2016-2017学年高中数学章末质量评估1新人教A版选修2-2资料


2016-2017 学年高中数学 章末质量评估 1 新人教 A 版选修 2-2
一、选择题(本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1
2 2

)

B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1

解析: ∵y′=2x+a,∴曲线 y=x +ax+b 在(0,b)处的切线方程的斜率为 a, 切线方程为 y-b=ax,即 ax-y+b=0.∴a=1,b=1. 答案: A 2.函数 y=x cos x 的导数为( A.y′=2xcos x-x sin x C.y′=x cos x-2xsin x 解析: 利用求导法则运算. 答案: A 3.设 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0=( A.e
2 2 2 2

) B.y′=2xcos x+x sin x D.y′=xcos x-x sin x
2 2

)

B. e D.ln 2

ln 2 C. 2 解析: f′(x)=(xln x)′=ln x+1,

f′(x0)=ln x0+1=2? x0=e.
答案: B 4.函数 f(x)的图象如图所示,下列数值的排序正确的是( A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 解析: 由 f′(2),f′(3)的几何意义知 f′(2)>f′(3)>0, 设 A(2,f(2)),B(3,f(3)), 则 kAB= )

f?3?-f?2?
3-2



由图象知 0<f′(3)<kAB<f′(2). 答案: B 5.过曲线 y=

x+1 (x>0)上横坐标为 1 的点的切线方程为( x2

)

1

A.3x+y-1=0 C.x-y+1=0 解析: ∵y′=

B.3x+y-5=0 D.x-y-1=0

x2-2x?x+1? -x2-2x = , x4 x4

∴该切线的斜率 k=y′|x=1=-3, 则所求的切线方程为 y-2=-3(x-1),即 3x+y-5=0,故选 B. 答案: B 6.若函数 f(x)在 R 上可导,且 f(x)=x +2f′(2)x+3,则( A.f(0)<f(6) C.f(0)>f(6) B.f(0)=f(6) D.无法确定
2

)

解析: f′(x)=2x+2f′(2)? f′(2)=4+2f′(2)? f′(2)=-4. 从而 f(x)=x -8x+3,其对称轴为 x=4,则 f(0)>f(6). 答案: C 7.如图,阴影部分的面积是( )
2

A.2 3 35 C. 3 解析: S=? ? -3(3-x -2x)dx
1 2

B.-2 3 32 D. 3

1 3 2? ? =?3x- x -x ?| 3 ? ? 答案: D

1 -3

32 = . 3

8. 若函数 f(x)的导函数 f′(x)=x -4x+3, 则函数 f(x+1)的单调递减区间是( A.(2,4) C.(1,3)
2

2

)

B.(-3,-1) D.(0,2)

解析: 由 f′(x)=x -4x+3=(x-1)(x-3)知, 当 x∈(1,3)时, f′(x)<0, 函数 f(x) 在(1,3)上为减函数,函数 y=f(x+1)的图象是由函数 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位长 度得到的,所以(0,2)为函数 y=f(x+1)的单调递减区间.故选 D. 答案: D 9.函数 f(x)=x -3x 的极大值为 m,极小值为 n,则 m+n 为( A.0 B. 1
3

)

2

C.2
3 2

D. 4
3

解析: f(x)=x -3x? f′(x)=3x -3=0? x=±1, 不难判断 m=f(-1)=(-1) +3 =2,

n=f(1)=13-3=-2,m+n=0.
答案: A 10.一物体在力 F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=1 处 运动到 x=3 处(单位:m),则力 F 所作的功为( A.10 J C.7 J 解析: W=? ?1F(x)dx
2 3 =? ? (4x-1)dx=(2x -x) |1 1 3 3

)

B.14 J D.28 J

=(2·3 -3)-(2·1 -1)=14 J. 答案: B 11.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( A.f(0)+f(2)<2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) )

2

2

解析: 当 1≤x≤2 时,f′(x)≥0,则 f(2)≥f(1); 而当 0≤x≤1 时,f′(x)≤0,则 f(1)≤f(0), 从而 f(0)+f(2)≥2f(1). 答案: C 12.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 x 都 有 f(x)≥0,则 A.3 C.2
2

f?1? 的最小值为( f′?0?

