【试卷】2016年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)_4b461499602e42dab14cdae861311e13

2016 年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1. (5 分)设 A,B 是全集 I={1,2,3,4}的子集,A={l,2},则满足 A? B 的 B 的个数是( A.5 B.4 ) C.3 D.2 的虚部为( C.﹣ D.﹣ )

2. (5 分)复数 A. B.

3. (5 分)已知向量 , 满足 ?( ﹣ )=2,且| |=1,| |=2,则 与 的夹角 为( A. ) B. C. D. )

4. (5 分) (x﹣2y)6 的展开式中,x4y2 的系数为( A.15 B.﹣15 5. (5 分)A( 离为( A. ) B. + C.2 D. +1 C.60 D.﹣60

,1)为抛物线 x2=2py(p>0)上一点,则 A 到其焦点 F 的距

6. (5 分)执行如图的程序框图,输出 S 的值为(



A.ln4 B.ln5 C.ln 5﹣ln4

D.ln 4﹣ln 3
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7. (5 分)若 x,y 满足不等式组

,则 的最大值是(



A.

B.1

C.2

D.3

8. (5 分)Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,满足 al=l,Sn+2=4Sn+3,则{an}的公比 为( ) C.2 或﹣3 D.2 或﹣2

A.﹣3 B.2

9. (5 分)己知 A(x1,0) ,B(x2,1)在函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0)的 图象上,|x1﹣x2|的最小值 A. B. C.l D. ) ,则 ω=( )

10. (5 分)某几何体的三视图如图所示.则其体积积为(

A.8π B.

C.9π D. ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点,若 Г 上存在一 )

11. (5 分)F 为双曲线 Г:

点 P 使得△OPF 为等边三角形(O 为坐标原点) ,则 Г 的离心率 e 为( A. B. C. D.2 ,关于{an}有如下命题:

12. (5 分)数列{an}的通项公式为 an= ①{an}为先减后增数列; ②{an}为递减数列; ③? n∈N*,an>e;
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④? n∈N*,an<e 其中正确命题的序号为( A.①③ B.①④ ) D.②④

C.②③

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线 上. 13. (5 分) 在等差数列{an}中, a4=﹣2, 且 al+a2+…+a10=65, 则公差 d 的值是 .

14. (5 分)1000 名考生的某次成绩近似服从正态分布 N(530,502) ,则成绩在 630 分以上的考生人数约为 . (注: 正态总体 N (μ, ?2) 在区间 (μ﹣?, μ+?) ,

(μ﹣2?,μ+?) , (μ﹣3?,μ+3?)内取值的概率分别为 0.683,0.954,0.997) 15. (5 分)已知 f(x)为奇函数,函数 g(x)与 f(x)的图象关于直线 y=x+1 对称.若 g(1)=4.则 f(﹣3)= .

16. (5 分)一个几何体由八个面围成,每面都是正三角形,有四个顶点在同一 平面内且为正方形,从该几何体的 12 条棱所在直线中任取 2 条,所成角为 60° 的直线共有 对.

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)-(21)题为必考题, (22) , (23) , (24) 题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) 在如图所示的四边形 ABCD 中, ∠BAD=90°, ∠BCD=120°, ∠BAC=60°, AC=2,记∠ABC=θ. (Ⅰ)求用含 θ 的代数式表示 DC; (Ⅱ)求△BCD 面积 S 的最小值.

18. (12 分)如图,直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长均为 2,∠BAD=60°,M 为 BB1 的中点,Ol 为上底面对角线的交点. (Ⅰ)求证:O1M⊥平面 ACM; (Ⅱ)求 AD1 与平面 ADM 所成角的正弦值.
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19. (12 分)某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择 一种, 方案一:每满 200 元减 50 元: 方案二:每满 200 元可抽奖一次.具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的 甲箱,装有 2 个红球、2 个白球的乙箱,以及装有 1 个红球、3 个白球的丙箱中 各随机摸出 1 个球,所得结果和享受的优惠如下表: (注:所有小球仅颜色有区 别) 红球个数 3 2 1 0

实际付款 半价 7 折 8 折 原价 (Ⅰ)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概 率; (Ⅱ)若某顾客购物金额为 320 元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算? 20. (12 分)在△ABC 中,A(﹣1,0) ,B(1,0) ,若△ABC 的重心 G 和垂心 H 满足 GH 平行于 x 轴(G.H 不重合) , (I)求动点 C 的轨迹 Γ 的方程; (II)已知 O 为坐标原点,若直线 AC 与以 O 为圆心,以|OH|为半径的圆相切, 求此时直线 AC 的方程. 21. (12 分)函数 f(x)=2x﹣ex+1. (1)求 f(x)的最大值; (2)已知 x∈(0,1) ,af(x)<tanx,求 a 的取值范围.

