江苏省赣榆高级中学2012届高三数学期末模拟试卷2

高三数学期末模拟 期末模拟试卷 江苏省赣榆高级中学 2012 届高三数学期末模拟试卷 2
一、填空题 1.已知集合 A = {1} , B = {1, 9} ,则 A U B = .
2

. . . .

2.已知复数 z 的实部为 ?1 ,模为 2 ,则复数 z 的虚部是

3.若函数 f ( x) = mx + x + 5 在 [ ?2, ∞) 上是增函数,则 m 的取值范围是 +

4.已知关于 x 的不等式 ax ? 5 < 0 的解集为 M ,若 5 ? M ,则实数 a 的取值范围是 x2 ? a 5.若点 P (cos α ,sin α ) 在直线 y = ?2 x 上,则 sin 2α + 2 cos 2α = 6.数列{ an }的前 n 项和 S n = 2n ? 3n( n ∈ N*) ,则 a4 =
2



. .

7.若函数 f (x) 的导函数为 f ' ( x ) = x 2 ? 4 x + 3 ,则函数 f ( x ? 1) 的单调递减区间为

8.某校开展了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各随机抽取 10 名学生的学分,用茎叶图表示(如图所示) ,若

s1 、 s2 分别表示甲、乙两班各自 10 名学生学分的标准差,则 s1
则 ( PA + PB ) ? PC 的最小值是

s2 (请填“<”,“=”,“>”)

9.如图,半圆的直径 AB = 6 , O 为圆心, C 为半圆上不同于 A、 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点, B

uuu uuu uuu r r r



87 987620 10

0 1 2

6788 028 022

第 8 题图
2 2

第 9 题图

10.过直线 y = x 上的一点作圆 x + ( y ? 4) = 2 的两条切线 l1 ,l 2 ,当 l1 与 l 2 关于 y = x 对称时,l1 与 l 2 的夹
角为 .

11.平面向量也叫二维向量,二维向量的坐标表示及其运算可以推广到 n(n≥3)维向量,n 维向量可用(x1,x2,x3,
x4,…,xn)表示.设 a =(a1,a2,a3,a4,…,an), b =(b1,b2,b3,b4,…,bn),规定向量 a 与 b 夹角 θ

r

r

r

r

的余弦为 cos θ =

∑a b
i =1 n n i =1 2 i

n

i i

,已知 n 维向量 a , b ,当 a =(1,1,1,1,…,1), b =(-1,-1,1,1,1,…,
2 i

r

r

r

r

∑ a ∑b
i =1

1)时,cosθ 等于



12.将边长为 3 的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为 1 的小正四面体,所得几何体的
表面积为_ .

13.等腰 Rt?ABC 中,斜边 BC = 4 2 ,一个椭圆以 C 为其中一个焦点,另一个焦点在线段 AB 上,且椭圆
经过 A, B 两点,则该椭圆的离心率为 . .

14.若实数 a, b, c 满足

1 1 1 1 1 + b = 1, a +b + b + c + a + c = 1 ,则 c 的最大值是 a 2 2 2 2 2

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分 14 分) .

uuu r uuu r uuu r uuur uuu r 平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 AB = ( 6, 1) , BC = ( x, y ) , CD = ( ?2, ? 3 ) , 且 AD // BC .

(1)求 x 与 y 之间的关系式; uuur uuu r (2)若 AC ⊥ BD ,求四边形 ABCD 的面积.

