江苏省如东高级中学2015年高考热身训练数学试题案

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2015 年高考热身训练测试卷
数学 I
注 意 事 项
2015-6-2

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两 部分。本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题 卡一并交回。 2 请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 3、答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其 它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 4 如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。

一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写解答,请把答案填写在答题纸指定位 ...... 置上 . .. 1. 已知集合 A={2,5},B={ x |1 ≤ x ≤ 3 },则 A ? B = 2. 设 a ? R ,复数 ▲ . ▲ . 8 9 58 012246

a ? 2i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则 a 的值为 1 ? 2i 1 ,则 f ( x) ? 3. 已知幂函数 f ( x) 的图象经过点 2 , ▲ . 4

?

?

(第 4 题)

4. 如图是某班 8 位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图,那么这 8 位学生 得分的平均分为 ▲ . ▲ .

5. 执行如图所示的伪代码,则输出的结果为

6. 甲、乙两人下棋,结果是一人获胜或下成和棋.已知甲不输的 概率为 0.8,乙不输的概率为 0.7,则两人下成和棋的概率为 7.给出下列命题: ▲

s ?0 t ?1 For I From 1 s ? s+I t ?t ? I End For r ?s ? t . Print r
(第 5 题)

To 3

(1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题 的序号是 ... ▲ .

8. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 为双曲线 x2 ? y 2 ? 4 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲 线的右支上,△ABC 是等边三角形,则△ABC 的面积为 ▲ .

1] ,则 A ? 9.已知定义在集合 A 上的函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 (2 x ? 1) ,其值域为 (??,





10.数列 {an } 中, a1 ? 0 ,a4 ? ?7 , ?n ? N* ,当 n≥2 时, (1 ? an )2 ? (1 ? an?1 )(1 ? an ?1 ) ,则数 列 {an } 的前 n 项和为 ▲ . ▲ 条件.

11.设实数 a ? 1 , b ? 1 ,则“ a ? b ”是“ ln a ? ln b ? a ? b ”成立的

(请用“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”中之一填空)
???? ? ???? ???? ??? ? A ? B C 12. 在△ABC 中, M, N 分别为边 AC, AB 的中点, 且 BM ? AC ? 2CN ? AB , 则 B B ? 45?, B C B A

的值为



.? ▲ .

13.已知实数 x,y,z 满足 x ? y ? z ? 0 , x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,则 z 的最大值是

14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 y ? x ? 2 与 x 轴, y 轴分别交于 M,N 两点,点 P 在圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 2 上运动.若 ?MPN 恒为锐角,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请 把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? π ? cos x ? π , g ( x) ? 2sin 2 x , x ? R . 2 6 3 (1)求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最小正周期和值域; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a ? 6 , f ( A) ? 3 3 , 5 求△ABC 面积的最大值.

? ?

? ?

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PC , BC ? 4 , AC ? 2 . M 为 BC 的中点, N 为 AC 上一点,且
MN ∥平面 PAB , MN ? 3 .

P

A
N

求证: (1)直线 AB ∥平面 PMN ; (2)平面 ABC ? 平面 PMN .

17. (本小题满分 14 分)
2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点与上顶点分别为 a b

A,B,椭圆的离心率为 3 ,且过点 1, 3 . 2 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)如图,若直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,直线 BQ ,AP 的斜率互为相反数. 求证:直线 l 的斜率为定值; y B P l

?

?

O Q
(第 17 题)

A

x

18. (本小题满分 16 分) 在一个边长为 1000 m 的正方形野生麋鹿保护区的正中央,有一个半径为 30 m 的圆形水 塘,里面饲养着鳄鱼,以提高麋鹿的抗天敌能力. (1)刚投放进去的麋鹿都是在水塘以外的任意区域自由活动.若岸上距离水塘边 1 m 以 内的范围都是鳄鱼的攻击区域,请判断麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性是否会超过 1‰ ,并说明理由; (2)现有甲、乙两种类型的麋鹿,按野生麋鹿活动的规律,它们活动的适宜范围平均每 只分别不小于 8000 m2 和 4500 m2 (水塘的面积忽略不计 ) .它们每只每年对食物的 ......... 需求量分别是 4 个单位和 5 个单位, 岸上植物每年提供的食物总量是 720 个单位. 若 甲、乙两种麋鹿每只的科研价值比为 3 : 2,要使得两种麋鹿的科研总价值最大,保 护区应投放两种麋鹿各多少只?