四.请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定 的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上 将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)如图,AB 与圆 O 相切于点 B,CD 为圆 O 上两点,延长 AD 交圆 O
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于点 E,BF∥CD 且交 ED 于点 F (I)证明:△BCE∽△FDB; (Ⅱ)若 BE 为圆 O 的直径,∠EBF=∠CBD,BF=2,求 AD?ED.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.半圆 C(圆心为点 C)的极坐标方程为 ρ=2sinθ,θ∈( (Ⅰ)求半圆 C 的参数方程; (Ⅱ)直线 l 与两坐标轴的交点分别为 A,B,其中 A(0,﹣2) ,点 D 在半圆 C 上,且直线 CD 的倾斜角是直线 l 倾斜角的 2 倍,若△ABD 的面积为 4,求点 D 的直角坐标. , ) .

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+1|﹣a|x﹣l|. (Ⅰ)当 a=﹣2 时,解不等式 f(x)>5; (Ⅱ)若(x)≤a|x+3|,求 a 的最小值.

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2016 年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1. (5 分) (2016?高安市校级模拟)设 A, B 是全集 I={1,2, 3, 4}的子集,A={l, 2},则满足 A? B 的 B 的个数是( A.5 B.4 C.3 D.2 )

【解答】解:A,B 是全集 I={1,2,3,4}的子集,A={l,2},则满足 A? B 的 B 为:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 故选:B.

2. (5 分) (2016?唐山一模)复数 A. B. C.﹣ D.﹣ =

的虚部为(



【解答】解:由 则复数 故选:A.



的虚部为: .

3. (5 分) (2016?唐山一模) 已知向量 , 满足 ? ( ﹣ ) =2, 且| |=1, | |=2, 则 与 的夹角为( A. B. C. ) D. .∴ . . = =﹣1.

【解答】解:∵ ?( ﹣ )= ∴cos< ∴< 故选 D. >= >=

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4. (5 分) (2016?唐山一模) (x﹣2y)6 的展开式中,x4y2 的系数为( A.15 B.﹣15 C.60 D.﹣60



【解答】解: (x﹣2y)6 展开式的通项公式为 Tr+1= ?x6﹣r?(﹣2y)r, ?x4?(﹣2y)2=60x4y2,

令 r=2,得 T3=

所以 x4y2 的系数为 60. 故选:C.

5. (5 分) (2016?唐山一模)A( 到其焦点 F 的距离为( A. B. + C.2 ) D.

,1)为抛物线 x2=2py(p>0)上一点,则 A

+1

【解答】解:把 A( ∴p=1.

,1)代入抛物线方程得:2=2p,

∴抛物线的焦点为 F(0, ) . ∴抛物线的准线方程为 y=﹣ . ∴A 到准线的距离为 1+ = . ∴AF= . 故选:A.

6. (5 分) (2016?唐山一模)执行如图的程序框图,输出 S 的值为(



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A.ln4 B.ln5 C.ln 5﹣ln4

D.ln 4﹣ln 3

【解答】解:模拟执行程序框图,可得 i=1,S=0 满足条件 i<4,S=∫ xdx=lnx| =ln2﹣ln1,i=2

满足条件 i<4,S=ln2﹣ln1+ln3﹣ln2=ln3﹣ln1,i=3 满足条件 i<4,S=ln3﹣ln1+ln4﹣ln3=ln4﹣ln1=ln4,i=4 不满足条件 i<4,退出循环,输出 S 的值为:ln4. 故选:A.

7. (5 分) (2016?唐山一模)若 x,y 满足不等式组 是( A. ) B.1 C.2 D.3

,则 的最大值

【解答】解:由题意作平面区域如下,

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, 的几何意义是阴影内的点(x,y)与原点的连线的斜率, 结合图象可知, 过点 A(1,2)时有最大值, 此时 = 故选:C. =2,

8. (5 分) (2016?唐山一模) Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, 满足 al=l, Sn+2=4Sn+3, 则{an}的公比为( A.﹣3 B.2 )

C.2 或﹣3 D.2 或﹣2

【解答】解:∵Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,满足 al=l,Sn+2=4Sn+3, ∴S3=4a1+3, =4a1+3,即 ∴q2+q﹣6=0, 解得 q=2 或 q=﹣3. 代入检验,得 q=2. 故选:B. =7,

9. (5 分) (2016?唐山一模) 己知 A (x1, 0) , B (x2, 1) 在函数 f (x) =2sin (ωx+φ) (ω>0)的图象上,|x1﹣x2|的最小值 A. B. C.l D.
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,则 ω=(



【解答】解:∵A(x1,0) ,B(x2,1)在函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0)的 图象上, 且|x1﹣x2|的最小值为 故 = , ,

解得:T=3π, 又 ω>0, 故 ω= = ,

故选:D.

