浙江省湖州中学2013-2014学年高一第一学期期中考试数学试题

浙 江 省 湖 州 中 学 2013-2014 学 年 高 一 第 一 学 期 期中考试数学试题
考生须知:
1. 全卷分试卷和答卷。试卷 1 页,答卷 2 页,共 3 页。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 2. 本卷的答案必须做在答卷的相应位置上,做在试卷上无效;选择题用答题卡的,把答案用 2B 铅笔填涂 在答题卡上。 3. 请用钢笔或圆珠笔将班级、准考证号、姓名、座位号分别填写在答卷的相应位置上。 本卷命题教师:胡春香





一、选择题 (本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最 符合题目要求的。 ) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | x ? 0?, B ? ?x | x ? 1?, 则 A ? ?CU B ? ? ( ▲ ) A.

?x | 0 ? x ? 1?

B.

?x | 0 ? x ? 1?
3

C.

?x | x ? 0?
2

D.

?x | x ? 1?
?x

2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( ▲ ) A. y ? x ? 1 B. y ? x C. y ? ? x ? 1 D. y ? 2 3. 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 M ? ?x | ?2 ? x ? 2?, 值域为 N ? ?x | 0 ? y ? 2?, 则函数 y ? f ( x) 的图象可能是( ▲ )

4.已知幂函数 f ? x ? 的图像经过 ?9,3? ,则 f ?2? ? f ?1? =( ▲ ) A. 3 B. 1 ? 2 C. 2 ? 1
?1

D.1

? 5.设 x ? ? log 1 ? ? 2
A. ?? 2,?1?

? 1? ? ? ? log 1 ? 3? ? ? 5

?1

1? ? ,则 x 属于区间( ▲ ) 3? ?
C. ?? 3,?2 ? D. ?2,3?

B. ?1,2 ?
x

6. 函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点所在的区间是( ▲ ) A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

B. ? ,1?
0.5 1

?1 ? ?2 ?

C. ?1,2 ?

D. ?2,3?

?1? 7 . 若 a ? log 3 0.5, b ? ? ? , c ? 2 3 ,则( ▲ ) ?3?
A. c ? a ? b B.

c?b?a

C.

a?b?c

D. b ? a ? c

8. 函数 f ( x) ? log a (6 ? ax) (a ? 0且a ? 1) 在 ?0,2?上为减函数,则实数 a 的取值范围是( ▲ )

A. ?0,1?

B. ?1,3?

C. ?1,3?

D. ?3,???

9. 若对任意的 x ? R ,函数 f ( x) 满足 f ?x ? 2013? ? ? f ?x ? 2012? ,且 f ?2013? ? ?2013 ,则

f ?0? ? ( ▲ )
A. 1 B. ? 1
2

C. 2013

D. ? 2013

10.已知函数 f ?x ? ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的零点为 x1 , x2 ?x1 ? x2 ? ,函数 f ( x) 的最小值为 y 0 , 且 y 0 ? ?x1 , x2 ? ,则函数 y ? f ? f ?x ?? 的零点个数是( ▲ ) A. 3 二、填空题 B. 4 C. 3 或 4 D. 2 或 3

11.函数 f ?x ? ? 1 ? log 2 x 的定义域为 ▲ . 12. 已知函数 f ( x) ? 3 ? a 13. 已知函数 f ( x) ? ?
x?2

(a ? 0, 且a ? 1) 的图象必过定点 P ,则 P 点的坐标为 ▲ .
▲ .

? x ? 3, x ? 0 ,则 f ? f ?? 2?? ? ?ln x, x ? 0

14 .已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 4? , B ? ? x | 2a ? x ? a ? 3? , 若 B ? A ,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 15.函数 f ?x ? ? log 0.5 8 ? 2 x ? x

?

2

? 的单调递增区间是

▲ .

16.若 a 为常数,且函数 f ? x ? ? lg ?

? 2x ? ? a ? 是奇函数,则 a 的值为 ▲ . ?1? x ?

17. 在计算机的算法语言中有一种函数 ?x ? 叫做取整函数(也称高斯函数) ,表示不超过 x 的最大整 数,例如 ?2? ? 2, ?3.3? ? 3, ?? 2.4? ? ?3, 设函数 f ( x) ?

2x 1 ? , 则函数 y ? ? f ?x ?? ? ? f ?? x ??的值 x 2 1? 2

域为 ▲ . 三、解答题(本大题共 5 小题,其中 18 至 20 题每小题 14 分,第 21、22 题 15 分,共 72 分。解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? x , 2 x ? 1, ? 4 , B ? ?x ? 5, 1 ? x, 9?, C ? ?x | mx ? 1?,且 A ? B ? ?9?.
2

?

?

(Ⅰ)求 A ? B ; (Ⅱ)若 C ? ? A ? B ? ,求实数 m 的值.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ? log a ?1 ? x ? ? log a ?1 ? x ? ?a ? 0, a ? 1? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的定义域; (Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的奇偶性,并说明理由; (Ⅲ)求使 f ?x ? ? 0 的 x 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ?x ? ? mx ? mx ? 1 ?m ? R ? .
2

(Ⅰ)若对一切实数 x , f ?x ? ? 0 恒成立,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若对于 x ? ?? 2,2? , f ?x ? ? ?m ? 5 恒成立,求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 15 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ?

?2 x ? a

2x ? 1

是奇函数.

(Ⅰ)求 a 值; (Ⅱ)判断并证明该函数在定义域 R 上的单调性; (Ⅲ)设关于 x 的函数 F ( x) ? f (4 ? b) ? f (?2
x x ?1

) 有零点,求实数 b 的取值范围.