19. (本小题满分 16 分) 设数列{an}的各项都是正数,且对任意 n∈N*都有 a13+a23+a33+?+an3=Sn2+2Sn,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)求 a1,a2; (2)求数列{an}的通项公式; Sn+3 2 (3)bn= ,cn= a -1 ,试找出所有既在数列{bn}中又在数列{cn}中的项. Sn n 2 +an
an

20. (本小题满分 16 分) 对于函数 y ? f ( x) ,若存在开区间 D ,同时满足: ①存在 a ? D ,当 x ? a 时,函数 f ( x) 单调递减,当 x ? a 时,函数 f ( x) 单调递增; ②对任意 x ? 0 ,只要 a ? x, a ? x ? D ,都有 f (a ? x) ? f (a ? x) . 则称 y ? f ( x) 为 D 内的“勾函数” . (1)证明:函数 y ? ln x 为 (0,??) 内的“勾函数” . (2)对于给定常数 ? ,是否存在 m ,使函数 h( x) ?

1 3 1 2 2 ?x ? ? x ? 2?3 x ? 1 在 (m,??) 3 2

内为“勾函数”?若存在,试求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由.

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2015 年高考热身训练

数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

2015-6-2

1. 本试卷共 2 页,均为解答题(第 21 题-第 23 题) 。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分。 考试结束后,请将答题卡交回。 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答 题卡上,并用 2B 铅笔正确涂写考试号。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置 作答一律无效。如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。

21. 【选做题】本题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,每小题 10 分, 共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (本小题满分 10 分) 如图,⊙O 是三角形△ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使得 CD=AC,连结 AD 交⊙O 于点 E,连结 BE 与 AC 交于点 F,求证 BE 平分∠ABC. A E O B B. (本小题满分 10 分) 若二阶矩阵 M 满足: M ? (Ⅰ)求二阶矩阵 M ; (Ⅱ)若曲线 C : x ? 2 xy ? 2 y ? 1 在矩阵 M 所对应的变换作用下得到曲线 C ? ,求曲线
2 2

F C D

(第 21A 题图)

?1 2? ? 5 8? ??? ?. ?3 4? ? 4 6?

C ? 的方程.

C. (本小题满分 10 分) 已知点 P(?1 ? 2 cos? , 2 sin? ) (其中 ? ? ?0, 2? ?) ,点 P 的轨迹记为曲线 C1 ,以坐标原点为 极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 Q 在曲线 C2 : ? ?
1 2 cos(? ?

?
4

上.
)

(Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? 时,求曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标.

D. (本小题满分 10 分) 已知 a、b、c 均为正实数,且 a+b+c=1,求 a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1 的最大值.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答 ,解答 .......... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线 l 与 x 轴交于点 M ,
(x1,y1) 过点 M 的直线与抛物线交于 A, B 两点.设 A 到准线 l 的距离 d ? ? p ( ? ? 0 ) .

(1)若 y1 ? d ? 1 ,求抛物线的标准方程;
???? ? ??? ? (2)若 AM ? ? AB ? 0 ,求证:直线 AB 的斜率为定值.
l

y
B A
O

M

x

(第 22 题)

23. (本小题满分 10 分) 设 f (n) ? (a ? b)n ( n ? N* , n≥2 ) ,若 f (n) 的展开式中,存在某连续三项,其二项式 系数依次成等差数列,则称 f (n) 具有性质 P .

