高中数学必修4模块综合检测题综合能力检测题(人教A版)

高二数学试题解释版
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.(09· 全国Ⅰ文)已知 tanα=4,tanβ=3,则 tan(α+β)=( 7 A. 11 [答案] B [解析] ∵tanβ=3,tanα=4, tanα+tanβ 4+3 7 ∴tan(α+β)= = =- . 11 1-tanα·tanβ 1-4×3 2.(09 π 广东文)函数 y=2cos2?x-4?-1 是( ? ? ) B.- 7 11 7 C. 13 7 D.- 13 )

A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 [答案] A

B.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2

π π 2π [解析] 因为 y=2cos2?x-4?-1=cos?2x-2?=sin2x 为奇函数,T= =π,所以选 A. ? ? ? ? 2 π 3.(09· 山东文)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得 4 图象的函数解析式是( ) π C.y=1-sin(2x+ ) D.y=cos2x 4

A.y=2cos2x B.y=2sin2x [答案] A

4.(09· 浙江文)已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b), 则 c=( ) 7 7 B.(- ,- 3 9 7 7 C.( , ) 3 9 7 7 D.(- ,- ) 9 3

7 7 A.( , ) 9 3 [答案] D
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[解析] 设 c=(m,n),∵c+a=(m+1,n+2),a+b=(3,-1), ∴由(c+a)∥b,c⊥(a+b)得:
? ?-3(m+1)-2(n+2)=0 7 7 ? ,解得 m=- ,n=- . 9 3 ? ?3m-n=0

故选 D. 3 5 5.在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,则 cosC 的值为( 5 13 56 A.- 65 [答案] C 5 12 [解析] ∵cosB= ,∴sinB= , 13 13 ∵sinB>sinA,A、B 为△ABC 的内角, ∴B>A,∴A 为锐角, 3 4 ∵sinA= ,cosA= , 5 5 ∴cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB 4 5 3 12 16 =- × + × = . 5 13 5 13 65 6.已知 a=(1,3),b=(2+λ,1),且 a 与 b 成锐角,则实数 λ 的取值范围是( 5 A.λ>-5 B.λ>-5 且 λ≠- 3 [答案] B [解析] ∵a 与 b 夹角为锐角,∴a· b=2+λ+3>0,∴λ>-5, 当 a 与 b 同向时,存在正数 k,使 b=ka,
?2+λ=k ? ∴? ,∴ ? ?1=3k

)

16 B.- 65

16 C. 65

56 D. 65

)

C.λ<-5

5 D.λ<1 且 λ≠- 3

?k=3 ? 5 ?λ=-3
1

5 ,因此 λ>-5 且 λ≠- . 3

1 7.(09· 陕西理)若 3sinα+cosα=0,则 2 的值为( cos α+sin2α 10 A. 3 [答案] A 1 [解析] ∵3sinα+cosα=0,∴tanα=- , 3 1 +1 sin α+cos α tan α+1 9 10 ∴原式= 2 = = = ,故选 A. 2 3 cos α+2sinαcosα 1+2tanα 1- 3
2 2 2

)

5 B. 3

2 C. 3

D.-2

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8.若 sin4θ+cos4θ=1,则 sinθ+cosθ 的值为( A.0 [答案] D [解析] 解法一:由 sin4θ+cos4θ=1 知
? ? 1 ?sinθ=0 ?sinθ=± ? 或? , ?cosθ=± ?cosθ=0 1 ? ?

)

B.1

C.-1

D.± 1

∴sinθ+cosθ=± 1. 解法二:∵sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1, ∴sin2θcos2θ=0,∴sinθcosθ=0, ∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1, ∴sinθ+cosθ=± 1. 9.a 与 b 的夹角为 120° ,|a|=2,|b|=5,则(2a-b)· a=( A.3 [答案] D [解析] a· b=2×5×cos120° =-5, ∴(2a-b)· a=2|a|2-a· b=8-(-5)=13. → → → 10.设 e1 与 e2 是两个不共线向量,AB=3e1+2e2,CB=ke1+e2,CD=3e1-2ke2,若 A、 B、D 三点共线,则 k 的值为( 9 A.- 4 [答案] A → → → [解析] BD=BC+CD=(-ke1-e2)+(3e1-2ke2) =(3-k)e1-(1+2k)e2, → → ∵A、B、D 共线,∴AB∥BD, ∴ 3-k -1-2k 9 = ,∴k=- . 3 2 4 4 B.- 9 ) C.- 3 8 D.不存在 B.9 C.12 D.13 )

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 11.函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是________. [答案] 1- 2 [解析] y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x π =1+ 2sin?2x+4?, ? ? ∵x∈R,∴ymin=1- 2.
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三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 12.(本题满分 12 分)(09· 湖南文)已知向量 a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tanθ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值. [解析] (1)因为 a∥b,所以 2sinθ=cosθ-2sinθ, 1 于是 4sinθ=cosθ,故 tanθ= . 4 (2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5, 所以 1-2sin2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4, 即 sin2θ+cos2θ=-1, π 2 于是 sin?2θ+4?=- . ? ? 2 π π 9π 又由 0<θ<π 知, <2θ+ < , 4 4 4 π 5π π 7π 所以 2θ+ = ,或 2θ+ = . 4 4 4 4 π 3π 因此 θ= ,或 θ= . 2 4 13.(本题满分 12 分)(09· 重庆文)设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正 2π 周期为 . 3 (1)求 ω 的值; π (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到,求 y=g(x)的单 2 调增区间. [解析] (1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2 π = 2sin(2ωx+ )+2, 4 2π 2π 3 依题意得 = ,故 ω= . 2ω 3 2 π (2)f(x)= 2sin?3x+4?+2, ? ? π π 依题意得 g(x)= 2sin?3?x-2?+4?+2 ? ? ? ? 5π = 2sin?3x- 4 ?+2, ? ? π 5π π 由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈Z)解得 2 4 2