10. (5 分) (2016?唐山一模) 某几何体的三视图如图所示. 则其体积积为 (



A.8π B.

C.9π D.

【解答】解:由三视图可知几何体为两个尖头圆柱的组合体,它们可以组成高为 8 的圆柱, 圆柱的底面半径为 1, 所以几何体的体积为 π×12×8=8π. 故选 A.

11. (5 分) (2016?唐山一模)F 为双曲线 Г:



=1(a>0,b>0)的右焦

点,若 Г 上存在一点 P 使得△OPF 为等边三角形(O 为坐标原点) ,则 Г 的离心
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率 e 为( A. B.

) C. D.2

【解答】解:不妨设 F 为右焦点,△OPF(O 为坐标原点)为等边三角形, 故点 P 横坐标为 ,∴点 P 到右准线的距离 d= ﹣ c, ∴e= = ∵e>1,∴e= 故选:C +1, = ,△OPF 边长为

12. (5 分) (2016?唐山一模)数列{an}的通项公式为 an= 有如下命题: ①{an}为先减后增数列; ②{an}为递减数列; ③? n∈N*,an>e; ④? n∈N*,an<e 其中正确命题的序号为( A.①③ B.①④ ) D.②④ ,

,关于{an}

C.②③

【解答】解:数列{an}的通项公式为 an= ∴an>0, = ? ,

可得:a1>a2>a3…. 关于{an}有如下命题: ①{an}为先减后增数列,不正确; ②{an}为递减数列,正确; 由于 an=e,

③? n∈N*,an>e,正确;
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④? n∈N*,an<e,不正确. 故正确答案为:②③. 故选:C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线 上. 13. (5 分) (2016?唐山一模)在等差数列{an}中,a4=﹣2,且 al+a2+…+a10=65, 则公差 d 的值是 .

【解答】解:在等差数列{an}中,a4=﹣2,且 al+a2+…+a10=65, ∴a1+3d=﹣2,10a1+ 解得 d= . . d=65,

故答案为:

14. (5 分) (2016?唐山一模) 1000 名考生的某次成绩近似服从正态分布 N (530, 502) ,则成绩在 630 分以上的考生人数约为 23 . (注:正态总体 N(μ,?2)

在区间 (μ﹣?, μ+?) , (μ﹣2?, μ+?) , (μ﹣3?, μ+3?) 内取值的概率分别为 0.683, 0.954,0.997) 【解答】解:由题意,μ=530,?=50,在区间(430,630)的概率为 0.954. ∴成绩在 630 分以上的概率为 =0.023.

∴成绩在 120 分以上的考生人数约为 1000×0.023=23. 故答案为:23.

15. (5 分) (2016?唐山一模)已知 f(x)为奇函数,函数 g(x)与 f(x)的图 象关于直线 y=x+1 对称.若 g(1)=4.则 f(﹣3)= ﹣2 .

【解答】 解: 设A (1, 4) , A 关于直线 y=x+1 的对称点为 A' (a, b) . 则



解得


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∵函数 g(x)与 f(x)的图象关于直线 y=x+1 对称,g(1)=4, ∴f(3)=2,∵f(x)为奇函数,∴f(﹣3)=﹣2. 故答案为﹣2.

16. (5 分) (2016?唐山一模)一个几何体由八个面围成,每面都是正三角形, 有四个顶点在同一平面内且为正方形,从该几何体的 12 条棱所在直线中任取 2 条,所成角为 60°的直线共有 48 对.

【解答】解:如图所示,由题意,AB 与 AE,BE,BC,AC,CF,CD,ED,EF 所 成角为 60°,共 8 对, 每条棱有八对,12 条棱共有:12 乘以 8 再除以 2=48 对, 故答案为:48.

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)-(21)题为必考题, (22) , (23) , (24) 题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2016?唐山一模)在如图所示的四边形 ABCD 中,∠BAD=90°,∠ BCD=120°,∠BAC=60°,AC=2,记∠ABC=θ. (Ⅰ)求用含 θ 的代数式表示 DC; (Ⅱ)求△BCD 面积 S 的最小值.