16.(本小题满分 14 分) . 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA ⊥ 平面 ABCD,PA=AD,AB= 2 AD,E 是线段 PD 上的点,F 是线段 AB 上的点,且

PE BF = = λ (λ > 0) . ED FA

P

(1)判断 EF 与平面 PBC 的关系,并证明; (2)当 λ 为何值时,DF ⊥ 平面 PAC?并证明. E

A F C 第16题图 18.(本小题满分 16 分) . 已知椭圆 C :

D

B

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的焦距为 2 3 ,离心率为 . 2 2 a b

(1)求椭圆的方程; (2)设过椭圆顶点 B (0, b) ,斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D,交 x 轴于点 E,且 | BD |, | BE |, | DE | 成等比 数列,求 k 的值.
2

17.(本小题满分 14 分) . 如图所示:一吊灯的下圆环直径为 4m,圆心为 O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花 板的距离 (即OB ) 为 2m,在圆环上设置三个等分点 A1,A2,A3.点 C 为 OB 上一点(不包含端点 O、B) ,同 时点 C 与点 A1,A2,A3,B 均用细绳相连接,且细绳 CA1,CA2,CA3 的长度相等.设细绳的总长为 y . (1)设∠CA1O = θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你设计 θ ,当角 θ 正弦值的大小是多少时,细绳总长 y 最小,并指明此时 BC 应为多长. B C A3 A1 O A2 19.(本小题满分 16 分)

已知:三次函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c ,在 (?∞,?1), ( 2,+∞) 上单调增,在(-1,2)上单调减,当 且仅当 x > 4 时, f ( x ) > x ? 4 x + 5.
2

(1)求函数 f (x)的解析式; (2)若函数 h( x ) =

f ′( x) ? (m + 1) ln( x + m) ,求 h( x) 的单调区间. 3( x ? 2)

20.(本小题满分 16 分) 设 f k ( n) 为关于 n 的 k ( k ∈ N ) 次多项式.数列{an}的首项 a1 = 1 ,前 n 项和为 Sn .对于任意的正 整数 n, an + S n = f k (n) 都成立. (1)若 k = 0 ,求证:数列{an}是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列.

数学Ⅱ 附加题) 数学Ⅱ(附加题)
?m 0 ? ?1 ? 21.设矩阵 A = ? ? ,若矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为 ?0 ? ,属于特征值 2 的一个特 ? 0 n? ? ? 0? ? 征向量为 ? ? ,求实数 m, n 的值. ?1 ?

22.已知⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别是 ρ = 2 cos θ 和 ρ = 2a sin θ (a 是非零常数).
(1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 若两圆的圆心距为 5,求 a 的值.

23.在四棱锥 P – ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PA⊥底面 ABCD,点 M 是棱 PC 的中点,AM⊥
平面 PBD.

P

⑴求 PA 的长; ⑵求棱 PC 与平面 AMD 所成角的正弦值. A M

B 第 23 题图

C

a ? a 24.设 n 是给定的正整数,有序数组 ( a1, 2, ? ? , 2 n ) 同时满足下列条件: ① a i ∈ { ,?1}, i = 1,2, L ,2n ; 1
②对任意的 1≤k≤l≤n ,都有
i = 2 k ?1



2l

ai ≤2 .

a ? a (1)记 An 为满足对“任意的 1≤k≤n ,都有 a 2 k ?1 + a 2 k = 0 ”的有序数组 ( a1, 2, ? ? , 2 n ) 的个数,求 An

a ? a (2)记 Bn 为满足“存在 1≤ k ≤ n ,使得 a 2 k ?1 + a 2 k ≠ 0 ”的有序数组 ( a1, 2, ? ? , 2 n ) 的个数,求 Bn .

数学参考答案
一、填空题:

9 1. {1, } ; .
6. 11 ; 11

2. .

± 3;

3. .

?0,1 ? ; 4. [1, 25] ; 5. -2; ; ? 4? ? ?

7. [2,4]; 12. 7 3 ;

8. 〈; 13.

9. ?

n?4 . ; n

9 ; 2

10.

π


3

6? 3 ;

14. 2-log23 .

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分 14 分)

uuu r uuu r uuu r uuur uuu r 平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 AB = ( 6, 1) , BC = ( x, y ) , CD = ( ?2, ? 3 ) , 且 AD // BC .