) 5 B. 2 3 D. 2

解析: f′(x)=2ax+b,有 f′(0)>0? b>0.由于对于任意实数 x 都有 f(x)≥0,从而
?a>0, ? ? 2 ? ?Δ =b -4ac≤0,

得 c>0, 从而

f?1? a+b+c a+c a+c 2 ac = =1+ ≥1+ ≥1+ =2, f′?0? b b 2 ac 2 ac

当且仅当 a=c 时取等号. 答案: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13 .函数 f(x) = x + ax -2 在区间 [1 ,+∞)内是增函数,则实数 a 的取值范围是
3
3

________. 解析: f′(x)=3x +a≥0 在 x∈[1,+∞)上恒成立, 即 a≥-3x 在 x∈[1,+∞)上恒成立. 而-3x 的最大值为-3,故只需 a≥-3 即可. 答案: a≥-3 1 14.过点(2,0)且与曲线 y= 相切的直线的方程为________.
2 2 2

x

解析: 设所求切线与曲线的切点为 P(x0,y0), 1 1 ∵y′=- 2,∴y′|x=x0=- 2,所求切线的方程为

x

x0

y-y0=- 2(x-x0). x0
∵点(2,0)在切线上, 1 2 ∴0-y0=- 2(2-x0),∴x0y0=2-x0,

1

x0

① ②

又 x0y0=1, 由①②解得?
? ?x0=1, ?y0=1, ?

∴所求直线方程为 x+y-2=0. 答案: x+y-2=0 15.已知函数 f(x)为一次函数,其图象经过点(3,4),且? ?0f(x)dx=1,则函数 f(x)的 解析式为________. 解析: 设函数 f(x)=ax+b(a≠0), 因为函数 f(x)的图象过点(3,4),所以有 b=4-3a.
1

? ∴? ? f(x)dx=? (ax+4-3a)dx
0 0

1

1

?1 2 ? 1 1 =? ax +?4-3a?x?| 0= a+4-3a=1, 2 ?2 ?
6 2 ∴a= .∴b= . 5 5 6 2 ∴f(x)= x+ . 5 5 6 2 答案: f(x)= x+ 5 5 16.设函数 f(x)=x +ax 的导数为 f′(x)=2x+1,则数列?
m

?

1 ? ?(n∈N*)的前 n 项 ?f?n??

4

和是________. 解析: f′(x)=mx
m-1

+a=2x+1? ? 1

?m=2, ? ?a=1. ?

则 f(x)=x +x,

2

1

f?n? n?n+1? n n+1



1 1 = - ,其和为

?1-1?+?1-1?+?1-1?+…+?1- 1 ?=1- 1 = n . ?1 2? ?2 3? ?3 4? ?n n+1? n+1 n+1 ? ? ? ? ? ? ? ?
答案:

n n+1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x +x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 解析: (1)∵f′(x)=(x +x-16)′=3x +1, ∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13, ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32. (2)方法一:设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x0+1, ∴直线 l 的方程为
3 y=(3x2 0+1)(x-x0)+x0+x0-16, 2 3 2 3

又∵直线 l 过点(0,0), ∴0=(3x0+1)(-x0)+x0+x0-16, 整理得,x0=-8,∴x0=-2, ∴y0=(-2) +(-2)-16=-26,
3 3 2 3

k=3×(-2)2+1=13.
∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 方法二:由题意知,直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0,y0), 则 k=

y0-0 x3 0+x0-16 = , x0-0 x0
2

又∵k=f′(x0)=3x0+1, ∴

x3 0+x0-16 2 =3x0+1, x0

5

解之得 x0=-2, ∴y0=(-2) +(-2)-16=-26,
3

k=3×(-2)2+1=13.
∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 18.(本小题满分 12 分)物体 A 以速度 v=3t +1 在一直线上运动,在此直线上物体 A 出发的同时,物体 B 在物体 A 的正前方 5 m 处以 v=10t 的速度与 A 同向运动,问两物体何 时相遇?相遇时物体 A 走过的路程是多少(时间单位为:s,速度单位为:m/s)? 解析: 设 A 追上 B 时,所用的时间为 t0, 依题意有 sA=sB+5, 即∫t00(3t +1)dt=? ?0 10tdt+5,
2 2

t0

∴t0+t0=5t0+5, 即 t0(t0+1)=5(t0+1),t0=5 s, ∴sA=5t0+5=130 (m). 19. (本小题满分 12 分)某电视生产厂家有 A, B 两种型号的电视机参加家电下乡活动. 若 1 厂家投放 A,B 型号电视机的价值分别为 p,q 万元,农民购买电视机获得的补贴分别为 p, 10 2 ln q 万元.已知厂家把总价值为 10 万元的 A,B 两种型号电视机投放市场,且 A,B 两型 5 号的电视机投放金额都不低于 1 万元, 请你制订一个投放方案, 使得在这次活动中农民得到 的补贴最多,并求出其最大值.(精确到 0.1,参考数据:ln 4≈1.4) 解析: 设 B 型号电视机的价值为 x 万元(1≤x≤9),农民得到的补贴为 y 万元,则 A 型号电视机的价值为(10-x)万元,由题意得,
2 2 2