【解答】解: (Ⅰ)在△ADC 中,∠ADC=360°﹣90°﹣120°﹣θ=150°﹣θ, 由正弦定理可得 = ,即
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=



于是:DC=

. = , = . . = ,即 BC= ,

(Ⅱ)在△ABC 中,由正弦定理得 由(Ⅰ)知:DC= ∴ S= =

故 θ=75°时,S 取得最小值 6﹣3

18. (12 分) (2016?唐山一模)如图,直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长均为 2, ∠BAD=60°,M 为 BB1 的中点,Ol 为上底面对角线的交点. (Ⅰ)求证:O1M⊥平面 ACM; (Ⅱ)求 AD1 与平面 ADM 所成角的正弦值.

【解答】证明: (Ⅰ)连接 AO1,CO1, ∵直四棱柱所有棱长均为 2,∠BAD=60°,M 为 BB1 的中点, ∴O1B1=1,B1M=BM=1,O1A1= ,

∴O1M2=O1B12+B1M2=2,AM2=AB2+BM2=5,O1A2=O1A12+A1A2=7, ∴O1M2+AM2=O1A2,∴O1M⊥AM. 同理:O1M⊥CM, 又∵CM∩AM=M,AM? 平面 ACM,CM? 平面 ACM, ∴O1M⊥平面 ACM. (Ⅱ)连结 BD 交 AC 于点 O,连接 OO1, 以 O 为坐标原点,OA,OB,OO1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系 O﹣xyz, 则 A( ,0,0) ,D(0,﹣1,0) ,D1(0,﹣1,2) ,M(0,1,1) ,
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=(﹣

,﹣1,2) ,

=(﹣

,﹣1,0) ,

=(0,2,1) ,

设平面 ADM 的一个法向量 =(x,y,z) , 则 ∴ ,∴ , =4 ,| |=4,| = .令 x=1,得 =(1,﹣ |=2 , . , ,2 ) .

∴cos<

, >=

∴AD1 与平面 ADM 所成角的正弦值为

19. (12 分) (2016?唐山一模)某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两 种优惠方案中选择一种, 方案一:每满 200 元减 50 元: 方案二:每满 200 元可抽奖一次.具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的 甲箱,装有 2 个红球、2 个白球的乙箱,以及装有 1 个红球、3 个白球的丙箱中 各随机摸出 1 个球,所得结果和享受的优惠如下表: (注:所有小球仅颜色有区 别) 红球个数 3 2 1 0

实际付款 半价 7 折 8 折 原价 (Ⅰ)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概 率; (Ⅱ)若某顾客购物金额为 320 元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算? 【解答】解: (Ⅰ)记顾客获得半价优惠为事件 A,则 P(A)= 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率: = ,

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P=1﹣P( )P( )=1﹣(1﹣

)2=

.…(5 分)

(Ⅱ)若选择方案一,则付款金额为 320﹣50=270 元. 若选择方案二,记付款金额为 X 元,则 X 可取 160,224,256,320. P(X=160)= P(X=224)= P(X=256)= P(X=320)= 则 E(X)=160× ∵270>240, ∴第二种方案比较划算.…(12 分) = , +256× +320× =240. , = = , ,

+224×

20. (12 分) (2016?唐山一模)在△ABC 中,A(﹣1,0) ,B(1,0) ,若△ABC 的重心 G 和垂心 H 满足 GH 平行于 x 轴(G.H 不重合) , (I)求动点 C 的轨迹 Γ 的方程; (II)已知 O 为坐标原点,若直线 AC 与以 O 为圆心,以|OH|为半径的圆相切, 求此时直线 AC 的方程. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可设 C(x,y) ,则 G( =(x﹣1, ) , ∵H 为垂心,∴ =(x+1,y) , =x2﹣1+ =0,整理可得 x2+ =1, ) ,H(x, ) .

即动点 C 的轨迹 Г 的方程为 x2+

=1(x?y≠0) ;

(Ⅱ)显然直线 AC 的斜率存在,设方程 AC 为 y=k(x+1) ,C(x0,y0) . 将 y=k(x+1)代入 x2+ =1 得(3+k2)x2+2k2x+k2﹣3=0,

解得 x0=

,y0=

,则 H(



) .

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原点 O 到直线 AC 的距离 d=



依题意可得



即 7k4+2k2﹣9=0,解得 k2=1,即 k=1 或﹣1, 故所求直线 AC 的方程为 y=x+1 或 y=﹣x﹣1.

