2010安徽普通高等学校招生全国统一考试数学(理)解析版_图文

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2010 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(理科)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分钟,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答 题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡 背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2.答第Ⅰ 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答 题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答第Ⅱ 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、 ... 笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色 墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超 出答题区域书写的答案无 . ........... 效,在试题卷、草稿纸上答题无效。 . .... ........ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式: 如果事件 A 与 B 互斥,那么

P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ?
那么 如果事件 A 与 B 相互独立,那么

如果 A 与 B 是两个任意事件, P ? A? ? 0 ,

P ? AB? ? P ? A? P ? B | A?

P ? AB? ? P ? A? P ? B?

第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、 i 是虚数单位,

i ? 3 ? 3i

A、 1.B

1 3 ? i 4 12

B、

1 3 ? i 4 12

C、

1 3 ? i 2 6

D、

1 3 ? i 2 6

【解析】

i i( 3 ? 3i) 3i ? 3 1 3 ? ? ? ? i ,选 B. 3?9 12 4 12 3 ? 3i
i 为分式形式的复数问题,化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复 3 ? 3i
2

【规律总结】

数 ?3i ,然后利用复数的代数运算,结合 i ? ?1 得结论. 2、若集合 A ? ? x log 1 x ?

? ? ? ?

2

1? ? ? ,则 ?R A ? 2? ?
B、 ?

A、 (??, 0] ? ? 2.A

? 2 ? , ?? ? ? 2 ? ? ?

? 2 ? , ?? ? ? 2 ? ? ?

C、 (??, 0] ? [

2 , ??) 2

D、 [

2 , ??) 2

5、双曲线方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1,则它的右焦点坐标为 A、 ? 5.C 【解析】双曲线的 a ? 1, b ?
2 2

? 2 ? ? 2 ,0? ? ? ?

B、 ?

? 5 ? ? 2 ,0? ? ? ?

C、 ?

? 6 ? ? 2 ,0? ? ? ?

D、

?

3, 0

?

? 6 ? 1 3 6 2 ,c ? ,c ? ,所以右焦点为 ? ? 2 ,0? . ? 2 2 2 ? ?
2 2 2

【误区警示】 本题考查双曲线的交点, 把双曲线方程先转化为标准方程, 然后利用 c ? a ? b
2 2

求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式,很多学生会误认为 b ? 1 或 b ? 2 ,从而 得出 错误结论. 6、设 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图象可能是
2

6.D 【解析】当 a ? 0 时, b 、 c 同号, (C) (D)两图中 c ? 0 ,故 b ? 0, ? 符合. 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a ? 0 或 a ? 0 两种 情况分类考虑.另外还 要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 7、设曲线 C 的参数方程为 ?

b ? 0 ,选项(D) 2a

? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 ? y ? ?1 ? 3sin ?

曲线 C 上到直线 l 距离为 A、1 7.B

7 10 的点的个数为 10
C、3 D、4

B、2

【解析】化曲线 C 的参数方程为普通方程: ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 ,圆心 (2, ?1) 到直线

x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离 d ?

| 2 ? 3 ? (?1) ? 2 | 7 ? 10 ? 3 ,直线和圆相交,过圆心和 l 平行的 10 10

直线和圆的 2 个交点符合要求, 又 要求,所以选 B.

7 10 7 10 , 在直线 l 的另外一侧没有圆上的点符合 ? 3? 10 10

【方法总结】解决这类问题首先把曲线 C 的参数方程为普通方程,然后利用圆心到直线的距 离 判 断 直 线 与 圆 的 位 置关 系 , 这 就 是 曲 线 C 上 到 直 线 l 距 离 为

7 10 ,然后再判断知 10

7 10 7 10 ? 3? ,进而得出结论. 10 10

8、一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为

A、280 8.C

B、292

C、360

D、372

【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体 的 4 个侧面积之 和。 S ? 2(10 ? 8 ? 10 ? 2 ? 8 ? 2) ? 2(6 ? 8 ? 8 ? 2) ? 360 . 【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的 组合体,画出直观图,得出各个 棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上 面长方体的 4 个侧面积之和。 9、动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周。已知 时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( , 秒)的函数的单调递增区间是 A、 ?0,1? 9.D 【解析】画出图形,设动点 A 与 x 轴正方向夹角为 ? ,则 t ? 0 时 ? ? 在 t ??0,1? 上 ? ? [ 增的。 【方法技巧】由动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,可知与三 角函数的定义类似,由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度,画出单位圆,很容易看出,当 t 在 [0,12] 变化时,点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调性的变化,从而得单调 递增区间. 10、设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z ,则下列 等式中恒成立的是 A、 X ? Z ? 2Y C、 Y ? XZ
2

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位: 2 2

B、 ?1,7?

