华师一2011届高三第二轮复习专题讲座(导数及其应用)第一讲:导数(一)

课 题: 导数(一) 一、教学内容与教学目标
1. 导 数 ( 15 课 时 ) 导数的背景。导数的概念。多项式函数的导数。 利用导数研究函数的单调性与极值,函数的最大值与最小值。 利用导数研究简单实际问题的最大值与最小值。 微积分建立的时代背景和历史意义。 2. 教 学 目 标 ( 1) 通 过 丰 富 的 实 际 材 料 体 验 导 数 概 念 的 背 景 。 ( 2) 理 解 导 数 是 平 均 变 化 率 的 极 限 ; 理 解 导 数 的 几 何 意 义 。 ( 3) 掌 握 函 数 y=Asin(ωx+φ)的 导 数 公 式 , 会 求 多 项 式 函 数 的 导 数 ( 4)理 解 极 大 值 、极 小 值 、最 大 值 、最 小 值 的 概 念 ,并 会 用 导 数 求 多 项 式 函 数 的 单 调 区 间 、 极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。 ( 5)通 过 解 决 科 技 、经 济 、社 会 中 的 某 些 简 单 实 际 问 题 ,体 验 导 数 求 最 大 值 与 最 小 值 应 用 。 ( 6)通 过 介 绍 微 积 分 建 立 的 时 代 背 景 和 过 程 ,了 解 微 积 分 科 学 价 值 、文 化 价 值 及 基 本 思 想 。

二、典例解析
例 1 已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两曲 2

线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同. (I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) .

解: (Ⅰ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同. ∵ f ?( x) ? x? 2 a ,

?1 2 2 ? 2 x0 ? 2ax0 ? 3a ln x0 ? b, 3a 3a 2 ? g ?( x) ? , 由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) . ? 即 由 x0 ? 2a ? 2 x x0 ? x0 ? 2a ? 3a , ? x0 ?
2

得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) .即有 b ? 令 h(t ) ?

1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a . 2 2
. 于是当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 , 0 ? t ? e 3 时,h?(t ) ? 0 ; 即
1

5 2 t ? 3t 2 ln t (t ? 0) , h?() ? t 3 ? t 1 l 则 t 2( n ) 2

1 1 ? ? ? 1 ? t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 .故 h(t ) 在 ? 0,e 3 ? 为增函数,在 ? e 3, ∞? 为减函数, 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 ? ? ? ? ?

? 于是 h(t ) 在 (0, ∞) 的最大值为 h ? e 3 ? ?

? ?

1

? ?

3 2 e3 . 2

(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F ?( x) ? x ? 2a ?

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) , 2

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) .故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a, ∞) 为增函数, ? x x
第一讲 导数(一) 1

于是函数 F ( x) 在 (0, ∞) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 .故当 x ? 0 时, ? 有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) . 例 2 设 x ? 3 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e3? x ( x ? R) 的一个极值点。 (Ⅰ) 、求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x ) 的单调区间;
2 (Ⅱ) 、设 a ? 0 , g ( x) ? ( a ?

25 x )e 。若存在 ?1 , ?2 ?[0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1成立,求 a 的取值 4

范围。 解: (Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3 x,由 f `(3)=0,-[32+(a-2)3+b-a ]e3 3=0,b=-3 -2a,f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3 x=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3 x=-(x-3)(x+a+1)e3 x. 令 f `(x)=0,得 x1=3 或 x2=-a-1,由于 x=3 是极值点,所以 x+a+1≠0,那么 a≠-4. 当 a<-4 时,x2>3=x1,则在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;在区间(3,―a―1) 上,f `(x)>0,f (x)为增函数;在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数。 当 a>-4 时,x2<3=x1,则在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;在区间 (―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a>0 时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那 么 f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],而 f (0)=-(2a+3)e3<0, f (4)=(2a+13)e 1>0,f (3)=a+6,那么 f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6]. 又 g ( x) ? (a ?
2
- - - - - -

