甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析


甘肃省天水市秦安二中 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题: (每小题 3 分,共分,每小题有且仅有一个正确答案) 1.化简 sin420°的值是() A. B. C. D.﹣

2.已知向量 =(﹣2,1) , =(4,k) .若 ⊥ ,则实数 k 的值是() A.k=2 B.k=﹣2 C.k=8 D.k=﹣8

3.如果点 P(tanθ,cosθ)位于第三象限,那么角 θ 所在象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.设向量 =(1,0) , =( , ) ,给出下列四个结论:①| |=| |;② ? = 与 垂直;④ ∥ ,其中真命题的序号是() A.① 5.已知 A. B. ③ C.①④ ,则 x 的值() B.arcsin(﹣ ) C.π﹣arcsin D. D.②③

;③ ﹣

6.已知向量 =(cosθ,sinθ) ,向量 =( A.4 ,0 B.4,4

,﹣1)则|2 ﹣ |的最大值,最小值分别是() C.16,0 D.4,0

7.函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为()

A.y=2sin(2x+

)B.y=2sin(2x+

) C.y=2sin( ﹣

) D.y=2sin(2x﹣



8.要得到函数 y=cos(

)的图象,只需将函数 y=sin 的图象()

A.向左平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

9.已知 f(x)是偶函数,当.x∈[0,

]时,f(x)=xsinx,若 a=f(cos1) ,b=f(cos2) ,

c=f(cos3) ,则 a,b,c 的大小关系为() A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a 10.使函数 函数的 θ 的一个值是() A. B. C.

D.b<c<a 是奇函数,且在 上是减

D.

二、填空题: (每小题 4 分,共分) 11.函数 f(x)=2cos x+2sinx﹣1,x∈[﹣
2



]的值域为.

12.已知向量 =(2,﹣1)与向量 共线,且满足

=﹣10,则向量 =.

13.已知 为一单位向量, 与 之间的夹角是 120°,而 在 方向上的投影为﹣2,则| |=. 14.给出下列五种说法: ①函数 y=﹣sin(kπ+x) (k∈Z)是奇函数; ②函数 y=tanx 的图象关于点(kπ+ ,0) (k∈Z)对称;

③函数 f(x)=sin|x|是最小正周期为 π 的周期函数; ④设 θ 为第二象限角,则 tan
2

>cos

,且 sin

>cos



⑤函数 y=sin x+sinx 的最小值为﹣1. 其中正确的是.

三、解答题: (本题 6 个小题,共 54 分) 15.已知向量 、 满足| |=2,| |=1,且 与 的夹角为 (1) 在 的方向上的投影; (2) ( ﹣2 )? . ,求:

16. (Ⅰ) 化简: (Ⅱ)已知 α 为第二象限的角,化简:
2

; .

17.已知 sinθ、cosθ 是方程 x ﹣( (1)求 m 的值; (2)求 + 的值.

﹣1)x+m=0 的两根.

18.如图,在△ OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, (1)若 (2)若 ,求 x,y 的值; , , ,且 与 的夹角为 60°时,求



的值.

19.已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0) 、B(0,3) 、C(cosα,sinα) ,α∈( (1)若| (2)若 |=| ? |,求角 α 的值; = ,求 tanα 的值.



) .

20.已知函数 f(x)=2 (1)若 f(x)在(0,

sin(3ωx+

) ,ω>0.

)上单调递增,求 ω 的最大值;

(2)若 f(x+θ) ,θ∈(0,π)是周期为 2π 的偶函数,求 ω 及 θ 的值.

甘肃省天水市秦安二中 2014-2015 学年高一下学期期中 数学试卷

一、选择题: (每小题 3 分,共分,每小题有且仅有一个正确答案) 1.化简 sin420°的值是() A. B. C. D.﹣

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式化简所给的式子,可得结果. 解答: 解:sin420°=sin(360°+60°)=sin60°= ,

故选:A. 点评: 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式, 要特别注意符号的选取, 这是解题的 易错点,属于基础题.

