 等号右边项分别为压力、彻体力和粘性力。

§ 2.2.3 动量方程的微分形式
? ? 1 ? ? ? ?V 1 ? V ? ? V ? ? ?p ? f ? Fviscous ?t ? ?

空气动力学

?

?

§ 2.2.4 动量方程的物质导数形式
Du ?p ? ?? ? ?f x ?( Fx ) viscous Dt ?x

空气动力学

Dv ?p ? ?? ? ?f y ?( F y ) viscous Dt ?y Dw ?p ? ?? ? ?f z ?( Fz ) viscous Dt ?z

§2.3 能量方程

空气动力学

§ 2.3.1 能量方程的引入

§ 2.3.2 能量方程的物理意义
§ 2.3.3 能量方程的积分形式 § 2.3.4 能量方程的微分形式 § 2.3.5 能量方程的物质导数形式 § 2.3.6 方程组封闭的条件

空气动力学 § 2.3.1 能量方程的引入

? 对不可压流动,密度是常数。流场的主 ? p 和速度 要变量是压强 V ? 。连续方程 p V和 方程。因此, 和动量方程都是关于 对定常的不可压流,连续方程和动量方 程已经封闭。 ? 对可压流动,密度 ? 也是一个变量。为 了使该系统封闭,还需要一个基本方程, 即本节的能量方程。

空气动力学 § 2.3.2 能量方程的物理意义 能量方程描述的是能量守恒规律:根据热力学 第一定律,控制体内能的增加等于外界环境传 给控制体的热能 ?q 以及外界环境对控制体做 功? w 的和。为简化推导形式,这里取控制体 e 为单位质量的内能,对于一个 为单位质量, 静止系统有:

?q ? ?w ? de

空气动力学 § 2.3.3 能量方程的积分形式
? ? ? 2 2 ? e ? V / 2 d? ? ?? ? e ? V / 2 V ? dS ??? ?t ? S ? ? ? ? ? ? ? ? ???q?d? ? Q viscous ? ?? pV ? dS ? ??? ? f ? V d? ? W viscous

?

?

?

?

?

?

?

S

?

等号左边分别为非定常情况总能变化率以及定常情况 下的能量流量;等号右边分别为热能传输率,粘性热 能传输率,压力、彻体力和粘性应力做功功率。

空气动力学 § 2.3.4 能量方程的微分形式
? ? ? ? 2 2 ? e ? V / 2 ? ? ? ? e ? V / 2 V ? ? q ? ? ? pV ? ?t ? ? ? ? ? f ? V ? Q ' viscous ? W ' viscous

??

??

??

??

? ?

?

?

这里的 Q 当形式。

?

'

' 和 W viscous表示粘性项在方程中的适 viscous

?

空气动力学 § 2.3.5 能量方程的物质导数形式

? ? ? ? ?' ? D (e?V 2 / 2) ? ? ? q ??? pV ? ? f ?V ? Q viscous ?W ' viscous Dt

? ? ?

?

空气动力学 § 2.3.6 方程组封闭的条件

在能量方程中,引入了另外一个未知的流场变 量 e 。现在有三个方程,即连续方程,动量方 程 和 能 量? 方程,但它们包含了四个独立的变 量: ? , p,V和e 。引入如下两个方程可以使系统 封闭:

p ? ?RT

e ? cvT

§2.4 方程的基本解法
§ 2.4.1 方程的解析解

空气动力学

§ 2.4.2 方程的数值解—CFD

§ 2.4.1 方程的解析解
? 方程的解析解 ? 空气动力学中的三大控制方程,都是高度非线性 偏微分方程或积分方程,目前为止还没有解析解。 但是针对某些应用空气动力学问题,可以对控制 方程进行一定程度的简化和近似,从而得到简化 方程的解析解。 ? 理论空气动力学的发展过程就是在应用过程中对 所有的控制方程进行适当简化,并获得其解析解 的过程。

空气动力学

空气动力学 ? 解析解的优点 : ? 求解解析解的过程可以使我们更加的熟悉这些 气动问题的物理本质。 ? 封闭形式的解直观的告诉我们哪些变量对流动 的影响非常重要,而且可以知道这些变量增大 或者减小时,会对流场产生什么样的影响。 ? 最后,这些封闭形式的解为快速计算提供了简 单的工具。这在设计的初始阶段尤为重要。

