2015届高考数学一轮必备考情分析学案:7.4《基本不等式》(含解析)

7.4 基本不等式 考情分析 基本不等式的应用是高考考查的重点,包括利用基本不等式解决函数的最大 (小)值问题和简单的证明问题,基本不等式在高考中,还会与几何、函数、数 列、 倒数、 三角等知识相结合。 其作用在于求最值, 往往在解答题中体现的较多。 基础知识 1.重要不等式:如果 a、b∈R,那么 a 2+b 2 ≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号) a +b 2.定理:如果 a,b 是正数,那么 2 ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号) 3、常用不等关系:ab≤ 注意事项 1.运用公式解题时, 既要掌握公式的正用, 也要注意公式的逆用, 例如 a2+b2≥2ab a2+b2 a+b ?a+b?2 ? (a,b>0)等.还 逆用就是 ab≤ 2 ; 2 ≥ ab(a,b>0)逆用就是 ab≤? ? 2 ? 要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. a2+b2 ?a+b?2 ? ≥ab(a,b∈R,当且仅当 a= b 时取等号); 2.(1) 2 ≥? ? 2 ? (2) a2+b2 a+b 2 ≥ ≥ ab ≥ 2 2 1 1(a>0,b>0,当且仅当 a=b 时取等号). a+b a 2 ? b2 a?b 2 , ab ? ( ) 2 2 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 3(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三 相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基 本不等式中 “正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存 在且一致. [来源:www.shulihua.net] 题型一 利用基本不等式求最值 【例 1】 若向量 a=(x-1,2), b=(4, y)相互垂直, 则 9x+3y 的最小值为( 源:www.shulihua.net] ) [来 A. 12 C. 3 2 B. 2 3 D. 6 答案:D 解析: 依题意得 4(x - 1) + 2y = 0 ,即 2x + y = 2,9x + 3y = 32x + 3y≥2 32x×3y = 2 32x+y=2 32=6,当且仅当 2x=y=1 时取等号,因此 9x+3y 的最小值是 6,选 D. 【变式 1】 (1)已知 x>1,则 f(x)=x+ 1 的最小值为________. x-1 [来源:www.shulihua.net] 2 (2)已知 0<x<5,则 y=2x-5x2 的最大值为________. (3)若 x,y∈(0,+∞)且 2x +8y-xy=0,则 x+y 的最小值为________. 解析 (1)∵x>1, ∴f(x)=(x-1)+ 1 +1≥2+1=3 x-1 当且仅当 x=2 时取等号. 1 (2)y=2x-5x2=x(2-5x)=5· 5x· (2-5x), 2 ∵0<x<5,∴5x<2, 2-5x>0, ?5x+2-5x?2 ? =1, ∴5x(2-5x)≤? 2 ? ? 1 ∴y≤5,当且仅当 5x=2-5x, 1 1 即 x=5时,ymax=5. (3)由 2 x+8y-xy=0,得 2x+8y=xy, 2 8 ∴y+x=1, 8y 2x ?8 2? ∴x+y=(x+y)?x+y ?=10+ x + y ? ? ?4y x? =10+2? x +y?≥10+2×2× ? ? 4y x ·=18, x y 4y x 当且仅当 x =y,即 x=2y 时取等号, 又 2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6, ∴当 x=12,y=6 时,x+y 取最小值 18. 答案 (1)3 1 (2)5 (3)18 题型二 利用基本不等式证明不等式 【例 2】已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 1 1 (1)a+b+ab≥8; 1 1 (2)(1+a)(1+b)≥9. 1 1 1 1 1 a+b 1 1 证明:(1)a+b+ab=a+b+ ab =2(a+b), ∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 a+b a+b a b ∴a+b= a + b =2+b +a≥2+2=4, 1 1 1 1 ∴a+b+ab≥8(当且仅当 a=b=2时等号成立) . (2)方法一 ∵a>0,b>0,a+b=1, a+b 1 b ∴1+a=1+ a =2+a, 1 a 同理,1+b=2+b, 1 1 ∴(1+a)(1+b) b a =(2+a)(2+b) b a =5+2(a+b)≥5+4=9. 1 1 1 ∴(1+a)(1+b)≥9(当且仅当 a=b=2时等号成立). 方法二 1 1 1 1 1 1 1 1 (1+a)(1+b)=1+a+b+ab.由(1)知,a+b+ab≥8, 1 1 1 1 1 故(1+a)(1+b)=1+a+b+ab≥9. 【变式 2】 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证:a+b+ c≥9. 证明 ∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+ c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c+c ?b a? ? c a? ? c b? =3+ ?a+b?+?a+c?+?b+c? ? ? ? ? ? ? ≥3+2+2+2=9, 1 当且仅当 a=b=c=3时,取等号. 题型三 利用基本不等式解决恒成立问题 x 【例 3】若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 x x 解析 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立, 只需求得 y= 2 的最大值即 x +3x+1 x +3x+1 可,因为 x>0,所以 y= x = x2+3x+1 1 ≤ 1 x+x +3 2 1 1 =5,当且仅当 x=1 时取 1

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