浙江省宁波市九校2016-2017学年高二下学期期末联考数学试卷Word版含答案

2016学年 宁波市九校联考高二数学试题 第二学期

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1.设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3},B ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0},则 A ? (CRB) ?

()

A.[?1,1) U(2,3)

B.[?1,1]?[2,3] C. (1,2)

D. R

2.已知 i 是虚数单位,则 1? i = 1?i

A.1

B. ?1

C. ? i

()
D. i

3.已知曲线 f (x) ? ln x 在点 (2, f (2)) 处的切线与直线 ax ? y ?1 ? 0 垂直,则实数 a 的值



()

A. 1

B. ? 2

C. 2

2

4.下面四个条件中,使 a ? b 成立的必要而不充分的条件是

A. a ?1? b

B. a ?1? b

C. a ? b

5.已知函数 f (x) ? 1 ,则 y ? f (x) 的图像大致为 x ? ln x ?1

D. ? 1 2

()

D. a3 ? b3

()

A.

B.

C.

D.

6.从1,2,3,L ,9 这九个整数中同时取四个不同的数,其和为偶数,则不同取法共有 ( )

A. 62

B. 64

C. 65

D. 66

7.已知1 ? a ? b, m ? ab?1, n ? ba?1,则m, n 的大小关系为

()

A. m ? n

B. m ? n

C. m ? n

D. m, n 的大小关系不确定,与 a, b 的取值有关

8.已 知 下 列 各 式 : ①

f (| x | ?1) ? x2 ?1 ; ②

f( 1 )?x x2 ?1

;③

f (x2 ? 2x) ?| x |



④ f (| x |) ? 3x ? 3?x .其中存在函数 f (x) 对任意的 x ? R 都成立的是

()

A.①④

B.③④

C.①②

D.①③

9.设函数 f (x) ? log2 x ? ax ? b(a ? 0) ,若存在实数 b ,使得对任意的 x ??t,t ? 2?(t ? 0)

都有| f (x) |? 1? a ,则 t 的最小值是

()

A. 2

B.1

C. 3

D. 2

4

3

10.定义在 R 上的可导函数 f (x) 满足 f (x) ? f (?x) ? 2x3 ,当 x ? ?? ?,0?时 f ?(x) ? 3x2 ,

实数 a 满足 f (1? a) ? f (a) ? ?2a3 ? 3a2 ? 3a ?1,则 a 的取值范围是

()

A.

? ??

3 2

,?

?

?? ?

B.

?? ?

?

?,

3 2

? ??

C.

? ??

1 2

,?

?

?? ?

D.

?? ?

?

?,

1 2

? ??

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.

11.若 log a 2 ? m, log a 3 ? n, 则 a2m?n ?

,用 m, n 表示 log 4 6 为

.

12.已知 (2 x ? 1 )n 的展开式中二项式系数和为 64,则 n ? 2x



.

,该展开式中常数项

13.已知函数

f

(x)

?

? ? x ? 4, x ? ??ax ? 2a ?1, x

2 ?

, 其中a 2

?

0且a

? 1.若

a

?

1 2

时方程

f

(x)

?

b

有两

个不同的实根,则实数 b 的取值范围是

;若 f (x) 的值域为 ?2,? ??,则实数 a 的

取值范围是

.

14.函数 f (x) ? x3 ? 2x ? ex ? e?x 的奇偶性为

,在 R 上的增减性为

(填

“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”).

15.小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5 人坐成一排.若小

明的父母至少有一人与小明相邻,则不同的坐法总数为

.

16.已知 f (x) ?| x ? 1 ? a | ? | x ? 1 ? a | ?2x ? 2a(x ? 0)的最小值为 3 ,则实数 a ? .

x

x

2

17.已知函数

f

(x)

?

x2

?

ax ? b(a,b ? R)在区间 ?0,1?上有零点

x0

,则 ab( x0 4

?

1 9 x0

?

1) 3



最大值是

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.已知 n ? N? , Sn ? (n ?1)(n ? 2)L (n ? n), Tn ? 2n ?1? 3?L ? (2n ?1) .