25 25 25 x )e 在区间[0,4]上是增函数,且它在区间[0,4]上的值域是[a2+ , 2+ (a )e4], 4 4 4

1 25 1 25 )-(a+6)=a2-a+ =( a ? )2≥0,所以只须仅须(a2+ )-(a+6)<1 且 2 4 4 4 3 3 a>0,解得 0<a< .故 a 的取值范围是(0, ) 。 2 2
由于(a2+ 例3
3 2 已知函数 f(x)= ax ? bx ? cx ? d ,其中 a , b , c 是以 d 为公差的等差数列,且 a>0,

1 3

d>0.设 x0为f ( x)的极小值点, 在[1-

2b ,0 ]上, f ' ( x)在x1处取得最大植,在 x2处取得最小值。 a

将点 x0 , f ( x0 )),( x1 , f ' ( x1 )),( x2 , f ' ( x2 , f ( x2 ))依次记为A, B, C。 ( (I) 求 xo的值 ; (II) 若⊿ABC 有一边平行于 x 轴,且面积为 2 ? 3 ,求 a ,d 的值

2 2 解:(I) ? 2b ? a ? c ,? f ?( x) ? ax ? 2bx ? c ? ax ? (a ? c) x ? c ? ( x ? 1)(ax ? c) ,

第一讲

导数(一)

2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1或x ? ?

c c c c ,? a ? 0, d ? 0,? 0 ? a ? b ? c, ? ? 1, ? ? ?1 ,当 ? ? x ? ?1 时, a a a a

f ?( x) ? 0 ; 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在 x=-1 处取得最小值即 xo ? ?1 。
(II) ? f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c(a ? 0) ? f ?( x) 的图像的开口向上,对称轴方程为 x ? ?

b b ,由 ? 1 知 a a

| (1 ?
又由

2b b b 2b ) ? ( ? ) |?| 0 ? ( ? ) | ? f ?( x) 在 [1 ? , 0] 上的最大值为 f ?(0) ? c ,即 x1 =0 , a a a a

b d2 b b b 2b b ? 1, 知 ? ? [1 ? , 0] ? 当 x ? ? 时, f ?( x ) 取得最小值为 f ?(? ) ? ? ,即x2 ? ? , a a a a a a a

1 b d2 1 ? f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a ? A(?1, ? a), B(0, c)C (? , ? ) , 由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 3 3 a a
平行于 x 轴,所以 ? a ? ?

1 3

d2 , 即a 2 =3d 2 ? (1) a

又由三角形 ABC 的面积为 2 ? 3

2 d2 1 b a ? 2 ? 3 ? (2) 得 (?1 ? ) ? (c ? ) ? 2 ? 3 ,利用 b=a+d,c=a+2d,得 d ? 2 a 3 3 a
得 d ? 3, a ? 3 3 .

联立(1)(2)可

2b 2b ) ? 0, f ?(0) ? c ,又 c>0 知 f ( x) 在 [1 ? , 0] 上 a a b b 2b b 的 最 大 值 为 f ?(0) ? c 即 : x1 =0 。 又 由 ? 1,知 ? ? [1 ? , 0] ? 当 x ? ? 时 , f ?( x ) 取 得 最 小 值 为 , a a a a
解法二: ? f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c(a ? 0) ? f ?(1 ?

b d2 b 1 b d2 1 f ?(? ) ? ? ,即x2 ? ? ,? f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a ? A(?1, ? a), B(0, c), C (? , ? ), 由三角形 ABC 3 a a a 3 a a
有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴,所以 ? a ? ?