(1)求 x 与 y 之间的关系式; uuur uuu r (2)若 AC ⊥ BD ,求四边形 ABCD 的面积. uuur uuu uuu uuu r r r uuu r (1)由题意得 AD = AB + BC + CD = ( x + 4, ? 2) , BC = ( x, y ) , …………………2 分 y 【解】 uuur uuu r 因为 AD // BC , 所以 ( x + 4) y ? ( y ? 2) x = 0 ,即 x + 2 y = 0 ,① ………………………………………4 分 uuur uuu uuu r r uuu uuu uuur r r (2)由题意得 AC = AB + BC = ( x + 6, + 1) , BD = BC + CD = ( x ? 2, ? 3) , ………6 分 y y uuur uuu r 因为 AC ⊥ BD , 所以 ( x + 6)( x ? 2) + ( y + 1)( y ? 3) = 0 ,即 x 2 + y 2 + 4 x ? 2 y ? 15 = 0 ,② ………………8 分 ? x = 2, ? x = ?6, 由①②得 ? 或? ……………………………………………………………10 分 ? y = ?1, ? y = 3. uuur uuu r uuur uuu r ? x = 2, 当? 时, AC = (8, , BD = (0,? 4) ,则 S四边形ABCD = 1 AC BD = 16 …………12 分 0) 2 ? y = ?1 uuur uuu r uuur uuu r ? x = ?6, 当? 时, AC = (0, , BD = (?8, ,则 S四边形ABCD = 1 AC BD = 16 …………14 分 4) 0) 2 ?y = 3 所以,四边形 ABCD 的面积为 16.

16.(本小题满分 14 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA ⊥ 平面 ABCD,PA=AD,AB= 2 AD,E 是线段 PD 上的点,F 是线段 AB 上的点,且

PE BF = = λ (λ > 0) . ED FA

P

(1)判断 EF 与平面 PBC 的关系,并证明; (2)当 λ 为何值时,DF ⊥ 平面 PAC?并证明.

E

A F C 第16题图

D

B

16、 (1)作 FG // BC 交 CD 于 G,连接 EG, 则而

BF CG PE BF = , Q = = λ, FA GD ED FA PE CG ∴ = ,∴ PC // EG, 又 FG // BC , BC I PC = C , FG I GE = G ED GD

∴ 平面 PBC // 平面 EFG.又 EF ? 平面 PBC,∴ EF // 平面 PBC.………………………………6 分
(2)当 λ = 1 时,DF ⊥ 平面 PAC. ………………………………………………………8 分 证明如下:

Q λ = 1 ,则 F 为 AB 的中点,又 AB= 2 AD,AF=

1 AB , 2

∴ 在 Rt?FAD 与 Rt?ACD 中, AD CD tan ∠AFD = = 2 , tan ∠CAD = = 2 ,………11 分 AF AD ∴∠AFD = ∠CAD.∴ AC ⊥ DF ,
又Q PA ⊥ 平面 ABCD,DF ? 平面 ABCD,∴ PA ⊥ DF ,

∴ DF ⊥ 平面 PAC. ………………………………………………………………14 分
17.(本小题满分 14 分) . 如图所示:一吊灯的下圆环直径为 4m,圆心为 O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板 的距离 (即OB ) 为 2m,在圆环上设置三个等分点 A1,A2,A3.点 C 为 OB 上一点(不包含端点 O、B) ,同时点 C 与点 A1,A2,A3,B 均用细绳相连接,且细绳 CA1,CA2,CA3 的长度相等.设细绳的总长为 y . (1)设∠CA1O = θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你设计 θ ,当角 θ 正弦值的大小是多少时,细绳总长 y 最小,并指明此时 BC 应为多长. B C A3 A1 O A2 17. (Ⅰ)解:在 Rt △COA1 中,

CA1 =

2 , CO = 2 tan θ , ………2 分 cos θ 2 y = 3CA1 + CB = 3 ? + 2 ? 2 tan θ = cos θ 2(3 ? sin θ ) π + 2 ( 0 < θ < )……7 分 cos θ 4

