高中数学第二章平面向量241平面向量数量积的物理背景及其含义练习新人教A版必修4(含答案)

2.4.1 物理背景及其含义 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 平面向量数量积的 9 10 11 得分 一、选择题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 1.已知两个单位向量 e1,e2 之间的夹角为 θ ,则下列结论不正确的是( A.e1 在 e2 方向上的投影为 cos θ B.e1·e2=1 2 2 C.e1=e2 D.(e1+e2)⊥(e1-e2) → → 2.在△ABC 中,AB=a,BC=b,且 a·b>0,则△ABC 是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 → → → → 3.在四边形 ABCD 中,AB·BC=0,BC=AD,则四边形 ABCD 是( ) ) ) A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 4.若|b|=2|a|≠0,c=a+b,且 c⊥a,则向量 a 与 b 之间的夹角为( A.30° B.60° C.120° D.150° ) → → → → → 5.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足AP=2PM,则PA·(PB+PC) 等于( ) 4 4 A.- B. 3 3 1 4 4 C.- D. 9 9 2π 6.若非零向量 a 与 b 之间的夹角为 ,|b|=4,(a+2b)·(a-b)=-32,则|a|= 3 ( ) A.2 B.4 C.6 D.12 7.设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 之间的夹角为 60°,若向量 2te1 +7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,则实数 t 的取值范围是( ) 1 A.(-7,- ) 2 B.(-7,- C.(-7,- D.(- 14 14 1 )∪(- ,- ) 2 2 2 14 ) 2 14 1 ,- ) 2 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 8.已知单位向量 e1,e2 之间的夹角为 α ,且 cos α = .若向量 a=3e1-2e2,则|a|= 3 ________. → → → → 9.在边长为 3 的等边三角形 ABC 中,点 D 在 BC 上,且CD=2DB,则AB·CD=________. 10.已知|a|=|b|=|c|=1,且 a+b+ 3c=0,则 a·b+b·c+c·a=________. 11.设向量 a,b 满足|a|=1,|b|=1,且|ka+b|= 3|a-kb|(k>0).若 a 与 b 的夹 角为 60°,则 k=________. 三、解答题(本大题共 2 小题,共 25 分) 得分 12.(12 分)已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9. (1)求 a 与 b 之间的夹角 θ ; (2)求向量 a 在 a+b 上的投影. 13.(13 分)设 a=e1+2e2,b=-3e1+2e2,其中 e1⊥e2 且 e1=e2=1. (1)求|a+b|的值; (2)当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 互相垂直. 2 2 得分 14.(5 分)已知 a,b 是单位向量,a·b=0,若向量 c 满足|c-b-a|=1,则|c|的取 值范围为( ) A.[ 2-1, 2+1] B.[ 2-1, 2+2] 2 C.[1, 2+1] D.[1, 2+2] → → → → 15.(15 分)在△ABC 中,设BC·CA=CA·AB. (1)求证:△ABC 为等腰三角形; π 2π → → → → (2)若|BA+BC|=2,B∈[ , ],求BA·BC的取值范围. 3 3 3 1.B [解析] e1 在 e2 方向上的投影为|e1|·cos θ =cos θ ,故 A 正确;e1·e2 = 2 2 |e1||e2|cos θ =cos θ ,故 B 不正确;|e1| =|e2| =1,故 C 正确;(e1+e2)·(e1-e2)= 2 2 |e1| -|e2| =0,故 D 正确. → → → → 2.D [解析] 由AB·BC>0 知,BA·BC<0,即角 B 为钝角. → → → → 3.C [解析] 由AB·BC=0,知 AB⊥BC.由BC=AD,知 BC 綊 AD,所以四边形 ABCD 是矩 形. 2 4.C [解析] 因为 c⊥a,所以 c·a=(a+b)·a=0,即|a| +a·b=0,所以 a·b= 2 a·b -|a| 1 2 -|a| .设向量 a 与 b 之间的夹角为 θ , 则 cos θ = = 所以 θ =120°. 2 =- , |a||b| 2|a| 2 1 → 2 → → → → 5.C [解析] 由题意可知,|AP|= ,|PM|= ,根据向量的加法,知PB+PC=2PM,则 3 3 2 1 4 → → → → → PA·(PB+PC)=2|AP|·|PM|cos 180°=2× × ×(-1)=- . 3 3 9 2 2 2 2 6.A [解析] ∵(a+2b)·(a-b)=a +2a·b-a·b-2b =a +a·b-2b =-32,又 2π ? 1? 2 2 a·b=|a||b|cos =|a|×4×?- ?=-2|a| ,∴|a| -2|a|-2×4 =-32,∴|a|=2 3 ? 2? 或|a|=0(舍去). 1 2 7.B [解析] 由题意知(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,即 2t +15t+7<0,解得-7<t<- . 2 又由 2t·t-7≠0,得 t≠± 14 14 14 1 ,∴t∈(-7,- )∪(- ,- ). 2 2 2 2 1 2 2 2 8.3 [解析] 因为|a| =9|e1| -12e1·e2+4|e2| =9×1-12×1×1× +4×1=9,所 3 以|a|=3. 1 → → → → 2→ → 2 9.3 [解析] ∵CD=2DB,∴AB·CD= AB·CB= ×3×3× =3.

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