2017_2018学年高中数学第一章集合与函数1.3.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大小值课件新人教A版必修1_图文

第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最大(小)值 学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.会借助单调性求最值. 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数的最大(小)值 思考 在下图表示的函数中,最大的函数值和最小的函数值分别是多 少?1为什么不是最小值? 答案 最大的函数值为4,最小的函数值为2.1没有A中的元素与 答案 之对应,不是函数值. 梳理 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足: (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M. (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值. 如果存在实数M满足: (1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M. (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值. 知识点二 函数的最大(小)值的几何意义 思考 函数y=x2,x∈[-1,1]的图象如下: 试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值. 答案 x=±1时,y有最大值1,对应的点是图象中的最高点,x 答案 =0时,y有最小值0,对应的点为图象中的最低点. 梳理 一般地,函数最大值对应图象中的最高点,最小值对应图象中的最低 点,它们不一定只有一个. 题型探究 类型一 借助单调性求最值 x 例1 已知函数f(x)= 2 (x>0),求函数的最大值和最小值. x +1 解 则 设x1,x2是区间(0,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2, 2 2 x1?x2+1?-x2?x1+1? ?x2-x1??x2x1-1? x1 x2 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 = = 2 . 2 2 2 x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1? ?x1+1??x2+1? 当x1<x2≤1时,x2-x1>0,x1x2-1<0,f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,1]上单调递增; 当1≤x1<x2时,x2-x1>0,x1x2-1>0,f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2), ∴f(x)在[1,+∞)上单调递减. 1 ∴f(x)max=f(1)=2,无最小值. 解答 反思与感悟 (1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小 值为f(a). (2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小 值为f(b). (3)若函数 y=f(x) 有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从 各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大 (小)的. (4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性, 还要考虑端点处的函数值或者发展趋势. 2 跟踪训练1 已知函数f(x)= (x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值. x-1 解 设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2, 2[?x2-1?-?x1-1?] 2?x2-x1? 2 2 则 f(x1)-f(x2)= - = = . x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? ?x1-1??x2-1? 由2≤x1<x2≤6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0, 于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 2 所以,函数 y= 在区间[ 2,6]上是减函数. x-1 2 因此,函数 y= 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值, x-1 2 即在 x=2 时取得最大值,最大值是 2,在 x=6 时取得最小值,最小值是5. 解答 类型二 求二次函数的最值 例2 (1)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函数f(x)的最值; 解 ∵函数f(x)=x2-2x-3开口向上,对称轴x=1, ∴f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f(0)=f(2). ∴f(x)max=f(0)=f(2)=-3,f(x)min=f(1)=-4. 解答 (2)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最值; 解答 (3)已知函数f(x)=x-2 x-3,求函数f(x)的最值; 解 设 x=t(t≥0),则 x-2 x-3=t -2t-3. 2 由(1)知y=t2-2t-3(t≥0)在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. ∴当t=1即x=1时,f(x)min=-4,无最大值. 解答 (4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最 高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)= - 4.9t2 + 14.7t + 18 ,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻? 这时距地面的高度是多少?(精确到1 m) 解答 反思与感悟 (1) 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关, 求解时要注意这两个因素. (2) 图象直观,便于分析、理解;配方法说理更严谨,一般用于解 答题. 跟踪训练2 (1)已知函数f(x)=x4-2x2-3,求函数f(x)的最值; 解 设x2=t(t≥0),则x4-2x2-3=t2-2t-3. y=t2-2t-3(t≥0)在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. ∴当t=1即x=±1时,f(x)min=-4,无最大值. 解答 (2)求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值; 解 ∵函数图象的对称轴是x=a, ∴当a<2时,f(x)在[2,4]上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=6-4a. 当a>4时,f(x)在[2,4]上是减函数, ∴f(x)min=f(4)=18-8a. 当2≤a≤4时,f(x)min=f(

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