(Ⅱ) y = 2
/

? cos 2 θ ? (3 ? sin θ )(? sin θ ) 3 sin θ ? 1 =2 , 2 cos θ cos 2 θ 1 3
………………12 分

令 y ′ = 0 ,则 sin θ =

当 sin θ >

1 1 时, y ′ > 0 ; sin θ < 时, y ′ < 0 , 3 3

∵ y = sin θ 在 [0,

π

4

] 上是增函数 1 2 时,y 最小,最小为 4 2 + 2 ;此时 BC = 2 ? m 3 2

∴当角 θ 满足 sin θ =

…16 分

18.(本小题满分 16 分) . 已知椭圆 C :

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的焦距为 2 3 ,离心率为 . 2 2 a b

(1)求椭圆的方程; (2)设过椭圆顶点 B (0, b) ,斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D,交 x 轴于点 E,且 | BD |, | BE |, | DE | 成等比 数列,求 k 的值.
2

19.(本小题满分 16 分)

已知:三次函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c ,在 (?∞,?1), ( 2,+∞) 上单调增,在(-1,2)上单调减,当且仅 当 x > 4 时, f ( x ) > x ? 4 x + 5.
2

(1)求函数 f (x)的解析式; (2)若函数 h( x ) =

f ′( x) ? (m + 1) ln( x + m) ,求 h( x) 的单调区间. 3( x ? 2)

(-1,2)上单减 解: (1)Q f ( x ) 在 (?∞,?1), ( 2,+∞) 上单增,

∴ f ′( x) = 3 x 2 + 2ax + b = 0 有两根-1,2 2a ? 3 ? ?? 1 + 2 = ? 3 3 2 ?a = ? ? 3 ∴? ∴? 2 ∴ f ( x) = x ? x ? 6 x + c …………4 分 2 ?b = ?6 ?? 1 × 2 = b ? ? 3 ?
令 H ( x) = f ( x) ? x ? 4 x + 5 = x ?
2 3

5 2 x ? 2x + c ? 5 2

H ′( x) = 3 x 2 ? 5 x ? 2 = (3 x + 1)( x ? 2) 1 1 H ( x)在(?∞,? ), (2,+∞) 单调增, (? ,2) 单调减 3 3

? H ( 4) = 0 ? 故? ∴ c = ?11 1 ? H (? 3 ) < 0 ? 3 2 x ? 6 x ? 11 2 3 2 3 故 f ( x ) = x ? x ? 6 x ? 11. ………………………………………………6 分 2 ∴ f ( x) = x 3 ?
(2)∵ f ' ( x) = 3 x 2 ? 3 x ? 6

∴ h( x) = x + 1 ? (m + 1) ln( x + m)( x > ?m且x ≠ 2)
∴ h ′( x) = 1 ? m +1 x ?1 = x+m x+m

当 m≤-2 时,-m≥2,定义域: (?m,+∞)

h ′( x) > 0 恒成立, h( x)在(?m,+∞) 上单增;
当 ? 2 < m ≤ ?1 时, 2 > ? m ≥ 1 ,定义域: (? m,2) U (2,+∞)

h ′( x) > 0 恒成立, h( x)在(?m,2), (2,+∞) 上单增
当 m >-1 时,-m <1,定义域: (? m,2) U (2,+∞)

由 h ′( x ) > 0 得 x >1,由 h ′( x ) < 0 得 x <1. 故在(1,2)(2,+∞)上单增;在 (? m,1) 上单减 , 所以当 m≤-2 时,h(x)在(-m,+∞)上单增; 当 ? 2 < m ≤ ?1 时, h( x)在( ?m,2), ( 2,+∞) 上单增; 当 m >-1 时,在(1,2)(2,+∞)上单增;在(-m,1)单减………16 分 ,