2.已知向量 =(﹣2,1) , =(4,k) .若 ⊥ ,则实数 k 的值是() A.k=2 B.k=﹣2 C.k=8 D.k=﹣8

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用 ⊥ ? 解答: 解:∵ ⊥ , ∴ =﹣2×4+k=0, =0,即可解出.

解得 k=8. 故选:C. 点评: 本题考查了向量垂直于数量积的关系,属于基础题. 3.如果点 P(tanθ,cosθ)位于第三象限,那么角 θ 所在象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 三角函数值的符号;象限角、轴线角. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用角所在的象限与三角函数值的符号的关系即可得出. 解答: 解:∵点 P(tanθ,cosθ)位于第三象限,∴ ,∴θ 位于第二象限.

故选 B. 点评: 熟练掌握角所在的象限与三角函数值的符号的关系是解题的关键.

4.设向量 =(1,0) , =( , ) ,给出下列四个结论:①| |=| |;② ? = 与 垂直;④ ∥ ,其中真命题的序号是() A.① B. ③ C.①④ D.②③

;③ ﹣

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意,求出| |、| |的值,判定①是否正确; 计算 ? 的值,判定②是否正确; 计算( ﹣ )? ,判定 ﹣ 与 是否垂直,得出③是否正确; 判定 与 是否平行,得出④是否正确. 解答: 解:∵向量 =(1,0) , =( , ) , ∴①| |=1,| |= ,∴| |≠| |,∴①错误; ,∴②错误;

② ? =1× +0× = ≠

③ ﹣ =(1﹣ ,0﹣ )=( ,﹣ ) ,∴( ﹣ )? = × ﹣ × =0,∴ ﹣ 与 垂直; ∴③正确; ④∵1× ﹣0× ≠0,∴ 与 不平行;∴④错误. 综上,正确的命题是③. 故选:B. 点评: 本题考查了平面向量的应用问题, 解题时应根据平面向量数量积的知识进行运算解 答,是基础题.

5.已知 A.

,则 x 的值() B.arcsin(﹣ ) C.π﹣arcsin D.

考点: 反三角函数的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用反正弦函数的定义、诱导公式求得 x 的值. 解答: 解:根据已知 arcsin 表示在[0, ]上正弦值等于 , 的一个角,π﹣arcsin ∈(0, ) ,

且 sin[π﹣arcsin ∴x=π﹣arcsin

]=sin(arcsin ,

)=



故选:C. 点评: 本题主要考查反正弦函数的定义,诱导公式的应用,属于基础题.

6.已知向量 =(cosθ,sinθ) ,向量 =( A.4 ,0 B.4,4

,﹣1)则|2 ﹣ |的最大值,最小值分别是() C.16,0 D.4, 0

考点: 平面向量数量积的运算;三角函数的最值. 分析: 先表示 2 ﹣ ,再求其模,然后可求它的最值. 解答: 解:2 ﹣ =(2cosθ﹣ |2 ﹣ |= = ,最大值为 4,最小值为 0. ,2sinθ+1) ,

故选 D. 点评: 本题考查平面向量数量积的运算,三角函数的最值,是中档题. 7.函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为()

A.y=2sin(2x+

)B.y=2sin(2x+

) C.y=2sin( ﹣

) D.y=2sin(2x﹣



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 分析: 根据已知中函数 y=Asin (ωx+?) 在一个周期内的图象经过 (﹣ , 2) 和 (﹣ ,

2) ,我们易分析出函数的最大值、最小值、周期,然后可以求出 A,ω,φ 值后,即可得到 函数 y=Asin(ωx+?)的解析式. 解答: 解:由已知可得函数 y=Asin(ωx+?)的图象经过(﹣ 则 A=2,T=π 即 ω=2 则函数的解析式可化为 y=2sin(2x+?) ,将(﹣ ,2)代入得 ,2)点和(﹣ ,2)



+?=

+2kπ,k∈Z, +2kπ,k∈Z,

即 φ=

当 k=0 时,φ= 此时 故选 A 点评: 本题考查的知识点是由函数 y=Asin(ωx+?)的部分图象确定其解析式,其中 A= | 最大值﹣最小值|,|ω|= ,φ=L?ω(L 是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量) .