C、 ?7,12?

D、 ?0,1? 和 ?7,12?

?
3

,每秒钟旋转

? ?

3? 7? , ] ,在 ?7,12? 上 ? ? [ , ] ,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调递 3 2 2 3

? , 6

B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

10.D 【分析】取等比数列 1, 2, 4 ,令 n ? 1 得 X ? 1, Y ? 3, Z ? 7 代入验算,只有 选项 D 满足。

【方法技巧】对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若 能排除 3 个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续 排除.本题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论.

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)

13.4 【解析】不等式表示的区域是一个四边形,4 个顶点是

1 (0, 0), (0, 2), ( , 0), (1, 4) ,易见目标函数在 (1, 4) 取最大值 8, 2
所以 8 ? ab ? 4 ? ab ? 4 , 所以 a ? b ? 2 ab ? 4 , a ? b ? 2 时是等号成立。 在 所以 a ? b 的 最小值为 4.

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区 域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入得 ab ? 4 ,要想求 a ? b 的 最小值,显然要利用基本不等式. 14、如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x ? ________。 14.12 【解析】程序运行如下: x ? 1, x ? 2, x ? 4, x ? 5, x ? 6, x ? 8, x ? 9, x ? 10, x ? 12 ,输出 12。 【规律总结】这类问题,通常由开始一步一步运行,根据判断条件,要么几步后就会输出结 果,要么就会出现规律,如周期性,等差或等比数列型. 15、甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球。先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A , A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑 1 球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论 中正确的是________(写出所有正确结论的编号) 。 ① P ? B? ?

2 ; 5

② P ? B | A1 ? ?

5 ; 11

③事件 B 与事件 A 相互独立; 1

④ A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件; ⑤ P ? B ? 的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中哪一个发生有关 15.②④ 【解析】易见 A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件,而

P( B) ? P ? B | A1 ? ? P ? B | A2 ? ? P ? B | A3 ? ?

5 5 2 4 3 4 9 ? ? ? ? ? ? 。 10 11 10 11 10 11 22

【方法总结】本题是概率的综合问题,掌握基本概念,及条件概率的基本运算是解决问题的 关 键 . 本 题 在 A1 , A 2 A 3 两 两 互 斥 的 事 件 , 把 事 件 B 的 概 率 进 行 转 化 , 是

P(B) ? P ? B | A1 ? ? P ? B | A2 ? ? P ? B | A3 ? ,可知事件 B 的概率是确 定的.
三、解答题:本大题 共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写 在答题卡上的指定区域内。 16、 (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3

?

?

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 AB?AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) 。

??? ??? ? ?

17、 (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 f ? x ? ? e ? 2x ? 2a, x ?R 。
x

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1。
x 2

18、 (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形, EF ∥ AB , EF ? FB ,

AB ? 2 EF , ?BFC ? 90? , BF ? FC , H 为 BC 的中点。
E F

D

C

H A B

(Ⅰ)求证: FH ∥平面 EDB ; (Ⅱ)求证: AC ? 平面 EDB ; (Ⅲ)求二面角 B ? DE ? C 的大小。

19、 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E 经过点 A? 2,3? ,对称轴为坐标轴,焦点

F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ?
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

1 。 2

(Ⅱ)求 ?F AF2 的角平分线所在直线 l 的方程 ; 1 (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。

20、 (本小题满分 12 分) 设数列 a1 , a2 ,?, an ,? 中的每一项都不为 0。 证明: ?an ? 为等差数列的充分必要条件是:对任何 n ? N ,都有

1 1 1 n 。 ? ??? ? a1a 2 a2 a3 an an?1 a1an?1

[来源:www.shulihua.net]

21、 (本小题满分 13 分) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试, 一种通常采用的测试方法如下: 拿出 n 瓶外观相同 但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之 后,再让其品尝这 n 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试。根据一轮测试中 的两次排序的偏离程度的高低为其评为。 现设 n ? 4 ,分别以 a1 , a2 , a3 , a4 表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次排序 时的序号,并令

X ? 1? a1 ? 2 ? a2 ? 3 ? a3 ? 4 ? a4 ,
则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。

(Ⅰ)写出 X 的可能值集合; (Ⅱ)假设 a1 , a2 , a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列,求 X 的分布列; (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 X ? 2 , (i)试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立) ; (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由。 http://www.shulihua.net/


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