20.(本小题满分 16 分) 设 f k (n) 为关于 n 的 k ( k ∈ N ) 次多项式.数列{an}的首项 a1 = 1 ,前 n 项和为 Sn .对于任意的正 整数 n, an + S n = f k (n) 都成立. (1)若 k = 0 ,求证:数列{an}是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列. . 【证】 (1)若 k = 0 ,则 f k (n ) 即 f 0 ( n) 为常数,不妨设 f 0 ( n) = c (c 为常数) 因为 an + S n = f k (n) 恒成立,所以 a1 + S1 = c ,即 c = 2a1 = 2 . 而且当 n≥2 时, an + S n = 2 , ①
an ?1 + S n ?1 = 2 , ②

①-②得 2an ? an ?1 = 0(n ∈ N,n≥2) . 若 an=0,则 an ?1 =0 ,…,a1=0,与已知矛盾,所以 an ≠ 0(n ∈ N* ) . 故数列{an}是首项为 1,公比为 1 的等比数列. ………………………………………4 分 2 【解】 2)(i) 若 k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (
(ii) 若 k=1,设 f1 (n) = bn + c (b,c 为常数) ,

当 n≥2 时, an + S n = bn + c ,
an ?1 + S n ?1 = b(n ? 1) + c ,

③ ④

③-④得 2an ? an ?1 = b(n ∈ N,n≥2) .……………………………………………………7 分 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有 an = b ? d (常数) , 而 a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为 an =1 n ∈ N* , 故当 k=1 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an

(

) =1 ( n ∈ N ) ,此时 f (n) = n + 1 .…9 分
*
1

(iii) 若 k=2,设 f 2 (n) = an2 + bn + c ( a ≠ 0 ,a,b,c 是常数) ,

当 n≥2 时, an + Sn = an2 + bn + c ,



an?1 + Sn ?1 = a(n ? 1)2 + b(n ? 1) + c , ⑥
⑤-⑥得 2 an ? an ?1 = 2an + b ? a (n ∈ N,n≥2) , ………………………………………12 分 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有
an = 2an + b ? a ? d ,且 d=2a,

考虑到 a1=1,所以 an = 1 + ( n ? 1) ? 2a = 2an ? 2a + 1 n ∈ N* .

(

)

故当 k=2 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an = 2an ? 2a + 1 n ∈ N* , 此时 f 2 (n) = an2 + (a + 1)n + 1 ? 2a (a 为非零常数) .…………………………………14 分 (iv) 当 k≥3 时,若数列{an}能成等差数列,则 an + S n 的表达式中 n 的最高次数为 2,故数列{an} 不能成等差数列. 综上得,当且仅当 k=1 或 2 时,数列{an}能成等差数列. ……………………………16 分

(

)

数学Ⅱ
?m 0 ? ?1 ? 21.设矩阵 A = ? ? ,若矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为 ?0 ? ,属于特征值 2 的一个特 ? 0 n? ? ? ?0 ? 征向量为 ? ? ,求实数 m, n 的值. ?1 ?
??m ?? ?? 0 【解】由题意得 ? ??m ?? 0 ?? 0 ? ?1 ? ?1 ? ? ?0? = 1 ?0? , n? ? ? ? ? 0 ? ?0? ?0 ? ? ?1 ? = 2 ?1 ? , n? ? ? ? ?

…………………6 分

? m = 1, ?0 ? n = 0, ? m = 1, ? 化简得 ? 所以 ? ? n = 2. ?0 ? m = 0, ? n = 2, ?

………………10 分

22.已知⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别是 ρ = 2 cos θ 和 ρ = 2a sin θ (a 是非零常数).
(1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 若两圆的圆心距为 5,求 a 的值.
解:(1)由 ρ=2cosθ,得 ρ2=2ρcosθ. 所以⊙O1 的直角坐标方程为 x2+y2=2x. 即 由

P

(x-1) +y =1.(3 分)

2

2

ρ=2asinθ,得 ρ2=2aρsinθ. M A
…………………………10 分

所以⊙O2 的直角坐标方程为 x2+y2=2ay, 即

x2+(y-a)2=a2.(6 分)

(2)⊙O1 与⊙O2 的圆心之间的距离为 12+a2= 5,解得 a=±2.