22. (本小题满分 15 分) 已知集合 M 是同时满足下列两个性质的函数 f ( x) 组成的集合: ① f ( x) 在其定义域上是单调增函 数或单调减函数;②在 f ( x) 的定义域内存在区间,使得 f ( x) 在 [a, b] 上的值域是 ? a, b? . 2 2 (Ⅰ)判断函数 f ( x) ? (Ⅱ)若函数 f ( x) ?

?1 ?

1 ? ?

x 是否属于集合 M ?若是,则求出 a, b, 若不是,说明理由; x ? 1 ? t ? M , 求实数 t 的取值范围.

浙 江 省 湖 州 中 学 2013 学年第一学期高一期中考试 数学答卷(答案)
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最 符合题目要求的) 题号 答案

1 B

2

3 B

4 C

5 D

6 A

7 C

8 B

9 C

10 D

A

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.____ ?0,2? _________. 14. 12.___ ?? 2,4? ________. 15.__ ?1,4 ? __.(开区间也正确) 13.______ 0 ______. 16.____ ? 1 ______.

? 1 ? ?? 2 ,1? ? ?3,?? ? . ? ?

17.______ ?? 1,0? _________

三、解答题(本大题共 5 小题,其中 18 至 20 题每小题 14 分,第 21、22 题 15 分,共 72 分。解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.解(Ⅰ)由 A ? B ? ?9?得 9 ? A, 可得 x ? 9或2 x ? 1 ? 9,? x ? ?3或x ? 5
2

当 x ? 3 时, A ? ?9,5,?4?, B ? ?? 2,?2,9?,故舍去; 当 x ? ?3 时, A ? ?9,?7,?4?, B ? ?? 8,4,9?,? A ? B ? ?9?满足题意; 当 x ? 5 时, A ? ?25,9,?4?, B ? ?0,?4,9?,? A ? B ? ?? 4,9?,不满足题意,故舍去.

? A ? B ? ?? 8,?7,?4,4,9?
(Ⅱ)当 C ? ? 时,得 m ? 0 ; 当 C ? ? 时,得 m ?

1 ; 9

? m ? 0或m ?
19.解(Ⅰ)? ?

1 . 9

?1 ? x ? 0 ,? ?1 ? x ? 1 ,函数的定义域为 ?? 1,1? . ?1 ? x ? 0

(Ⅱ)?函数的定义域关于原点对称 且 f ?? x ? ? log a ?1 ? x ? ? log a ?1 ? x ? ? ? f ?x ? ,? f ?x ? 为奇函数. (Ⅲ)? f ?x ? ? 0,? log a ?1 ? x ? ? log a ?1 ? x ?

当 0 ? a ? 1 时, 1 ? x ? 1 ? x,? ?1 ? x ? 0; 当 a ? 1 时, 1 ? x ? 1 ? x,? 0 ? x ? 1. 20.解(Ⅰ)当 m ? 0 时, ? 1 ? 0 恒成立,符合; 当 m ? 0 时, ?

?m ? 0

,? ?4 ? m ? 0 , 2 ?? ? m ? 4 m ? 0

? ?4 ? m ? 0
(Ⅱ) mx 2 ? mx ? 1 ? ?m ? 5,? m x 2 ? x ? 1 ? 6,? x 2 ? x ? 1 ? 0,? m ? 即求 g ?x ? ?

?

?

6 x ? x ?1
2

6 6 x ? ?? 2,2? 的最小值,? m ? . 7 x ? x ?1
2

21. 解(Ⅰ)? f ?x ? 的定义域为 R 且为奇函数,? f ?0? ? 0 ,解得 a ? 1 ,经检验符合. (Ⅱ)? f ?x ? ?

? 2x ?1 2 , f ? x ? 在 R 上位减函数 ? ?1 ? x x 2 ?1 2 ?1
2 2 ? 2 2 x2 ? 2 x1 ? ? ? 1 ? ? ? 0, ? ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ? 1 ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1

证明:设 x1 ? x2 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? ?1 ?

?

?

??

?

?

? f ?x ? 在 R 上位减函数.
(Ⅲ)? F ?x ? ? 0,? f 4 ? b ? f ? 2
x

?

? ?

x ?1

? ? 0,? f ?4
x ?1 2

x

? b ? f 2 x ?1

?

? ?

即4 ?b ? 2
x

x ?1

有解,? b ? 4 ? 2
x

? ?2 x ? ? 2 ? 2 x ? ?1

22. 解(Ⅰ)①? f ?x ? ?

x在?0,?? ? 上为增函数;

1 ? f ?a ? ? a ? a ? ? 2 ②假设存在区间 ?a, b?,? ? , 1 ? f ?b ? ? b ? b ? 2 ?
? a, b 是方程 x ?

1 x 的两个不同的非负根,? a ? 0, b ? 4 , 2

? f ?x ? ? x 属于 M,且 a ? 0, b ? 4 .
(Ⅱ)①? f ?x ? ?

x ? 1 ? t在?1,?? ? 上为增函数,

1 ? ? ? f a ? a ? 1 ? t ? a ? ? 2 ②设区间 ?a, b?,? ? , 1 ? f ?b ? ? b ? 1 ? t ? b ? 2 ?

? a, b 是方程 x ? 1 ? t ?
令m ?

1 x 的两个不同的根,且 b ? a ? 1 , 2

x ?1

?m ? 0?

?m ? t ?

1 2 m ? 1 ,? m 2 ? 2m ? 1 ? 2t ? 0 有两个不同的非负实根, 2

?

?

?? ? 0 1 ? ? ?m1 ? m 2 ?? 0,? 0 ? t ? . 2 ?m ? m ? 0 ? 1 2


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