【金版学案】2016高考数学理科二轮复习习题:专题4第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明


专题四
第二讲

不等式

线性规划、基本不等式与不等式的证明

线性规划问题的解题步骤为: 1.设出变量 x,y,列出变量 x,y 的线性约束条件,确定目标 函数. 2.作出可行域和目标函数值为 0 的直线 l. 3.利用直线 l 确定最优解对应的点,从而求出最优解.

1.基本不等式:

a+b ≥ 2

ab.

(1)基本不等式成立的条件:a,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. (3)应用:两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.两个正 数的和为常数时,它们的积有最大值. 2.几个重要的不等式. (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). b a (2) + ≥2(a 与 b 同号). a b

1

1 1 (3)a+ ≥2(a>0),a+ ≤-2(a<0). a a
?a+b?2 ? (a,b∈R). (4)ab≤? ? 2 ?

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax+By+C =0 的上方.(×) (2)不等式 x2-y2<0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和 二、四象限角的平分线围成的含有 y 轴的两块区域.(√)

(3)不等式组 分.(×)

表示的平面区域是如图所示的阴影部

(4) 线 性 目 标 函数取 得 最 值 的 点 一定 在 可 行 域 的 顶点 或 边 界 上.(√)
2

1 (5)若 a>0,则 a3+ 2的最小值为 2 a.(×) a (6)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).(√)

1.设 x,y 满足 A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值

则 z=x+y(B)

D.既无最小值,也无最大值 解析:画出不等式表示的平面区域,如图,由 z=x+y,得 y= -x+z,令 z=0,画出 y=-x 的图象,当它的平行线经过 A(2,0) 时,z 取得最小值,最小值为 z=2,无最大值.故选 B.

3

2.(2015· 天津卷)设变量 x,y 满足约束条件 目标函数 z=x+6y 的最大值为(C) A.3 B.4 C.18 D.40



解析:由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

作直线 x+6y=0 并向右上平移,由图可知,过点 A(0,3)时 z= x+6y 取得最大值,最大值为 18. 2 3.若 x>0,则 x+ 的最小值为 2 2. x 2 2 解析:∵x>0?x+ ≥2 2,当且仅当 x= ?x= 2时取等号. x x 4.(2015· 天津卷)已知 a>0,b>0,ab=8,则当 a 的值为 4 时, log2a·log2(2b)取得最大值. 8 解析:由于 a>0,b>0,ab=8,所以 b= . a
?16? 所以 log2a· log2(2b)=log2a· log2? a ?=log2a· (4-log2a)=-(log2a ? ?
4

-2)2+4, 当且仅当 log2a=2,即 a=4 时,log2a·log2(2b)取得最大值 4.

一、选择题 1.若 f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则有(A) A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x) C.f(x)<g(x) D.不能确定 f(x)与 g(x)的大小关系 解析:∵f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0. ∴f(x)>g(x). x y 2.(2015· 福建卷)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a a b +b 的最小值等于(C) A.2 B.3 C.4 D.5 1 1 x y 解析:将(1,1)代入直线 + =1,得 + =1,a>0,b>0, a b a b 1 1 b a 故 a+b=(a+b)( + )=2+ + ≥2+2=4, 等号当且仅当 a=b a b a b 时取到,故选 C. 3.若 a>b>0,c<d<0,则一定有(B)
5

a b a b A. > B. < d c d c a b a b C. > D. < c d c d 1 1 解析:∵c<d<0,∴-c>-d>0,- >- >0.又 a>b>0, d c a b a b ∴- >- >0,∴ < .故选 B. d c d c 4.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为(A) A.(-∞,-1]∪[4,+∞) C.[1,2] B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.(-∞,1]∪[2,+∞)

解析:因为-4≤|x+3|-|x-1|≤4,对|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对 任意 x 恒成立,所以 a2-3a≥4,解得 a≥4 或 a≤-1. x-y≤0, ? ? 5.(2015· 北京卷)若 x,y 满足?x+y≤1,则 z=x+2y 的最大值 ? ?x≥0, 为(D) A.0 B.1 C. 3 D.2 2

解析:作出不等式组所表示的平面区域,如下图.