(1)求证: f (7) 具有性质 P ; (2)若存在 n ≤ 2015 ,使 f (n) 具有性质 P ,求 n 的最大值.

数学 I 参考答案与评分建议
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡 相应位置 ... .... 上 . . 1. {2} 2. ?4 10. n ? 2n ? 1 3. x ?2 11.充要 4. 91 5.0.5 6.36 7. 8.
12 3 9. (1,3 ] 2

12.? 2 2 ????? 13.?

6 ?????14. (??, ? 4) ? ( 7 ? 1, ? ?) 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文字 ....... 说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 解: ( 1 ) f ( x) ? sin x cos π +cos x sin π ? cos x cos π +sin x sin π ? 3 sin x , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 6 6 3 3 分
g ( x) ? 1 ? cos x ,

所以 y ? f ( x) ? g ( x) ? 3sin x ? cos x ?1 ? 2sin( x ? π) ?1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 6 分 所 以 所 求 的 最 小 正 周 期 为










· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ?1,3? .· (2)因为 f ( A) ? 3 sin A ? 3 3 ,所以 sin A ? 3 . 5 5 所
c A??4 . · o · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 5



当 cos A ? 4 时,因为 a ? 6 ,由余弦定理得, 36 ? b2 ? c 2 ? 8 bc≥ 2 bc , 5 5 5 所以 bc ≤ 90 .当且仅当 b ? c ? 3 10 时, bc 取得最大值, 所 以 △ABC 面 积
S











1 bc sin A ? 27 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2


Smax ? 3 ? 27 .

cos A ? ? 4 5













· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分











△ABC















27. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 15. (本小题满分 14 分) 证明: (1)因为 MN ∥平面 PAB , MN ? 平面 ABC , 平面 PAB ? 平面 ABC ? AB , 所以 MN ∥ AB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

因为 MN ? 平面 PMN , AB ? 平面 PMN , 所 以

AB







PMN . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(2)因为 M 为 BC 的中点, MN ∥ AB , 所 以
N



AC





点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 因为 BC ? 4 , AC ? 2 ,所以 MC ? 2 , NC ? 1 , 由于 MN ? 3 ,所以 MN 2 ? NC 2 ? MC 2 , 所
M ? N . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分



因为 PA ? PC , AN ? CN ,所以 PN ? AC , 又 MN,PN ? 平面 PMN , MN ? PN ? N , 所
P



AC

?





M N . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

因为 AC ? 平面 ABC , 所
P







ABC

?





M N .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (1) 总的活动面积 S ? 1000 ? 1000 ? π ? 302 ? 106 ? 900π( m 2 ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 分 受 到 攻 击 的 范 围

s?

π(312 ? 302 ) ? 61π

( m2 ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 设事件 A ? “麋鹿受到鳄鱼攻击” ,







鹿

















· · · · · · · · · · · · · · 6分 P( A) ? s ? 6 61π ? 0.000192 ? 1‰. · S 10 ? 900π (2)设两种麋鹿分别投放 x,y 只,科研总价值为 z ,则 约束条件为
?8 0 0 x 0? 4 5y0 ≤ 0 ? , 0 ?4 x ? 5y ≤ 7 2 ? * ? x,y ? N ,
16x+9y=2000 y

1 0, 00000 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
100

A(80,80)
4x+5y=720

目标函数为 z ? 3kx ? 2ky ,其中 k 为正常数. 作出可行域(如图) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分
O 100
(第 17 题)

x

将目标函数 z ? 3kx ? 2ky 变形为 y ? ? 3 x ? z , 2 2k

这是斜率为 ? 3 ,随 z 变化的一族直线, z 是直线在 y 轴上的截距, 2 2k 当 z 最大时, z 最大,但直线要与可行域相交. 2k 由 图 知 , 使 z ? 3kx ? 2ky 取 得 最 大 值 的 ( x,y) 是 两 直 线 4 x ? 5y ? 7 2 0 与
16 x ? 9 y ? 2000 80) , y ? 80 时, 的交点 (80, 即当 x ? 80 , z 取到最大值.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13