3

2

y= (10-x)+ ln x= ln x- x+1, y′= - ,由 y′=0? x=4. 5x 10
当 x∈[1,4)时,y′>0, 当 x∈(4,9]时,y′<0, 所以当 x=4 时,y 取最大值, 2 1

1 10

2 5

2 5

1 10

ymax= ln 4-0.4+1≈1.2.
即厂家分别投放 A,B 两型号电视机 6 万元和 4 万元时,农民得到的补贴最多,最多补 贴约为 1.2 万元. 1 3 1 2 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= x - x +cx+d 有极值. 3 2

2 5

6

(1)求 c 的取值范围; 1 2 (2)若 f(x)在 x=2 处取得极值,且当 x<0 时,f(x)< d +2d 恒成立,求 d 的取值范围. 6 1 3 1 2 解析: (1)∵f(x)= x - x +cx+d, 3 2 ∴f′(x)=x -x+c,要使 f(x)有极值,则方程 f′(x)=x -x+c=0 有两个不相等的 1 实数解,从而 Δ =1-4c>0,∴c< . 4 (2)∵f(x)在 x=2 处取得极值,∴f′(2)=4-2+c=0, ∴c=-2. 1 3 1 2 ∴f(x)= x - x -2x+d. 3 2 ∵f′(x)=x -x-2=(x-2)(x+1), ∴当 x∈(-∞,-1]时,f′(x)>0,函数单调递增, 当 x∈(-1,2]时,f′(x)<0,函数单调递减. 7 ∴x<0 时,f(x)在 x=-1 处取得最大值 +d, 6 1 2 ∵x<0 时,f(x)< d +2d 恒成立, 6 7 1 2 ∴ +d< d +2d,即(d+7)(d-1)>0, 6 6 ∴d<-7 或 d>1, 即 d 的取值范围是(-∞,-7)∪(1,+∞). 21.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=-x +3x +9x+a, (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 解析: (1)f′(x)=-3x +6x+9,令 f′(x)<0, 解得 x<-1 或 x>3,所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,
2 3 2 2 2 2

f(2)=-8+12+18+a=22+a,
∴f(2)>f(-2).∵x∈(-1,3)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-1,3]上单调递增. 又 f(x)在[-2,-1)上单调递减,∴f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最 大值和最小值. 于是有 22+a=20,解得 a=-2. 故 f(x)=-x +3x +9x-2,
7
3 2

∴f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7. 22.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=xln(1+x)-a(x+1),其中 a 为实常数. (1)当 x∈[1,+∞)时,f′(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围; (2)求函数 g(x)=f′(x)- 的单调区间. 1+x 解析: (1)由题意,知 f′(x)=ln(1+x)+ -a>0, 1+x 则 a<ln (1+x)+ 在 x∈[1,+∞)时恒成立. 1+x 令 h(x)=ln(1+x)+ ,则 1+x

ax

x

x

x

h′(x)=

1 1 x+2 + 2= 2. 1+x ?1+x? ?1+x?

∵x∈[1,+∞),∴h′(x)>0, 即 h(x)在[1,+∞)上单调递增, 1 ∴h(x)≥h(1)= +ln 2, 2 1 ? ? ∴a 的取值范围是?-∞, +ln 2?. 2 ? ? ?1-a?x (2)由(1)知,函数 g(x)=ln(1+x)+ -a,其定义域为(-1,+∞). 1+x 1 1-a x+2-a 则 g′(x)= + 2= 2. 1+x ?1+x? ?1+x? ①当 a>1 时,若 x∈(-1,a-2),则 g′(x)<0,g(x)在(-1,a-2)上单调递减;若

x∈(a-2,+∞),则 g′(x)>0,g(x)在(a-2,+∞)上单调递增.
②当 a≤1 时,g′(x)>0,g(x)在(-1,+∞)上单调递增. 综上,当 a>1 时,g(x)的单调递增区间为(a-2,+∞), 递减区间为(-1,a-2); 当 a≤1 时,g(x)的单调递增区间为(-1,+∞).

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