21. (12 分) (2016?唐山一模)函数 f(x)=2x﹣ex+1. (1)求 f(x)的最大值; (2)已知 x∈(0,1) ,af(x)<tanx,求 a 的取值范围. 【解答】解: (1)f(x)=2x﹣ex+1,f′(x)=2﹣ex, 令 f′(x)>0,解得:x<ln2,令 f′(x)<0,解得:x>ln2, ∴f(x)在(﹣∞,ln2)递增,在(ln2,+∞)递减, ∴f(x)的最大值是 f(ln2)=2ln2﹣1; (2)x∈(0,1)时,f(x)在(0,ln2)递增,在(ln2,1)递减, 且 f(0)=0,f(1)=3﹣e>0,∴f(x)>0, ∵tanx>0,∴a≤0 时,af(x)≤0<tanx; a>0 时,令 g(x)=tanx﹣af(x) , 则 g′(x)= +a(ex﹣2) ,

∴g(x)在(0,1)递增且 g′(0)=1﹣a, ①0<a≤1 时,g′(0)≥0,g′(x)≥0, ∴g(x)在(0,1)递增,又 g(0)=0, ∴此时 g(x)>0,即 af(x)<tanx 成立, ②a>1 时,g′(0)<0,g′(1)>0, ∴? x0∈(0,1) ,使得 g′(x0)=0, 即 x∈(0,x0)时,g′(x)<0,g(x)递减, 又 g(0)=0, ∴g(x)<0 与 af(x)<tanx 矛盾, 综上:a≤1.
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四.请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定 的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上 将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?洛阳模拟) 如图, AB 与圆 O 相切于点 B, CD 为圆 O 上两点, 延长 AD 交圆 O 于点 E,BF∥CD 且交 ED 于点 F (I)证明:△BCE∽△FDB; (Ⅱ)若 BE 为圆 O 的直径,∠EBF=∠CBD,BF=2,求 AD?ED.

【解答】解: (Ⅰ)证明:∵BF∥CD; ∴∠EDC=∠BFD, 又∠EBC=∠EDC, ∴∠EBC=∠BFD, 又∠BCE=∠BDF, ∴△BCE∽△FDB. (Ⅱ)因为∠EBF=∠CBD,所以∠EBC=∠FBD, 由(Ⅰ)得∠EBC=∠BFD,所以∠FBD=∠BFD, 又因为 BE 为圆 O 的直径, 所以△FDB 为等腰直角三角形,BD= BF= ,

因为 AB 与圆 O 相切于 B,所以 EB⊥AB,即 AD?ED=BD2=2.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (2016?唐山一模)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系. 半圆 C (圆心为点 C) 的极坐标方程为 ρ=2sinθ, θ∈ ( ) .
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(Ⅰ)求半圆 C 的参数方程; (Ⅱ)直线 l 与两坐标轴的交点分别为 A,B,其中 A(0,﹣2) ,点 D 在半圆 C 上,且直线 CD 的倾斜角是直线 l 倾斜角的 2 倍,若△ABD 的面积为 4,求点 D 的直角坐标. 【解答】解: (Ⅰ)由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2, 可得半圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2y, 即 x2+(y﹣1)2=1(y>1) , 它的参数方程是 ,φ 为参数且 φ∈(0,π) ;

(Ⅱ)设直线 l 的倾斜角为 α, 则直线 l 的方程为 y=xtanα﹣2, D(cos2α,1+sin2α) ,2α∈(0,π) . |AB|= = ,

点 D 到直线 l 的距离为 d=

= 由△ABD 的面积为 4,得 4= d|AB|= 可得 tanα=1,得 α= 故点 D 为(0,2) . ,

=|﹣3cosα﹣sinα|=3cosα+sinα, =1+3cotα,

[选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?株洲一模)已知函数 f(x)=|x+1|﹣a|x﹣l|. (Ⅰ)当 a=﹣2 时,解不等式 f(x)>5; (Ⅱ)若(x)≤a|x+3|,求 a 的最小值. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=﹣2 时,f(x)= ,

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由 f(x)的单调性及 f(﹣ )=f(2)=5, 得 f(x)>5 的解集为{x|x<﹣ ,或 x>2}.…(5 分) (Ⅱ)由 f(x)≤a|x+3|得 a≥ 由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得 (当且仅当 x≥1 或 x≤﹣3 时等号成立) 故 a 的最小值为 .…(10 分) , ≤ ,得 a≥ .

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参与本试卷答题和审题的老师有: 沂蒙松; sxs123; zhczcb; 742048; w3239003; 炫晨;zlzhan;刘长柏;whgcn;刘老师;wkl197822;双曲线(排名不分先后) 菁优网 2017 年 2 月 6 日

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