23.在四棱锥 P – ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PA⊥底面
点 M 是棱 PC 的中点,AM⊥平面 PBD.

B
z

C 第 23 题图
P

ABCD,

⑴求 PA 的长; ⑵求棱 PC 与平面 AMD 所成角的正弦值.
A D B x C M y

解 : 以

A

为 坐 标 原 点 ,AB,AD,AP

分 别 为

x,y,z

轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a). 11a 11a → 因为 M 是 PC 中点,所以 M 点的坐标为( , , ),所以AM = ( , , ), 222 222 → → BD = (–1,1,0), BP = ( – 1,0,a). → →→ →→ ⑴因为AM⊥平面 PBD,所以AM·BD = AM· BP = 0.即 – a2 1 + = 0,所以 a = 1,即 PA = 1. …………………………………4 分 2 2

111 → → → 又CP = ( – 1,–1,1). 所以 cos<n, ⑵由AD = (0,1,0), M = ( , , ),可求得平面 AMD 的一个法向量 n = ( – 1,0,1). 222 → n· CP → CP > = = → |n|·| CP | 2 6 = . 3 2· 3 6 .……………………………10 分 3

所以,PC 与平面 AMD 所成角的正弦值为

a ? a 24.设 n 是给定的正整数,有序数组 ( a1, 2, ? ? , 2 n ) 同时满足下列条件:
① a i ∈ { ,?1}, i = 1,2, L ,2n ; ②对任意的 1≤k≤l≤n ,都有 1
i = 2 k ?1



2l

ai ≤2 .

a ? a (1)记 An 为满足对“任意的 1≤k≤n ,都有 a 2 k ?1 + a 2 k = 0 ”的有序数组 ( a1, 2, ? ? , 2 n ) 的个数,求 A
【解】 1)因为对任意的 1≤k≤n ,都有 a 2 k ?1 + a 2 k = 0 , (
n 所以, An = 2 × 2 × ? ??× 2 = 2 ; 14243 n个 2 相乘

a ? a (2)记 Bn 为满足“存在 1≤ k ≤ n ,使得 a 2 k ?1 + a 2 k ≠ 0 ”的有序数组 ( a1, 2, ? ? , 2 n ) 的个数,求 Bn .
…………………………4 分

(2)因为存在 1≤k≤n ,使得 a2 k ?1 + a2 k ≠ 0 , 所以 a2 k ?1 + a2 k = 2 或 a2 k ?1 + a2 k = ?2 , 设所有这样的 k 为 k1 , k2 , ? ? ? km (1≤m≤n) ,
不妨设 a2 k j ?1 + a2 k j = 2(1≤j≤m) ,则 a2 k j +1 ?1 + a2 k j+1 = ?2 (否则
2 k j +1 i = 2 k j ?1



ai =4 > 2 ) ;

同理,若 a2 k j ?1 + a2 k j = ?2(1≤j≤m) ,则 a2 k j +1 ?1 + a2 k j +1 = 2 , 这说明 a2 k j ?1 + a2 k j 的值由 a2 k1 ?1 + a2 k1 的值(2 或 ? 2)确定, 又其余的 (n ? m) 对相邻的数每对的和均为 0,
2 n 所以, Bn = 2C1 × 2n ?1 + 2Cn × 2n ? 2 + ? ? ? + 2Cn n 2 n = 2(2n + C1 × 2n ?1 + Cn × 2n ? 2 + ? ? ? + Cn ) ? 2 × 2n n

…………………6 分

…………………8 分

= 2(1 + 2)n ? 2 × 2n = 2(3n ? 2n ) . …………………10 分


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