分 答: (1)麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性不会超过 1‰; ( 只. 2 ) 保 护 区 应 投 放 两 种 麋 鹿 各 80

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

18. (本小题满分 16 分)
2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点与上顶点分别为 A, a b

B, 椭圆的离心率为 3 ,且过点 1, 3 . 2 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)如图,若直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,直线 BQ ,AP 的斜率互为相反数. ① 求证:直线 l 的斜率为定值; ② 若点 P 在第一象限,设△ABP 与△ABQ 的面积分别为 S1,S2,求 y B

?

?

S1 的最大值. S2
l

P

O Q

A

x

解: (1)由题意,离心率 e ? c ? 3 ,所以 2c ? 3a ,所以 a 2 ? 4b 2 , a 2 故椭圆的方程为: x2 ? 4 y 2 ? 4b2 ,将点 1, 3 代入,求得 b 2 ? 1 , 2 所以椭圆的标准方程为: x ? y 2 ? 1 . ???????????????4 分 4 (2) ① 设直线 BQ 的方程为: y ? kx ? 1 , 则由题意直线 AP 的方程为: y ? ?k ( x ? 2) ,
? y ? kx ? 1 ? 由 ? x2 ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ? 0 , 2 ? y ?1 ? ?4
2

?

?

所以点 Q 的坐标为 ?

?

8k 1 ? 4k 2 , ?????????????6 分 , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 8k ? 2 4k , ?. ?1 ? 4k 1 ? 4k
2 2 2

?

同理可求得点 P 的坐标为

???????????8 分

1 ? 4k 2 ? 4k 2 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 4k ? 1 . ????10 分 所以直线 l 的斜率为: 1 ? 4k 1 ? 4 2 ?8k ? 8k 2 ? 2 2 ? 8k 2 ? 8k ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

② 设 P,Q 两点到直线 AB 的距离分别为 d1 ,d2 , 因为点 P 在第一象限,则点 Q 必在第三象限, 所以 k ?

1 ,且点 P,Q 分别在直线 AB: x ? 2 y ? 2 ? 0 的上,下两侧, 2

所以 xP ? 2 yP ? 2 ? 0 , xQ ? 2 yQ ? 2 ? 0 ,
xP ? 2 yP ? 2 5 8k 2 ? 2 ? 8k ? 2 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k , 5

从而 d1 ?

d2 ? ?

xQ ? 2 yQ ? 2 5

8k ? 2 ? 8k 2 ? 2 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k , ????????????12 分 5

8k 2 ? 2 8k ? ?2 S1 d1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 8k 2 ? 2 ? 8k ? 2(1 ? 4k 2 ) 2k ? 1 ? ? ? ? 所以 ,? 8k 2 ? 8k 2 S2 d 2 8k ? (2 ? 8k 2 ) ? 2(1 ? 4k 2 ) 4k 2 ? 2k ? ?2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

14 分

令 2k ? 1 ? t (t ? 0) , 则
S1 t t 1 1 ? 2k ? 1 ? ? ? ≤ ? 3? 2 2 , S2 4k 2 ? 2k (t ? 1) 2 ? t ? 1 t 2 ? 3t ? 2 t ? 2 ? 3 2 2 ? 3 t

S 当且仅当 t ? 2 ,即 t ? 2 ,即 k ? 2 ? 1 时, 1 有最大值为 3 ? 2 2 .??16 t 2 S2
分 19. (本小题满分 16 分) 解: (1)令 n=1,则 a13= S13+2S1,即 a13= a12+2a1,所以 a1=2 或 a1=-1 或 a1=0. 又因为数列{an}的各项都是正数,所以 a1=2. 令 n=2,则 a13+a23= S22+2S2,即 a13+a23=(a1+a2)2+2(a1+a2),解得 a2=3 或 a2=-2 或 a2=0. 又因为数列{an}的各项都是正数,所以 a2=3. (2)因为 a13+a23+a33+?+an3=Sn2+2Sn (1) (2)