1 3

d2 , 即a 2 =3d 2 ? (1) a

又由三角形 ABC 的面积为

2 d2 1 b a ? 2 ? 3 ? (2) 2 ? 3 得 (?1 ? ) ? (c ? ) ? 2 ? 3 ,利用 b=a+d,c=a+2d,得 d ? 2 a 3 3 a
联立(1)(2)可得 d ? 3, a ? 3 3 例4 已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ?R
x

(Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;
n ?1 ? (Ⅲ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)? F (n) ? (e ? 2) 2 (n ?N ) . n

第一讲

导数(一)

3

解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x) ? e x ? ex ,所以 f ?( x) ? e x ? e .由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递 增区间是 (1 ? ?) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??, . , 1) (Ⅱ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数.于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对 任意 x ≥ 0 成立.由 f ?( x) ? e x ? k ? 0 得 x ? ln k . ① 当 k ? (0, 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) .此时 f ( x ) 在 [0, ?) 上单调递增. 1] ? 故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.

, ② 当 k ? (1 ? ?) 时, ln k ? 0 .当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, k ) ln

ln k
0
极小值

(ln k, ?) ?

?
单调递减

?
单调递增

, ? 由此可得,在 [0, ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 ?1 ? k ? e .
综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . (Ⅲ)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e x ? e? x ,

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2 ,? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 , F (2) F (n ?1) ? en?1 ? 2, F (n) F (1) ? en?1 ? 2. ??
由此得, [ F (1) F (2)? F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n , 故 F (1) F (2)? F (n) ? (e
n ?1

? 2) ,n ? N? .

n 2

三、备选例题
1. 设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (x) (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1. 解: (Ⅰ) 根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ? 于是 F ?( x) ? 1 ?

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , F (x) ?x (? ) ? ? n x 2a x ,0 f x x 2l ? ? 故 x x



2 x?2 ? ,x ? 0 ,列表如下:(略)故知 F ( x) 在 (0, 内是减函数,在 (2, ∞) 内是增函 2) ? x x

数,所以,在 x ? 2 处取得极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .
第一讲 导数(一) 4

(Ⅱ)由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 .于是由上表知,对一切 x ? (0, ∞) , ? 恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 .从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ∞) 内单调增加.所以当 x ? 1 ? 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2a ln x ? 0 .故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2 2

2.设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) . 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式| f′(x)|≤a 恒成立,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ,令 f ?( x) ? 0, 得 f (x) 的单调递增区间为(a,3a) 令 f ?( x) ? 0, 得 f (x) 的单调递减区间为(- ? ,a)和(3a,+ ? ) ,∴当 x=a 时, f (x) 极小值= ? 当 x=3a 时, f (x) 极小值=b. (Ⅱ)由| f ?(x) |≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a. ① ∵0<a<1,∴a+1>2a. f ?( x) ? ? x2 ? 4ax ? 3a 2

3 3 a ? b; 4

∴ 在[a ? 1, a ? 2] 上是减函数. ∴ f ?( x) max ? f ?(a ? 1) ? 2a ? 1. f ?( x) min ? f (a ? 2) ? 4a ? 4. 于是,对任意 x ? [a ? 1, a ? 2] ,不等式①恒成立,等价于 ? 又 0 ? a ? 1, ∴

?? a ? 4a ? 4, 4 解得 ? a ? 1. 5 ?a ? 2a ? 1.

4 ? a ? 1. 5

e?x (ax2 ? a ? 1)(e 为自然对数的底数). 3.设 a ? R ,函数 f ( x) ? 2
(Ⅰ)判断 f (x) 的单调性;

1 在x ? [1,2] 上恒成立,求 a 的取值范围. e2 1 ?x 1 ?x 1 ?x 2 2 解: (Ⅰ)由已知 f ?( x) ? ? e (ax ? a ? 1) ? e ? (2ax ) ? e (? ax ? 2ax ? a ? 1), 2 2 2
(Ⅱ)若 f ( x) ?
2

令 g ( x) ? ?ax ? 2ax ? a ? 1. ① 当 a ? 0时, g ( x) ? ?1 ? 0,? f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 R 上为减函数. ② 当 a ? 0地, g ( x) ? 0的判别? ? 4a ? 4(a ? a) ? ?4a ? 0, ? g ( x) ? 0,即f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在
2 2

R 上为减函数.
2 ③ 当 a ? 0 时,由 ? ax ? 2ax ? a ? 1 ? 0, 得 x ? 1 ?