8.要得到函数 y=cos( A.向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度

)的图象,只需将函数 y=sin 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 常规题型. 分析: 先根据诱导公式进行化简,再由左加右减上加下减的原则可确定函数 的路线,即可得到选项. 解答: 解: 只需将函数 = 的图象,向左平移 = = 个单位长度得到函数 , 到

的图象.

故选 A 点评: 本题主要考查三角函数的平移. 三角函数的平移原则为左加右减上加下减. 注意诱 导公式的应用. 9.已知 f(x)是偶函数,当.x∈[0, ]时,f(x)=xsinx,若 a=f(cos1) ,b=f(cos2) ,

c=f(cos3) ,则 a,b,c 的大小关系为() A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a 考点: 正弦函数的奇偶性;奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用.

D.b<c<a

分析: 由题意可得 f(﹣x)=f(x) ,函数 f(x)在[0,

]上是增函数.再由 a=f(cos1) ,

b=f(cos2)=f(cos(π﹣2) , c=f(cos3)=f(cos(π﹣3) ,而且 cos(π﹣3)>cos1>cos(π﹣2) ,从而得到 c>a>b, 从而得到结论. 解答: 解:由于已知 f(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f(x) ,再由 f(x)=xsinx,可得函数 f(x)在[0, ]上是增函数.

再由 a=f(cos1) ,b=f(cos2)=f(﹣cos(π﹣2) )=f(cos(π﹣2) ,c=f(cos3)=f(﹣cos (π﹣3) )=f(cos(π﹣3) , 而且 cos(π﹣3)>cos1>cos(π﹣2) ,故有 c>a>b, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性、诱导公式、余弦函数的单调性,属于中档题.

10.使函数 函数的 θ 的一个值是() A. B. C.

是奇函数,且在

上是减

D.

考点: 正弦函数的奇偶性;正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 2sin(2x+θ+ θ+ ﹣ =kπ, k∈z, 当 k 为奇数时, f (x) =﹣2sin2x, 满足在 ,n∈z,当 k 为偶数时,经检验不满足条件. =2sin(2x+θ+ . 上是减函数,此时,θ=2nπ ) 是奇 ) ,由于它是奇函数,故 上是减函数, 此时, θ=2nπ

解答: 解:∵函数 函数,故 θ+ =kπ,k∈Z,θ=kπ﹣

当 k 为奇数时,令 k=2n﹣1,f(x)=﹣2sin2x,满足在 ﹣ ,n∈Z,

选项 B 满足条件. 当 k 为偶数时,令 k=2n,f(x)=2sin2x,不满足在 上是减函数.

综上,只有选项 B 满足条件. 故选 B. 点评: 本题考查两角和正弦公式,正弦函数的单调性,奇偶性,体现了分类讨论的数学思 想,化简函数的解析式是解题的突破口.

二、填空题: (每小题 4 分,共分) 11.函数 f(x)=2cos x+2sinx﹣1,x∈[﹣
2



]的值域为[﹣ , ].

考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式, 再利用正弦函数的定义域 和值域,二次函数的性质,求得函数 f(x)的值域. 解答: 解:∵函数 f(x)=2cos x+2sinx﹣1=﹣2sin x+2sinx+1=﹣2 当 x∈[﹣ , ]时,sinx∈[﹣ ,1],故当 sinx= 时,f(x)取得最大值为 ;
2 2

+ ,

当 sinx=﹣ 时,f(x)取得最小值为﹣ , 故函数的值域为[﹣ , ], 故答案为:[﹣ , ]. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系, 正弦函数的定义域和值域, 二次函数的性 质,属于基础题.

12.已知向量 =(2,﹣1)与向量 共线,且满足

=﹣10,则向量 =(﹣4,2) .