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2 π 2 7π kπ+ ≤x≤ kπ+ (k∈Z), 3 4 3 12 2 π 2 7π 故 g(x)的单调增区间为?3kπ+4,3kπ+12? ? ? (k∈Z).

14 . ( 本 题 满 分 12 分 )(09· 西 文 ) 已 知 函 数 f(x) = Asin(ωx + φ) , x∈R , 陕

?其中A>0,ω>0,0<φ<π?的周期为 π,且图象上一个最低点为 M?2π,-2?. 2? ? ?3 ?
(1)求 f(x)的解析式; π (2)当 x∈?0,12?时,求 f(x)的最值. ? ? 2π [解析] (1)由最低点为 M? 3 ,-2?得 A=2, ? ? 2π 2π 由 T=π 得 ω= = =2,∴f(x)=2sin(2x+φ). T π 2π 4π 由点 M? 3 ,-2?在图象上得 2sin? 3 +φ?=-2 ? ? ? ? 4π 即 sin? 3 +φ?=-1, ? ? ∴ 4π π +φ=2kπ- 3 2

11π 即 φ=2kπ- ,k∈Z, 6 π π 又 φ∈?0,2?,∴k=1,∴φ= , ? ? 6 π ∴f(x)=2sin?2x+6?. ? ? π π π π (2)∵x∈?0,12?,∴2x+ ∈?6,3?, ? ? ? 6 ? π π ∴当 2x+ = ,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; 6 6 π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 3. 6 3 12 16.(本题满分 12 分)(北京通州市 09~10 高一期末)已知向量 a=( 3cosωx,sinωx),b =sin(ωx,0),且 ω>0,设函数 f(x)=(a+b)· b+k, π (1)若 f(x)的图象中相邻两条对称轴间距离不小于 ,求 ω 的取值范围; 2 π π (2)若 f(x)的最小正周期为 π,且当 x∈- , 时,f(x)的最大值为 2,求 k 的值. 6 6 [解析] ∵a=( 3cosωx,sinωx),b=(sinωx,0), ∴a+b=( 3cosωx+sinωx,sinωx). ∴f(x)=(a+b)· b+k= 3sinωxcosωx+sin2ωx+k
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3 1 1 sin2ωx- cos2ωx+ +k 2 2 2

π 1 =sin?2ωx-6?+ +k. ? ? 2 T 2π π (1)由题意可得: = ≥ . 2 2×2ω 2 ∴ω≤1,又 ω>0, ∴ω 的取值范围是 0<ω≤1. (2)∵T=π,∴ω=1. π 1 ∴f(x)=sin?2x-6?+ +k ? ? 2 π π π π π ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 6 6 2 6 6 π π ∴当 2x- = , 6 6 π π 即 x= 时,f(x)取得最大值 f?6?=2. ? ? 6 π 1 ∴sin + +k=2.∴k=1. 6 2 π 17.(本题满分 14 分)(09· 福建文)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x) 3 的解析式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶 函数. π 3π π π [解析] 解法一:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 cos cosφ-sin sinφ=0, 4 4 4 4 π 即 cos?4+φ?=0. ? ? π π 又|φ|< ,∴φ= ; 2 4 π (2)由(1)得,f(x)=sin?ωx+4?. ? ? T π 依题意, = . 2 3 π 2π 又 T= ,故 ω=3,∴f(x)=sin?3x+4?. ? ? ω π 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后,所得图象对应的函数为 g(x)=sin?3(x+m)+4?, ? ?

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π π g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 2 kπ π 即 m= + (k∈Z). 3 12 π 从而,最小正实数 m= . 12 解法二:(1)同解法一. π (2)由(1)得,f(x)=sin?ωx+4?. ? ? T π 依题意, = . 2 3 2π 又 T= ,故 ω=3, ω π ∴f(x)=sin?3x+4?. ? ? π 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所得图象对应的函数为 g(x)=sin?3(x+m)+4?. ? ? g(x)是偶函数当且仅当 g(-x)=g(x)对 x∈R 恒成立, π π 亦即 sin?-3x+3m+4?=sin?3x+3m+4?对 x∈R 恒成立. ? ? ? ? π π ∴sin(-3x)cos?3m+4?+cos(-3x)sin?3m+4? ? ? ? ? π π =sin3xcos?3m+4?+cos3xsin?3m+4?, ? ? ? ? π 即 2sin3xcos?3m+4?=0 对 x∈R 恒成立. ? ? π ∴cos?3m+4?=0, ? ? π π 故 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 2 kπ π ∴m= + (k∈Z), 3 12 π 从而,最小正实数 m= . 12

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