6

作直线 x+2y=0,向右上平移,当直线过点 A(0,1)时,z=x+ 2y 取最大值,即 zmax=0+2×1=2. 6. (2014· 福建卷)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方 体容器,已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平 方米 10 元,则该容器的最低总造价是(C) A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元

4 解析:设长方体底面边长分别为 x,y,则 y= ,所以容器总造 x
? 4? 价为 z= 2(x+ y)×10+ 20xy= 20?x+x? + 80,由基本不等式得, z= ? ? ? 4? 20?x+x?+80≥160,当且仅当底面为边长为 2 的正方形时,总造价 ? ?

最低.故选 C. 二、填空题 7.若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2 的最小值为 2 2. 解析:x2+2y2≥2 x2·2y2=2 2· (xy)2=2 2.当且仅当 x2 =2y2 时等号成立.

7

x-1≥0, ? ? y 8. (2015· 新课标Ⅰ卷)若 x, y 满足约束条件?x-y≤0, 则 的 x ? ?x+y-4≤0, 最大值为 3. y 解析:画出可行域如图阴影所示,∵ 表示过点(x,y)与原点(0, x 0)的直线的斜率,

y ∴ 点(x,y)在点 A 处时 最大. x
? ? ?x=1, ?x=1, 由? 得? ?x+y-4=0, ? ?y=3. ?

∴ A(1,3). ∴ y 的最大值为 3. x

三、解答题 9. 若对一切 x>2 均有不等式 x2-2x-8≥(m+2)x-m-15 成立, 求实数 m 的取值范围. 解析:由 x2-2x-8≥(m+2)x-m-15, 得 x2-4x+7≥m(x-1),

8

x2-4x+7 ∴对一切 x>2 均有不等式 ≥m 成立. x-1 x2-4x+7 ∴m 应小于或等于 f(x)= (x>2)的最小值. x-1 x2-4x+7 4 又 f(x)= =(x-1)+ -2≥ x-1 x-1 2 4 (x-1)· -2=2, x-1 4 ,即 x=3 时等号成立. x-1

当且仅当 x-1=

∴f(x)min=f(3)=2. 故 m 的取值范围为(-∞,2]. 10. 某居民小区要建造一座八边形的休闲小区, 它的主体造型的 平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的,是面积为 200 平方米的十字形地带.计划在正方 MNPQ 上建一座花坛,造价是每 平方米 4 200 元,在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地 坪,造价是每平方米 210 元,再在四个空角上铺上草坪,造价是每平 方米 80 元. (1)设总造价是 S 元,AD 长为 x 米,试建立 S 关于 x 的函数关系 式; (2)当 x 为何值时,S 最小?并求出最小值.

9

解析:(1)设 AM=y,则 x2+4xy=200. ∴y= 50 x - . x 4

1 1 ∴S=4 200x2+210×4×xy+80×4× y2=4 000x2+4×105× 2 2 x +38 000(x>0). 1 (2)S=4 000x2+4×105× 2+38 000≥ x 2 4 000x2× 400 000 +38 000=118 000, x2

当且仅当 x= 10时等号成立, 即 x= 10米时,S 有最小值 118 000 元.

10


相关文档

2016届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件4.2线性规划、基本不等式与不等式的证明
【金版学案】高考数学二轮复习 专题4 不等式 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明课件 文
【金版学案】2016高考数学理科二轮复习课件:专题4第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明
2016高考数学二轮复习 专题4 不等式 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明 文
2016高考数学理科二轮复习习题:专题4第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明
2015高考数学(文)二轮专题复习课件:专题四_第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明
【金版学案】2015高考数学(理)二轮专题复习作业:专题四 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明]
【金版学案】2015高考数学(文)二轮专题复习作业:专题四 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明]
2016高考数学二轮复习 专题4 不等式 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明配套作业 文
2016高考数学理科二轮复习课件:专题4第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明
电脑版