山西省吕梁学院附属高级中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题(新)


吕梁学院附中高二第一次月考数学试题
考试时间 120 分钟,满分 150 分 一 、选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.) 1.若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°、半径为 l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是( ) A.3∶2 B.2∶1 C.5∶3 D.4∶3

2.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②平行于同一 直线的两直线平行; ③若直线 a,b,c 满足 a∥b,b⊥c,则 a⊥c; ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假 命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4 )

3.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为( A.16+8π C.16+16π

B.8+8π D.8+16π )

4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( A. 24 C. 36+ 6 2 B. 36 D. 36+12 2

5.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图其中 B′O′=C′O′=1,A′O′= 那么原△ABC 的面积是( A. 3 C. 3 2 ) B .2 2 D. 3 4

3 , 2

6.已知三棱锥 S ? ABC 中,SA, SB, SC 两两垂直, 且 SA ? 1, SB ? 外接球的表面积为( A. 8? B. 9? ) C.12? D.16?

则三棱锥 S ? ABC 2, SC ? 6 ,

1

7. 三棱锥 P ? ABC 的高为 PH ,若三条侧棱两两垂直,则 H 为△ ABC 的( A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D.重心

)

M , N 分别为 A1B1 , AB 8.在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AC ? BC ,
的中点,点 P 在线段 B1C 上,则 NP 与平面 AMC1 的位置关系为( A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 )

D.由点 P 的位置而定 )

9. 设 c, b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,下列能推出 c ? b 的是( A. c ? ? , b // ? , ? ? ? C. c ? ? , b // ? , ? ? ? B. c ? ? , b ? ? , ? // ? D. c ? ? , b ? ? , ? // ?

10. 关于直线 a, b, c 以及平面 ? , ? ,给出下列命题: ①若 a / /? , b / /? ,则 a / / b ②若 a / /? , b ? ? ,则 a ? b ④若 a ? ? , a / / ? , 则 ? ? ?

③若 a ? ? , b ? ? , 且 c ? a, c ? b ,则 c ? ? 其中正确的命题是( A.①② ) B.②③

C.②④

D.①④

11.四面体 S ? ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形, E , F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直 线 EF 与 SA 所成的角等于(
0 A. 30 0 B. 45

)
0 C. 60 0 D. 90

12. 如图,四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形,SD ? 底面 ABCD, 则下列结论中不正确 的是( ... A.AC ? SB ) B.AB // 平面 SCD

C. SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 二、填空题(本 大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? 平面 ? , CD ? 平面 ? ,则直线 CD 与平面 ? 内的直线的位置关 系只能是 .

14. 在三棱柱 ABC- A1 B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 .

15.四面体 S ? ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形, E , F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直线

EF 与 SA 所成的角等于

2

16. 如图, 正方体 A 的棱长为 1, 线段 B1 D1 上有两个动点 E , F 且 EF = B C DA ?1 B C D 1 1 1 结论中正确 的是 .. (1) AC ? BE ; (2) 若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为 (3) 三棱锥 A ? BEF 的体积为定值; (4) 在空间与 DD1 , AC , B1C1 都相交的直线有无数条. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过 .

2 2

则下列

2 2

程或骤)

17.(10 分)如图所示,在边长为 4 的正三角形 ABC 中,E,F 依次是 AB,AC 的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG ⊥BC,D,H,G 为垂足,若将△ABC 绕 AD 旋转 180°,求阴影部分形成的几何体的表面积.

18.(12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E,F,G 分 别是 BC,DC,SC 的中点。 求证: (1)直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.

C1

19.(12 分)如图,正三棱柱 ABC- A1B1C1 中, AB ? 3, AA1

? 4,

A1

B1

D 为 C1 B 的中点, P 为 AB 边上的动点.
(1)当点 P 为 AB 的中点时,证明 DP // 平面 ACC1 A1 . (2)若 AP ? 2 PB ,求三棱锥 B ? CDP 的体积.
A C

D

B P

20(12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, PD

? 平面 ABCD ,

PD ? DC ? BC ? 1, AB ? 2 , AB // DC , ?BCD ? 90o .
(1)求证: PC ? BC ; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.
20 题 3

21. ( 12 分 ) 如 图 , 四 棱 柱 A B C?D 是 平 行 四 边 形 , 且 A1 B1C1 D1 的 底 面 A B C D

AB ? 1 , BC ? 2 , ?ABC ? 600 , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD .
(1)求证:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ; (2)若 DE ? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值.

22 (12 分) 在四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC ? 底 面 BCDE , BC ? 2 , CD ? 2 , AB ? AC . (1)求证: AD ? CE ; (2) (理科)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 , 求二面角 C ? AD ? E 的余弦值. (文科)设 AB ? 2 ,求 CE 与平面 ABE 所成的角.
C
?

A

B

E

D

4

一、 选择题 DBACAB 二、 填空题 13.平行或异面 14. 三、解答题

ABBCBD

? 3

15.

