2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高二试题

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 (高二年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本 评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适 当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1.若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为 . . 2.将 5 名大学生村官分配到某乡镇的 3 个村就职,若每个村至少 1 名,则不同的分配方案种数为 3.若 ( x 2 ? x ? 2)3 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ? a6 x 6 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? 4.已知顶角为 20 ? 的等腰三角形的底边长为 a ,腰长为 b ,则 . a 3 ? b3 ab2 的值为 . 5 . 设 an ? 2 n , bn ? 5n ? 1(n ? N* , S ? {a1 , a2 ,?, a2015 } ? {b1 , b2 ,?, ba2015 } , 则 集 合 S 中 的 元 素 的 个 数 为 . 6 . 已 知 点 P 在 Rt △ ABC 所 在 平 面 内 , ?BAC ? 90? , ?CAP 为 锐 角 , | AP |? 2 , AP ? AC ? 2 , AP ? AB ? 1 .当 | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan ?CAP ? . . 7.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面的边长为 6,侧棱长为 21 ,则该三棱锥的内切球的半径为 2 8.函数 f ( x) ? ( 1 ? x ? 1 ? x ? 2)( 1 ? x ? 1) 的值域为 . 9.已知 F1 , F2 是椭圆 x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, A, B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点,点 P 在线段 AB 上,则 4 . PF 1 ? PF2 的最小值为 p ? 1 p2 ?1 10.使得 和 都是完全平方数的最大质数 p 为 2 2 . 二、解答题(本大题共3小题,每小题20分,共60分.) 11. 设平面点集 A ? {( x, y ) | ( y ? x) ? ( y ? 求 2 x ? y 的最小值. 18 ) ? 0} ,B ? {( x, y) | ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1} . 若 ( x, y) ? A ? B , 25 x 12 . 设 Tn 是 数 列 {an } 的 前 n 项 之 积 , 满 足 Tn ? 1 ? an , n ? N* . ( 1 ) 求 数 列 {an } 的 通 项 公 式 ; (2)设 S n ? T12 ? T22 ? ? ? Tn2 ,求证: a n ?1 ? 1 1 ? S n ? a n ?1 ? . 2 3 13.过直线 x ? 2 y ? 13 ? 0 上一动点 A ( A 不在 y 轴上)作抛物线 y 2 ? 8x 的两条切线, M , N 为切点,直 线 AM , AN 分别与 y 轴交于点 B, C . (1)证明直线 MN 恒过一定点; (2)证明△ ABC 的外接圆恒过一定点, 并求该圆半径的最小值. -2 都江堰校区 段老师 2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 (高二年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按 照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标 准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1.若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为 1 3 . 150 . 2. 将 5 名大学生村官分配到某乡镇的 3 个村就职, 若每个村至少 1 名, 则不同的分配方案种数为 3.若 ( x 2 ? x ? 2)3 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ? a6 x 6 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? -4 . 4.已知顶角为 20 ? 的等腰三角形的底边长为 a ,腰长为 b ,则 a 3 ? b3 ab2 的值为 3 . 5.设 an ? 2 n , bn ? 5n ? 1(n ? N*, S ? {a1 , a2 ,?, a2015 } ? {b1 , b2 ,?, ba2015 } ,则集合 S 中的元素的个数 为 504 . 6 .已知点 P 在 Rt △ ABC 所在平面内, ?BAC ? 90? , ?CAP 为锐角, | AP |? 2 , AP ? AC ? 2 , AP ? AB ? 1 .当 | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan ?CAP ? 7 2 . 7.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面的边长为 6,侧棱长为 21 ,则该三棱锥的内切球的半径为 1 . 2 8.函数 f ( x) ? ( 1 ? x ? 1 ? x ? 2)( 1 ? x ? 1) 的值域为 [ 2 ? 2 ,8] . x2 9. 已知 F1 , F2 是椭圆 点 P 在线段 AB 上, ? y 2 ? 1 的两个焦点, A, B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点, 4 则 PF 1 ? PF2 的最小值为 ? 11 5 . 10.使得 p ? 1 p2 ?1 和 都

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