§ 2.4.2 方程的数值解-CFD
? 计算流体力学( CFD) 是用代数离散的方式代替 方程中的积分或者微分,最终求解出给定空间 和时间离散点上的流场变量值的一种方法。 ? CFD的优点:不做任何几何近似,也可以处理完 全非线形的连续方程,动量方程和能量方程。 正因为如此,许多以前不能求解的空气动力学 的复杂流动,都可以用CFD的方法来解决。

空气动力学

§2.5 微团运动分析
§ 2.5.1 迹线、流线 § 2.5.2 角速度、旋度和角变形率 § 2.5.3 流函数、速度位

空气动力学

空气动力学 § 2.5.1 迹线、流线

? 迹线:流体微团在流场中的运 动轨迹。

? 流线: 流场中的一条曲线,线上各点的

空气动力学

切向和该点的速度方向相同。如果流动 是非定常的,由于速度矢量的大小和方 向随时间变化而变化,所以不同时刻的 流线形式也不相同。

空气动力学 ? 一般地说,流线和迹线是不重合。对定常流, 流场中给定点的速度矢量的大小和方向都是 不随时间变化。因此经过流场中同一点的不 同微元,其迹线相同;还有,迹线和流线也 重合。因此在定常流动中,流线和迹线是没 有任何区别;他们是相同的空间曲线

空气动力学 如何求流线方程 ? 如上页图中表示的流线是空间曲 ? 线 , 用 f ( x, y, z ) ? 0 表示。设 dS 是流线上的一个微段。点 2 处的速 ? ? 度 V 和 dS 平行。因此,由矢量 叉乘的定义得流线方程为:

?

? dS ? V ? 0 笛卡尔坐标系下流线方程的 微分形式:
?

wdy ? vdz ? 0 udz ? wdx ? 0 vdx ? udy ? 0

流管

空气动力学

? 在三维空间,在流场中取一 条不为流线的封闭曲线,经 过曲线上每一点作流线,所 有这些流线集合构成的管状 曲面被称为流管,如右图。 ? 由于流管由流线组成,因此 流体不能穿出或者穿入流管 表面。在任意瞬时,流场中 的流管类似真实的固体管壁。

空气动力学 § 2.5.2 角速度、旋度和角变形率 流场中的流体微团 , 当它沿着流线做平 移运动的同时,还可能旋转、变形运动。

微团旋转和变形量取决于速度场,本 节的目的就是用速度场量化分析微元的旋 转和变形运动。

分析用图

空气动力学

考虑xy平面内的二维流动。取流场中的一个 微元体。假设在时刻 t ,流体微元是矩形。其 在t ? ?t 时刻的位置和形状如下图。AB和AC分别 旋转的角位移是 ? ??1和?? 2。

角速度

空气动力学
d? 2 ?? 2 ?v ? lim ? dt ? t ?x ?t ?0

? 定义边AB、AC的角速度为 d?1 / dt和d? 2 / dt :
d? 1 ?? 1 ?u ? lim ?? dt ?y ?t ?0 ?t

? 定义流体微团角速度为边AB和AC角速度 的平均,并记为 ? z,则有:
?z
d? 2 1 ? d? 1 ? ? ? ? 2 ? dt dt ? 1 ? ?v ?u ? ? ?x ? ?y ? ? 2? ? ? ? ? ? ?

?? 三维空间流体微团的角速度: ? ? ?
? ? ? xi ? ? y j ? ? z k
1 ?? ?w ?v ? ? ? ?u ?w ? ? ? ?v ?u ? ? ? ? ? ? ?? ? i ?? ? ? k? ?j ?? ? ? ? ? 2 ?? ?y ?z ? ?x ? ? ?z ? ?x ?y ? ?

旋度

空气动力学

旋度:定义为旋转角速度 ?
?

?

? 的两倍,记为 ? 。

? ? ? 2? ???V ? 1 )如果 ? ? V ? 0 在流动中处处成立,流动称为

有旋流动。这表明流体微团在流动过程中具 有一定的旋转角速度。 ? 2)如果 ??V ?0 在流场中处处成立,流动称为无 旋流动。这表明流体微团没有角速度,在空 间作纯粹的平移运动。 3)二维无旋流动条件:
?v ?u ? ? 0 ?x ?y

角变形率 空气动力学
? 角变形率:设AB和AC之间的夹角为 ? 发生变化 ?k。 在 ?t 时间内, ?? ? ??? 2 ? ?? ??1 ? ? 角变形率 ? xy 定义为:
? xy ? ?
d? 2 d? 1 d? ? ? dt dt dt

?。

? 笛卡尔坐标系下角变形率表达式:
? xy
?v ?u ? ? ?x ?y
?u ?w ? ?z ?x

? yz

?w ?v ? ? ?y ?z

? zx ?

