吉林省东北师范大学附属中学届高三数学第一轮复习函数的奇偶性教案文(数学教案)

函数的奇偶性 一、知识梳理: (阅读教材必修 1 第 33 页—第 36 页) 1、 函数的奇偶性定义: 2、 利用定义判断函数奇偶性的步骤 (1) 首先确定函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称; (2) 确定与的关系; (3) 作出相应结论 3、 奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; (3)为偶函数 (4)若奇函数的定义域包含 0,则 (5)判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须 注意使定义域不受影响; (6)牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性; (7)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: 4、一些重要类型的奇偶函数 (1) 、f(x)= (a>0,a) 为偶函数; f(x)= (a>0,a) 为奇函数; (2) 、f(x)= (3) 、f(x)= (4) 、f(x)=x+ (5) 、f(x)=g(|x|)为偶函数; 二、题型探究 [探究一]:判断函数的奇偶性 例 1:判断下列函数的奇偶性 1. 【15 年北京文科】下列函数中为偶函数的是( A. y ? x sin x 2 ) C. y ? ln x D. y ? 2 ?x B. y ? x cos x 2 【答案】B 【解析】 试题分析:根据偶函数的定义 f (? x) ? f ( x) ,A 选项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项定 义域为 (0, ??) 不具有奇偶性,D 选项既不是奇函数,也不是偶函数,故选 B. 考点:函数的奇偶性. 2. 【15 年广东文科】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) 1 A. y ? x ? sin x 2 B. y ? x ? cos x 2 C. y ? 2 x ? 1 2x D. y ? x ? sin 2 x 【答案】A【解析】 试题分析:函数 f ? x ? ? x ? sin x 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 f ?1? ? 1 ? sin1 , 2 f ? ? x ? ? 1 ? sin1 ,所以函数 f ? x ? ? x 2 ? sin x 既不是奇函数,也不是偶函数;函数 f ? x ? ? x 2 ? cos x 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? cos ? ? x ? ? x 2 ? cos x ? f ? x ? ,所以函数 f ? x ? ? x 2 ? cos x 是偶函数; 2 函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 2x 1 1 1 f ? ? x ? ? 2? x ? ? x ? x ? 2 x ? f ? x ? ,所以函数 f ? x ? ? 2 x ? x 是偶函数;函数 2 2 2 f ? x ? ? x ? sin 2 x 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 f ? ? x ? ? ? x ? sin ? ?2 x ? ? ? x ? sin 2 x ? ? f ? x ? , 所以函数 f ? x ? ? x ? sin 2 x 是奇函数. 故 选 A. 考点:函数的奇偶性. 3. 【15 年福建文科】下列函数为奇函数的是( A. y ? 【答案】D 【解析】 试题分析:函数 y ? 函数,故选 D. 考点:函数的奇偶性. [探究二]:应用函数的奇偶性解题 例 3、 【2014 高考湖南卷改编】 已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x ? x ? 1 ,则 3 2 ) x B. y ? e x x ?x C. y ? cos x D. y ? e ? e x 和 y ? e x 是非奇非偶函数; y ? cos x 是偶函数; y ? ex ? e? x 是奇 f (1) ? g (1) ? ( A. ? 3 ) B. ? 1 C. 1 D. 3 2 例 4:已知函数 f(x)=- - 若 f(a)=b ,则 f(-a) = 三、方法提升 1、 判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇偶性的 定义经过化、整理、将 f(x)与 f-(x)比较,得出结论。 2、 利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题,转化到研究部分(一半)区间上, 是简化问题的一种途径。 3、 函数的奇偶性常与函数的其它性质及不等式结合 出题,运用函数的奇偶性就是运用函 数的对称性。 4、 要善于发现函数特征,图像特征,运用数形结合,定向转化,分类讨论思想,整体代换 的手段,从而简化解决问题的程序,既快又准。 四、反思感悟 五、课时作业 1. 【2014 全国 1 高考改编】设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数,则下列结论中正确的是( A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C.. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 ) B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数 2. 设偶函数 f(x)满足 f(x)=x -8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( 3 ) A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 解析:当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=(-x) -8=-x -8, 3 3 3 又 f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=-x -8, ?x -8,x≥0 ? ∴f(x)=? 3 ?-x -8,x<0 ? ? ?x≥2 ? 3 ?(x-2) -8>0 ? 3 3 ?(x-2) -8,x≥2 ? .∴f(x-2)=? 3 ?-(x-2)

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