所以 a13+a23+a33+?+an-13=Sn-12+2Sn-1(n≥2)

由(1)-(2)得 an3=( Sn2+2Sn)-(Sn-12+2Sn-1)=(Sn-Sn-1)( Sn+ Sn-1+2)=an( Sn+Sn-1+2), 因为 an>0,所以 an2=Sn+Sn-1+2 所以 an-12=Sn-1+Sn-2+2(n≥3) (3) (4)

由(3)-(4)得 an2-an-12=an+an-1,即 an-an-1=1(n≥3), 又 a2-a1=1,所以 an-an-1=1(n≥2). 所以数列{an}是一个以 2 为首项,1 为公差的等差数列. 所以 an=a1+(n-1)d=n+1. n(n+3) Sn+3 n(n+3)+6 2n 1 2a (3)Sn= ,所以 bn= = ,cn= a -1 = n . 2 Sn n(n+3) 2 +an 2 +n+1

n n

不妨设数列{bn}中的第 n 项 bn 和数列{cn}中的第 m 项 cm 相同,则 bn=cm. 即
o

n(n+3)+6 2m 1 2m-m-1 6 = m ,即 = m . n(n+3) 2 +m+1 n(n+3) 2 +m+1


2m-m-1 6 1 1 若 m = ≥ ,则 n2+3n-18≤0,所以 1≤n≤3, 2 +m+1 n(n+3) 3 2m-m-1 3 n=1 时, m = ,无解; 2 +m+1 2 2m-m-1 3 n=2 时, m = ,即 5· 2m-5m-5=3· 2m+3m+3, 2 +m+1 5 所以 2m=4m+4,m=1,2,3,4 时 2m<4m+4;m≥5 时,令 f(m)=2m-4m-4,则 f(m+1)-f(m)

=2m-4>0,所以 f(m)单调增,所以 f(m)≥f(5)=8>0,所以 2m=4m+4 无解; 2m-m-1 1 n=3 时 m = ,即 2m=2m+2, 2 +m+1 3 m=1,2 时,2m<2m+2; m=3 时,2m=2m+2; m=4 时,2m>2m+2; m≥5 时,2m>4m+4>2m+2. 所以,m=3,n=3. 2o 若 2m-m-1 6 1 = < ,即 2m<2m+2. 2m+m+1 n(n+3) 3

由 1 ?知,当 m≥3 时,2m≥2m+2。 因此,当 2m<2m+2 时,m=1 或 2. 6 当 m=1 时, =0 无解, n(n+3) 6 1 当 m=2 时, = 无解. n(n+3) 7 4 综上即在数列{bn}中又在数列{cn}中的项仅有 b3=c3= . 3 20. (本小题满分 16 分) 证明: (1)①存在 a ? 1 ,当 x ? (0,1), f ( x) ? ? ln x 为减函数, 当 x ? (1,??), f ( x) ? ln x 为增函数; ②对任意 x ? 0 ,当 1 ? x ? 0 时, f (1 ? x) ? ln( 1 ? x) ? ? ln(1 ? x),

f (1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x).
所以 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? ? ln( 1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? ln(1 ? x ) ? 0,
2

即 f (1 ? x) ? f (1 ? x). 所以函数 y ? ln x 为 (0,??) 内的“勾函数” . (2)①当 ? ? 0 时, h( x ) ? 1 ,不存在 m 使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数” ;
' 2 2 3 ②当 ? ? 0 时, h ( x) ? ?x ? ? x ? 2? ? ? ( x ? ? )(x ? 2? ).