2.5.3 流函数、速度位 空气动力学
? 流函数 对于二维不可压流,连续方程为: 所以 udy ? vdx是某个函数 ? 的全微分: d? ? udy ? vdx 又 ?? ??
d? ? ?y dy ? ?x dx
?u ?v ? ? 0 ?x ?y

故有
u ? ?? ?y
?? v ?? ?x

函数 ? 称为流函数,? ?c 为一条流线。

空气动力学 ? 速度位 ? ? ? 对无旋流动: ? ? ? ?V ? 0 ? ? ??? ? ? 0 如果是个 ? 标量函数,那么: ? 对比上面两方程,有: V ? ?? 于是对于无旋流动,存在一个标量函数 ? , 使得 ? 的梯度等于速度,称 ? 为速度位。 ? 根据梯度和速度位定义有:
?? u? ?x
?? v? ?y
?? w? ?z

空气动力学

? 流函数和速度位的区别: 1)流场速度可通过对 ? 在速度方向微 分得到;而对? 在速度的法向求导 得到速度。 2)速度位是在无旋条件下定义的。而 流函数不管流动有旋还是无旋,都 存在。 3)速度位适用于三维流动,流函数只 在二维情形存在。

空气动力学

? 流函数和速度位的关系:

取速度位的梯度和流函数的梯 度的点积,有:
?? ??? ?0

所以等位线和流线正交

§2.6 旋涡运动

空气动力学

§ 2.6.1 涡线,涡管以及旋涡强度

§ 2.6.2 速度环量、斯托克斯定理 § 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理

空气动力学 § 2.6.1涡线,涡管以及旋涡强度 ? 涡线:是充满旋涡流场中的 一系列的曲线,在任意瞬时 该曲线上微团的旋转角速度 向量(旋转轴线方向按右手 定则)都和曲线相切,右如 图所示。 ? 涡线方程:

dx

?x

?

dy

?y

?

dz

?z

空气动力学 ? 涡管:某瞬时,在旋涡场中 任取一条非涡线的光滑封闭 曲线(曲线不得与同一条涡 线相交于两点),过该曲线 的每一点作涡线,这些涡线 形成得管状曲面称为涡管, 见右图。

空气动力学

? 涡量:通过涡管任一截面得到的涡通量, 定义为: ? ?
? ? n d? ?? ?
?

? ?? ?

n

d?

涡管的侧表面是涡面。在这个涡面上流 ? 体微团的角速度矢量 ? 与涡面的法向矢 量相垂直。这表明涡通量不能穿越涡管 表面。涡管截面大小和所取的围线的大 小有关,因此涡管可大可小,甚至无限 小,涡线是横截面积趋向于零的涡管。

空气动力学

? 旋涡强度,或称涡量强度:设在涡 管上取一截面,截面面积为? ,则 定义为
? ? 2 ?? ? n d?
?

上式就是旋涡强度,旋度则是涡管 截面趋向于零时的旋涡强度。

空气动力学 § 2.6.2 速度环量、斯托克斯定理 ? 速度环量:如果积分路径为一封闭曲线,则 速度线积分的值定义为速度环量,即:
? ? ? ? V ?dS

?

速度环量取逆时针积分方向为正。

空气动力学 ? 斯托克斯定理:?? ?
S

? ? ? ? n dS ? V ?dS??

?

斯托克斯定理表明:沿空间任一封闭曲线L上 的环量,等于贯穿以此曲线所成的任意曲面 上的涡强。

空气动力学 ? 诱导速度:由旋涡存在而产生得速度 ? 毕奥- 萨瓦公式:确定诱导速度的大小 。 该 公式指出,在不可压流动中,强度是 ? 、长 为 dL 的涡线对周围流场所产生得诱导速度 为 :

? dL ? r dw ? 4? r3

空气动力学 § 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理 流场中的旋涡是由流体粘性产生的。旋涡 产生以后的效应,可以用理想流体的观点来 研究旋涡问题。理想流体里涡线或涡管有如 下三条定理。 ? 定理一:在同一瞬间沿涡线或涡管的旋度强度 不变。 ? 定理二:涡线不能在流体中中断;只能在流体 边界上中断或形成闭合圈。 ? 定理三:在理想流中,涡的强度不随时间变化, 既不会增强,也不会削弱或者消失。


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