1 ?a

或x ? 1 ?

1 ?a

,

由 ? ax ? 2ax ? a ? 1 ? 0, 得 1 ?
2

1 ?a

? x ? 1?
第一讲

1 ?a

, ? f ( x)在(??,

a? ?a a? ?a ), ( ,??) 上 为 a a
5

导数(一)

增函数; f ( x)在(

a? ?a a? ?a , ) 上为减函数. a a

(Ⅱ)① 当 a ? 0时, f ( x)在[1,2] 上为减函数.? f ( x) min ? f (2) ?

5a ? 1 5a ? 1 1 1 .由 ? 2 得a ? . 2 2 5 2e 2e e 1 5a ? 1 1 1 ? 2 ,? f ( x ) ? 2 在[1,2]上不恒成立,∴a 的取值范围是 ( ,?? ). ② 当 a ? 0时, f (2) ? 2 5 2e 2e e
1 3 x2 ? x ? 8 (0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米。 128000 80

4.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解 析式可以表示为:y=

(Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了

100 ? 2.5 小时,要耗油 40

1 3 ( ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 。即当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到 128000 80
乙地耗油 17.5 升。

100 小时,设耗油量为 h( x) 升, x 1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 依题意得 h( x) ? ( 128000 80 x 1280 x 4
(II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了

h '( x) ?

x 800 x3 ? 803 ? ? (0 ? x ? 120). 令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 640 x 2 640 x 2

当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数;当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25. 因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。
即当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。 5.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( x ? R, a ? 0),?2是f ( x) 的一个零点,又 f (x) 在 x=0 处有极值, 在区间(-6,-4)和(-2,0)上是单调的,且在这两个区间上的单调性相反.

b 的取值范围; a (III)当 b ? 3a时, 求使 y | y ? f ( x),?3 ? x ? 2} ? [?3,2] 成立的实数 a 的取值范围. {
(I)求 c 的值; (II)求 解: (I)? f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ,? f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,又 f(x)在 x=0 处有极值,
3 2 2

? f ?( x) ? 0,即c ? 0.
2 (II)由(I)知: f ?( x) ? 3ax ? 2bx, 令f ?( x) ? 0, ? x ? 0或x ? ?

2b 。又∵f(x)在区间(-6,-4) 3a

和(-2,0)上单调且单调性相反.??4 ? ?
3

2b b ? ?2, 故3 ? ? 6. 3a a
2

(III)? b ? 3a, 且 ? 2是f ( x) ? ax ? 3ax ? d 的一个零点
第一讲 导数(一) 6

? f (?2) ? ?8a ? 12a ? d ? 0,? d ? ?4a, 从而 f ( x) ? ax3 ? 3ax2 ? 4a ,

? f ?( x) ? 3ax2 ? 6ax.令f ?( x) ? 0,? x ? 0或x ? ?2. 列表讨论如下:
x f′(x) f(x) -4a -3 (-3,-2) a >0 + a <0 - -2 0 0 (-2,0) a >0 - a <0 + 0 0 -4 a (0,2) a <0 + a <0 - 16 a 2

∴当 a >0 时,若-3≤x≤2,则-4 a≤f(x)≤16 a,当 a <0 时,若-3≤x≤2,16 a≤f(x)≤-4 a

?a ? 0 ?a ? 0 1 3 3 1 ? ? ? a ? 0 。∴存在实数 a ? [? ,0) ? (0, ] ,满足题 从而 ?16a ? 2 或?16a ? ?3 ,即 0 ? a ? 或 ? 8 16 16 8 ?? 4a ? ?3 ?? 4a ? 2 ? ?
目要求.

四、教学小结

第一讲

导数(一)

7


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