当 x ? (2? ,?? ) 时, h ( x) ? 0 , h( x) 为增函数;
'

当 x ? (?? ,??) 时, h ' ( x) ? 0 , h( x) 为减函数, 因此不存在 m 及常数 x 0 ,使函数 h( x) 在 (m, x0 ) 为减函数,同时在 ( x0 ,??) 为增函数. 所以不存在 m 使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数”. ③当 ? ? 0 时, h( x) 在 (?? ,2? ) 为减函数,在 (2? ,??) 为增函数. 当 m ? [?? ,2? ) , 则在 ( m,??) 上存在 a ? 2? , 使 h( x) 在 ( m, a ) 内为减函数, 在 (a,??) 内为增函数. 当 x ? 0 , a ? x, a ? x ? (m,??) 时, 因为 h(a ? x) ? h(a ? x)

1 1 ? ?[( 2? ? x)3 ? (2? ? x)3 ] ? ?2 [( 2? ? x) 2 ? (2? ? x) 2 ] ? 2?3 [( 2? ? x) ? (2? ? x)] 3 2 2 ? ? ?x 3 ? 0. 所以 h(a ? x) ? h(a ? x) . 3
所以也不存在 m 使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数”. 综上所述,不论常数 ? 取何值,都不存在 m ,使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数”.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 题卡指定区域内作答 ,解答 . ......... 时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线 l 与 x 轴交于点 M ,
(x1,y1) 过点 M 的直线与抛物线交于 A, B 两点.设 A 到准线 l 的距离 d ? ? p ( ? ? 0 ) .

(1)若 y1 ? d ? 1 ,求抛物线的标准方程;
???? ? ??? ? (2)若 AM ? ? AB ? 0 ,求证:直线 AB 的斜率为定值.

l

y
B A
O

M

p 解: (1)由条件知, A(1 ? , 1) , 2 代入抛物线方程得 p ? 1 .
所以抛物线的方程为 y 2 ? 2 x .?????????4 分
p (x2,y2) (2)设 B ,直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? ) . 2

x

(第 22 题)

将直线 AB 的方程代入 y 2 ? 2 px ,消 y 得 k 2 x2 ? p(k 2 ? 2) x ? 所以 x1 ?

k 2 p2 ?0, 4

? p (k 2 ? 2) ? 2 p 1 ? k 2 ? p(k 2 ? 2) ? 2 p 1 ? k 2 , x2 ? . ?????6 分 2 2k 2k 2

因为 d ? ? p ,所以 x1 ?

p ? ?p, 2

???? ? ??? ? p 又 AM ? ? AB ? 0 ,所以 x1 ? ? ? ( x2 ? x1 ) , 2

所以 p ? x2 ? x1 ?

2p 1? k2 ,????????????????????8 分 k2

所以 k 2 ? 2 2 ? 2 , 所以直线 AB 的斜率为定值. 分 23. (本小题满分 10 分) 设 f (n) ? (a ? b)n ( n ? N* , n≥2 ) ,若 f (n) 的展开式中,存在某连续三项,其二项式 系数依次成等差数列,则称 f (n) 具有性质 P . (1)求证: f (7) 具有性质 P ; (2)若存在 n ≤ 2015 ,使 f (n) 具有性质 P ,求 n 的最大值. 解: (1) f (7) 的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别
1 ? 7 , C72 ? 21 , C73 ? 35 , 为 C7 1 1 ? C73 ? 2C72 ,即 C7 ,C72,C73 成等差数列, 因为 C7

??????????????????? 10

所以 f (7) 具有性质 P .??????????????????????4 分 (2)设 f (n) 具有性质 P , 则存在 k ? N* , 1 ≤ k ≤ n ? 1 ,使 Cnk ?1,Cnk,Cnk ?1 成等差数列, 所以 Cnk ?1 +Cnk ?1 =2Cnk . 整理得, 4k 2 ? 4nk ? (n2 ? n ? 2) ? 0 , ???????????????7 分 即 (2k ? n)2 ? n ? 2 ,所以 n ? 2 为完全平方数. 又 n ≤ 2015 ,由于 442 ? 2015 ? 2 ? 452 , 所以 n 的最大值为 442 ? 2 ? 1934 ,此时 k ? 989 或 945. ???????10 分


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