考点: 数量积的坐标表达式. 专题: 向量法. 分析: 设出 的坐标,利用向量共线的坐标形式的充要条件和向量的坐标形式的数量积公 式列出方程组求出向量的坐标. 解答: 解:设 ,

则有 解得 x=﹣4,y=2. 故答案为(﹣4,2) 点评: 本题考查向量共线的坐标形式的充要条件、向量的坐标形式的数量积公式.

13.已知 为一单位向量, 与 之间的夹角是 120°,而 在 方向上的投影为﹣2,则| |=4. 考点: 向量的模. 专题: 计算题.

分析: 利用向量数量积的几何意义: 向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在第 一个向量上的投影. 解答: 解: 在 方向上的投影为 =﹣2 ∴ 故答案为:4 点评: 本题考查向量数量积的几何意义;解答关键是利用数量积求出向量的投影. 14.给出下列五种说法: ①函数 y=﹣sin(kπ+x) (k∈Z)是奇函数; ②函数 y=tanx 的图象关于点(kπ+ ,0) (k∈Z)对称;

③函数 f(x)=sin|x|是最小正周期为 π 的周期函数; ④设 θ 为第二象限角,则 tan
2

>cos

,且 sin

>cos



⑤函数 y=sin x+sinx 的最小值为﹣1. 其中正确的是①②. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①利用诱导公式与正弦函数的奇偶性可判断; ②利用正切函数的对称性可判断; ③结合函数 y=sin|x|的图象如图可判断; ④取值验证即可判断; ⑤由 y=sin x+sinx=(sinx+ ) ﹣ ,及正弦函数的有界性可判断;
2 2

解答: 解:①函数 y=﹣sin(kπ+x) ,y=

,是奇函数,故①正确; ,0) (k∈Z)对

②函数 y=tanx 的图象的对称中心为(

,0) ,故其图象关于点(kπ+

称,故②正确; ③函数 y=sin|x|得图象如图所示,由图象可知函数不是周期函数,③错误

④当 θ 为第二象限的角,不妨取 θ=480°,则 sin =sin240°=﹣sin60°=﹣ ,cos

=240°,tan

=tan240°=tan60°= <cos

, ,故

=cos240°=﹣cos60°=﹣ ,sin

<tan

④错误; ③因为 y=sin x+sinx=(sinx+ ) ﹣ ,所以当 sinx= ﹣ ,故⑤错误. 故答案为:①② 点评: 本题考查命题的真假判断与应用, 着重考查三角函数性质, 考查综合分析与运算能 力,属于中档题. 三、解答题: (本题 6 个小题,共 54 分) 15.已知向量 、 满足| |=2,| |=1,且 与 的夹角为 (1) 在 的方向上的投影; (2) ( ﹣2 )? . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量投影的定义即可得出; (2)利用数量积的定义和运算性质即可得出. 解答: 解: (1)∵| |=2, 与 的夹角为 ∴ 在 的方向上的投影= (2)∵ = ﹣2 = =﹣1﹣2=﹣3. = , =﹣1. =﹣1. ,求:
2 2

时,yy=sin x+sinx 取得最小值为

2

∴( ﹣2 )? =

点评: 本题考查了向量投影的定义、数量积的定义和运算性质,属于基础题.

16. (Ⅰ) 化简: (Ⅱ)已知 α 为第二象限的角,化简:

; .

考点: 三角函数的化简求值;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ) 利用三角函数的诱导公式化简; (Ⅱ)利用三角函数的基本关系式对代数式变形、化简. 解答: 解: (Ⅰ) = = (Ⅱ) = =﹣cosα.

?=

. ∵α 是第二象限角,∴cosα<0,sinα>0 上式= + =cosα﹣1+1﹣cosα=0.

点评: 本题考查了利用三角函数诱导公式以及基本关系式化简三角函数式; 注意三角函数 符号以及名称. 17.已知 sinθ、cosθ 是方程 x ﹣( (1)求 m 的值; (2)求 + 的值.
2

﹣1)x+m=0 的两根.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件利用韦达定理可得 ,化简求得 m 的值.