(Ⅰ)求 S1, S2 , S3,T1,T2 ,T3 ;

(Ⅱ)猜想 Sn 与Tn 的关系,并用数学归纳法证明.

19.(Ⅰ)已知 (2x ?1)10 ? a0 ? a1(x ?1) ? a2( x ?1)2 ? L ? a10( x ?1)10 ,其中 ai ? R, i ? 1, 2,L 10 .(i)求 a0 ? a1 ? a2 ? L ? a10 ;(ii)求 a7 .
(Ⅱ)2017 年 5 月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、 丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位,每个岗位至 少有一人参加,且五人均能胜任这四个岗位. (i)若每人不准兼职,则不同的分配方案有几种? (ii)若甲乙被抽调去别的地方,剩下三人要求每人必兼两职,则不同的分配方案
有几种?
20.已知 a ? R ,函数 f (x) 满足 f (2x ) ? x2 ? 2ax ? a2 ?1. (Ⅰ)求 f (x) 的解析式,并写出 f (x) 的定义域;
? ? (Ⅱ)若 f (x) 在[2a?1,2a2?2a?2 ] 上的值域为 ?1,0 ,求实数 a 的取值范围.

21.已知函数 f ? x? ? e?x ? 1 .
1? x
(Ⅰ)证明: 当 x ??0,3?时, e?x ? 1 .
1? 9x
(Ⅱ)证明: 当 x ??2,3? 时, ? 2 ? f (x) ? 0 .
7

22.已知 a ? ?1 ,函数 f (x) ?| x3 ?1| ?x3 ? ax(x ? R) .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小值;

(Ⅱ)已知存在实数 m, n(m ? n ? 1), 对任意 t0 ? (m, n), 总存在两个不同的 t1,t2 ? (1,??),

使得

f (t0 ) ? 2 ?

f

(t1) ?

f (t2 ) ,求证: n ? m ?

4. 27

2016 学年第二学期宁波市九校联考高二数学参考答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)

BDCBA DCADD

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.

11.12 , m ? n 2m

12. 6 , 60

13.(2, 9),[1 ,1) ? (1,??) 42

14.奇,单调递增 15. 84

16. 5 4

17. 1 144

17 题:b

?

?x2

?

ax,

g(x0 )

?

( x0 4

?

1 9 x0

?

1) 3

?

0

ab ? g(x0 ) ? a(?x02 ? ax0 )g(x0 ) ? x0?a(?x0 ? a)?g(x0 )

? x03 ? g(x0 ) ? 1 ( x04 ? x03 ? x02 )

4

44 3 9

求导知其在

? ??

0,

1 3

? ??

,

? ??

1 3

,

2 3

? ??

,

? ??

2 3

,1???

上分别递增、递减、递增,故

其?

max{ab? g(1),ab? g(1)} ? 3

1 144

( x0

? 1, a

?

?

1 ,b 2

?

? 1 时等号成立.) 2

方法 2: 可得ax0 ? b ? ?x02

则ab( x0 ? 1 ? 1) 4 9x0 3

=

1 9

ax0(b

1 x0

-

3 )2 2

?

1g(ax0 ? b)2( 1

94

x0

-

3)2 ? 2

1 36

x02 (1?

3 2

x0 )2

?

1 36

? ??

x0

(1

?

3 2

x0 )???2

?

1 144

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分 18.(本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ) S1 ? T1 ? 2,S 2? T2 ? 12, S3 ? T3 ? 120 ;

……(3 分)

(Ⅱ)猜想: Sn ? Tn ( n ? N* )

……(4 分)

证明:(1)当 n ?1 时, S1 ? T1 ;

……(6 分)

? ? (2)假设当 n ? k k ? 1且k ? N* 时, Sk ? Tk ,

即 (k ?1)(k ? 2)L (k ? k) ? 2k ?1? 3?L (2k ?1) ,……(8 分) 则当 n ? k ?1时

Sk?1 ?(k ?1?1)(k ?1? 2)L (k ?1? k ?1)(k ?1? k)(k ?1? k ?1) = (k ? 2)(k ? 3)L (2k)(2k ?1)(2k ? 2)

= 2k ?1? 3?L (2k ?1) ? (2k ?1)(2k ? 2) k ?1

= 2k?1 ?1? 3?L (2k ?1)(2k ?1) ? Tk?1 .