6

16.(1) (2) (3) (4)

17.解 几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的, ∵S 锥表=π R +π Rl=4π +8π =12π ,S 柱侧=2π rl=2π ·DG·FG=2 3π , ∴所求几何体的 表面积为 S=S 锥表+S 柱侧=12π +2 3π =2(6+ 3)π . 18.【证明】(1)如图,连接 SB,因为 E,G 分别是 BC,SC 的中点,所以 EG∥SB.又因为 SB? 平面 BDD1B1,EG?平 面 BDD1B1,所以直线 EG∥平面 BDD1B1.
2

(2)连接 SD,因为 F,G 分别是 DC,SC 的中点,所以 FG∥SD. 又因为 SD? 平面 BDD1B1,FG?平面 BDD1B1, 所以 FG∥平面 BDD1B1,且 EG? 平面 EFG,FG? 平面 EFG,EG∩FG=G,所以平面 EFG∥平面 BDD1B1. 19.解: (1)连接 AC1 ,∵点 P 为 AB 的中点, D 为 C1 B 的中点,? DP // 又∵ AC1

AC1 ,

? 平面 ACC1 A1 , DP ? 平面 ACC1 A1 ,? DP // 平面 ACC1 A1 .
1 ? CC 1 ? 2 , 2

(2)过点 D 作 DE ? BC 于 E ,则 DE // CC1 ,且 DE



CC1 ? 平 面 A B C, ? DE ? 平 面 B C P . 由 AP ? 2 PB 得 ,
1 1 3 3 AB ? 1 .? S ?BCP ? ? 3 ?1? sin 60o ? , 3 2 4

PB ?

因此, VB ?CDP

1 3 3 3 . ? VD? BCP ? ? ?2 ? 3 4 2
5

20. (1)证明:∵ PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,∴ PD⊥BC,

又由∠BCD=90°,得 CD⊥BC,且 PD∩DC=D,∴ BC⊥平面 PCD. ∵ PC ? 平面 PCD,故 PC⊥BC. (2)解:(方法一)分别取 AB,PC 的中点 E,F,连接 DE,DF, 则易证 DE∥CB,∴DE∥平面 PBC,点 D,E 到平面 PBC 的距离相等,点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍.由(1)知,BC⊥平面 PCD,∴平面 PBC⊥平面 PCD. ∵ PD=DC,PF=FC,∴ DF⊥PC.又∵平面 PBC∩平面 PCD=PC,∴ DF⊥
2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 . 2 (方法二):连接 AC,设点 A 到平面 PBC 的距离为 h. ∵ AB∥DC,∠BCD=90°,∴ ∠ABC=90°.又 AB=2,BC=1,得 S△ABC=1,由 PD⊥平面 ABCD,及 PD=1, 1 1 得 VP - ABC= S△ABC·PD= . 3 3

平面 PBC 于 F.易知 DF=

∵ PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,∴ PD⊥DC,又 ∴ PD=DC=1,∴ PC= PD2 ? DC 2 = 2 ,由 PC⊥BC,

BC=1,得 S△PBC=
等于 2 .

2 ,∴由 VA 2

- PBC

2 1 1 =VP – ABC 得, · ·h= ,解得 h= 2 .故点 A 到平面 PBC 的距离 2 3 3

21. 解 (1) 依 题 意 , BE ? EC ?

1 BC ? AB ? CD , ? 所 以 ?A B E 是 正 三 角 形 , ?AEB ? 600 , 又 2

?CED ?

1 ? (180 0 ? 120 0 ) ? 30 0 ,? ?AED ? 900 ,即, DE ? AE ,又∵ AA1 ? 平面 ABCD , DE ? 2

平面 ABCD ,所以 AA1 ? DE ,且 AA1 ? AE 平面 A1 AE ? 平面 A1 DE .

? A ,所以 DE ? 平面 A1 AE .又 DE ? 平面 A1 DE ,所以

(2)取 BB1 的中点 F ,连接 EF , AF , B1C ,则 EF // B1C // A1 D ,

? ?AEF

是异面直线 AE 与 A1 D 所成

的角,又 DE ? 3 , A1 E ?

A1 A 2 ? AE 2 , ? A1 A ? 2 , BF ?

1 6 2 , AF ? EF ? , ?1 ? 2 2 2

因此, cos?AEF ?

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 6 . ? 2 ? AE ? EF 6

22.解:(1)作 AO⊥BC,垂足为 O,连接 OD,由题设知,AO⊥底面 BCDE, 且 O 为 BC 中点,由

OC CD 1 ? ? 知,Rt△OCD∽Rt△CDE,从而∠ CD DE 2

ODC=∠CED,于是 CE⊥OD,由三垂线定理知,AD⊥CE. (2)由题意,BE⊥BC,所以 BE⊥侧面 ABC,又 BE ? 侧面 ABE,所以侧 面 ABE⊥侧面 ABC,作 CF⊥AB,垂足为 F,连接 FE,则 CF⊥平 ABE, 故∠CEF 为 CE 与平面 ABE 所成的角,∠CEF=45°, 由 CE= 6 ,得 CF= 3 ,又 BC=2,因而∠ABC=60°,所以△ABC 为等边 三角形.作 CG⊥AD,垂足为 G,连接 GE,由(I)知,CE⊥AD,又 CE∩CG=C,故 AD⊥平面 CGE,AD⊥GE, ∠CGE 是二面角 C-AD-E 的平面角.
6

∵CG=

AC ? CD 2 ? 2 2 , ? ? AD 6 3

1 DE ? AD 2 ? ( DE) 2 2? 5 10 2 GE= ? ? , CE ? 6 , AD 6 3
CG 2 ? GE 2 ? CE 2 ? ?cos∠CGE= 2CG ? GE 4 10 ? ?6 10 3 3 ?? , 10 2 10 2? ? 3 3

所以二面角 C-AD-E 的余弦值为 ?

10 . 10

(文) (2)由题意,BE⊥BC,所以 BE⊥侧面 ABC,又 BE ? 侧面 ABE,所以侧面 ABE⊥侧面 ABC,作 CF⊥AB, 垂足为 F,连接 FE,则 CF⊥平 ABE, 故 ∠ CEF 为 CE 与 平 面 ABE 所 成 的 角 , ∵ AB ? AC ? BC ? 2 , ?CF

? 3 , 又 CE= 6 ,

? sin ?CEF ?

CF 3 2 o ,∠CEF=45°,即 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 . ? ? CE 2 6

7


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