(2)利用同角三角函数的基本关系化简 得结果. 解答: 解: (1)由条件利用韦达定理可得

+

为 cosθ+sinθ,再由(1)求



化简可得 m= ﹣ (2) +

. = +

=

=cosθ+sinθ=

﹣1.

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,韦达定理的应用,属于基础题. 18.如图,在△ OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, (1)若 (2)若 ,求 x,y 的值; , , ,且 与 的夹角为 60°时,求 的值.



考点: 平面向量数量积的运算;向量的加法及其几何意义;向量的三角形法则;数量积表 示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: (1) ,据相等向量的定义及向量的运算法则:三角形法则求出 基本定理求出 x,y 的值 (2) 利用向量的运算法则将 用 表示, 利用向量数量积的运算律将 用 ,利用平面向量

的模及它们的数量积表示求出值. 解答: 解: (1)∵ ∴ ∴ (2)∵ ∴ ,即 ,即 , ,即 , , ,

∴ ∴ ,

= = 点评: 本题考查向量的加法、减法的运算法则;向量的数量积及其运算律; 利用运算法则将未知的向量用已知向量表示, 从而将未知向量的数量积, 用已知向量的数量 积表示. 19.已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0) 、B(0,3) 、C(cosα,sinα) ,α∈( (1)若| (2)若 |=| ? |,求角 α 的值; = ,求 tanα 的值.



) .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)首先求出两个向量的坐标,然后利用 α 表示等式,得到 α; (2)利用向量的数量积公式得到 α 的三角函数等式,然后利用三角函数的基本关系式求 α 的正切. 解答: 解: (1)∵ ∴| | 由| |= |=| |,得 sinα=cosα.又∵α∈( , |= . ) ,∴α= . =(cosα﹣3,sinα) , =(cosα,sinα﹣3) , ,

(2)由

= ,得(cosα﹣3)cosα+sinα(sinα﹣3)= . ,

∴sinα+cosα= >0,故
2

∴(sinα+cosα) =

=

=

,解得

tanα=

(舍去)或



点评: 本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的数量积、 向量模的计算; 考查学生的计 算能力.

20.已知函数 f(x)=2 (1)若 f(x)在(0,

sin(3ωx+

) ,ω>0.

)上单调递增,求 ω 的最大值;

(2)若 f(x+θ) ,θ∈(0,π)是周期为 2π 的偶函数,求 ω 及 θ 的值. 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数的解析式利用正弦函数的单调增区间,求得函数的增区间为 [ , ],依题意知, (0, )?[﹣ , ],可得 ,由



此求得 ω 的最大值. (2)根据函数 f(x+θ)=2 sin(3ωx+3ωθ+ ) ,此函数的周期 T= =kπ+ =2π,求得 ω 的值, ,再结合 θ∈(0,π) ,

再根据 f(x+θ)为偶函数,可得 sin(θ+ 求得 θ 的值. 解答: 解: (1)对于函数 f(x)=2 ﹣ ,k∈z,

)=±1,故 θ+

sin(3ωx+

) ,ω>0,令 2kπ﹣

≤3ωx+

≤2kπ

求得

≤x≤

,可得函数的增区间为[ )?[﹣ , ],∴ ≤

, ,∴ω≤ ,

],

依题意知,当 k=0 时, (0, 即 ω 的最大值为 . (2) 函数 ( f x+θ) =2

sin[3ω (x+θ) +

]=2

sin (3ωx+3ωθ+ ) ,为偶函数,

) , 故函数的周期 T=

=2π,

求得 ω= ,∴f(x+θ)=2 ∴当 x=0 时,sin(θ+

sin(x+θ+

)=±1,∴θ+ .

=kπ+

,即 θ=kπ+

,k∈z.

再结合 θ∈(0,π) ,可得 θ=

点评: 本题主要考查正弦函数的单调性、周期性和奇偶性,根据三角函数的值求角,属于 基础题.


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