……(13 分)

即 n ? k ?1时也成立,

由(1)(2)可知 n ? N* , Sn ? Tn 成立
19.(本小题满分 15 分)

……(14 分)

解:(Ⅰ)(i)令 x ? 2, 则 a0 ? a1 ? a2 ? L ? a10 ? 310 (即59049) .……(3 分)

(ii)令 x ?1 ? y,则(1? 2 y)10 ? a0 ? a1 y ? a2 y2 ? L a10 y10 ,

得 a7 ? C170 27 ? 15360.

…… (7 分)

(Ⅱ)(i) C52 ? A44 ? 240 .

……(11 分)

? ? (ii) C42 3 ? (C42 ? C43((C32 )3 ? C32 )) ? 114
20.(本小题满分 15 分)

……(15 分)

解:(Ⅰ)令 2x ? t ? 0, 则 x ? log 2 t, 则 f (t) ? (log 2 t)2 ? 2a log2 t ? a2 ?1,

即 f (x) ? (log 2 x)2 ? 2a log2 x ? a2 ?1.

……(5 分)

定义域为 ?0,???

……(7 分)

? ? (Ⅱ) f (x) 在[2a?1,2a2?2a?2 ] 上的值域为 ?1,0
等价于 g(x) ? x2 ? 2ax ? a2 ?1

在区间[a ?1, a2 ? 2a ? 2] 上的值域为[?1,0].
令y ? ?1? x ? a y ? 0 ? x ? a ?1或x ? a+1
由图可得
a ? a2 ? 2a ? 2 ? a ?1

……(9 分) ……(13 分)

解得 3 ? 5 ? a ? 1或2 ? a ? 3 ? 5 .

2

2

……(15 分)

21.(本小题满分 15 分)
解:(Ⅰ)证明: 要证 e?x ? 1 , 也即证 ex ? 1? 9x . 1? 9x

……(2 分)

令 F ? x? ? ex ?9x ?1 , 则 F '? x? ? ex ?9 . 令 F '? x? ? 0 , 则 x ? 2ln 3 . 因 此 , 当

0 ? x ? 2ln3 时, 有 F '? x? ? 0 , 故 F ? x? 在 ?0, 2ln 3?上单调递减; 当 2ln3 ? x ? 3 时, 有

F '? x? ? 0 , 故 F ? x? 在?2ln 3,3? 上单调递增.

……(5 分)

所以, F ? x? 在?0,3? 上的最大值为 max?F ?0?, F ?3??.

又 F ?0? ? 0 , F ?3? ? e3 ? 28 ? 0 . 故 F ?x? ? 0, x??0,3? 成立, 即 ex ?1? 9x, x??0,3?成

立. 原命题得证.

……(7 分)

(Ⅱ) 证明: 由 (I) 得: 当 x ??2,3? 时, f ? x? ? e?x ? 1 ? 1 ? 1
1? x 1?9x 1? x

令t?x? ? 1 ? 1 , 则
1?9x 1? x

t '? x?

?

? ?1? 9x??2

?9 ? ?1?

?x ?2

?

1
?1? x?2

?

9
?1? 9x?2

?

?1? 9x?2 ? 9?1? x?2 ?1? 9x?2 ?1? x?2

(9

分)

?

72x2 ? 8
?1? 9x?2 ?1?

x?2

?

0,

x ??2,3?.

所以, t ? x? 在?2,3? 上单调递增,即 t ? x? ? t ?2? ? ? 16 ? ? 16 ? ? 2 , x ??2,3?
57 56 7

所以 f ? x? ? ? 2 得证.
7

……(12 分)

下证 f (x) ? 0.

即证 ex ? x ?1
令 h(x) ? ex ? (x ?1), 则 h?(x) ? ex ?1 ? 0 ,所以 h(x) 在 ?2,3?上单调递增,

所以, h(x) ? ex ? (x ?1) ? e2 ? 3 ? 0 ,得证.

……(15 分)

另证:要证 1 ? 1 ? ? 2 ,即证 9x2 ?18x ?1 ? 0 , 1?9x 1? x 7
令 m(x) ? 9x2 ?18x ?1 ? 9( x ?1)2 ? 8 在 ?2,3?上递增,所以 m(x) ? m(2) ?1 ? 0 得证.

22.(本小题满分 15 分)

解:(1)

f

(x)

?|

x3

?1|

?x3

?

ax

?

?ax ?1, x ? 1 ??2x3 ? ax ?1, x

?1

记 f1(x) ? ax ?1(x ? 1), f2 (x) ? 2x3 ? ax ?1(x ? 1)



f

' 2

(

x)

?

6x2

?

a

,

因为

a ? ?1

则由

f

' 2

(

x)

?

0, 得x

?

?

?a 6

……(2 分)

(i)

?

a 6

? 1,即 ? 6

?

a

?

?1时 ,

f1(x)在(??,1)上递减, f2 (x)在[1,??)上递增,

所以[ f (x)]min ? f (1) ? a ?1

……(4 分)

(ii)

?

a 6

? 1,即a

?

?6时 ,

f1(x)在(??,1)上递减,

f2 (x)在[1,

? a )上递减,在[ 6

? a ,? ?)递增 , 6

所以 f (x)min ? f2 (

? a ) ? 2a 63

? a ?1 6

? 2a

综上,

f

( x) m in

?

? ?

3

? a ?1, a ? ?6 6

??a ?1,?6 ? a ? ?1

……(6 分)

(2)不妨设 t1 ? t2, 则由(1)知,若 ? 6 ? a ? ?1, 则 f2 (x) 在 (1,??) 上递增,

不满足题意,所以 a ? ?6 .

……(7 分)

所以 t1 ? (1,

?

a 6

),

t2

?

(

? a ,??) ,且 6

f (x)min ? f2 (

? a ) ? 2a 63

? a ?1 6

(i) a ?1? 2 ? 2a 3

?

a 6

?1,即 a

?

?

27 2

时,由?? ?

f1 ( x) x ?1

?

2

?

f2 (1)



?ax ?1? ??x ? 1

2

?

a

? 1 ,解得1 ?

2 a

?

x

? 1,即 t0

? (1?

2 a

,1)

所以 (m, n) ? (1? 2 ,1) ,所以 m ? 1? 2 , n ? 1,所以 n ? m ? ? 2 ? 4 ……(11 分)

a

a

a 27

(ii) a ?1? 2 ? 2a 3

?

a 6

?1,即 ?

27 2

?

a

?

? ?6时,由??

f1

(

x)

?

2

?

?? f1(x) ? 2 ?

f2 (1) f2( ?

a) 6

?ax ?1? 2 ? a ?1



? ? ??ax

?1?

2

?

2a 3

?

a

,解得1 ? ?1

2 a

?

x

?

2 3

6

?a , 6

所以 (m, n) ? (1? 2 , 2 ? a ) ,所以 m ? 1? 2 , n ? 2 ? a

a3 6

a 36

所以 n ? m ? 2 ? a ?1? 2 36 a



? a ? u ? (1, 3],则 2

6

23

?

a 6

?1?

2 a

?

2 3

u

?1?

1 3u 2

令 ? (u)

?

2 3

u

?1?

1 3u 2

,则? ' (u)

?

2 3

(1?

1 u3 )

?

0

所以

?(u)

?

2 3

u

?1?

1 3u 2

在 u ? (1, 3] 递增, 2

所以 ?(u) ? ?( 3) ? 4 ,所以 n ? m ? ?(u) ? 4 . ……(15 分)

2 27

27


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