高一数学-4.6三角函数的图象与性质(二) 精品

4.6 ●知识梳理 1.三角函数的图象和性质 函 性 质 定义域 值域 图象 奇偶性 周期性 单调性 对称性 数 三角函数的图象与性质(二) y=sinx y=cosx y=tanx 注:读者自己填写. 2.图象与性质是一个密不可分的整体,研究性质要注意联想图象. ●点击双基 1.函数 y=sin( A.2π 解析:y= π -2x)+sin2x 的最小正周期是 3 B.π C. π 2 D.4π 3 3 1 1 π cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x) ,T=π . 2 2 2 2 3 答案:B 2.若 f(x)sinx 是周期为π 的奇函数,则 f(x)可以是 A.sinx B.cosx C.sin2x 解析:检验. 答案:B 3.(2004 年天津,理 9)函数 y=2sin( A.[0, C.[ D.cos2x π -2x) (x∈[0,π ] )为增函数的区间是 6 B.[ D.[ π ] 3 π 7π , ] 12 12 5π ,π ] 6 π 5π , ] 3 6 解析:由 y=2sin( 间得到,即 2kπ + ∴kπ + π π π -2x)=-2sin(2x- )其增区间可由 y=2sin(2x- )的减区 6 6 6 π π 3π ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z. 2 6 2 π 5π ≤x≤kπ + ,k∈Z. 3 6 令 k=0,故选 C. 答案:C π 个单位,得到函 3 数____________的图象; 再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 而纵坐标保 持不变,得到函数____________的图象. 4.(2005 年北京东城区高三期末检测题)把 y=sinx 的图象向左平移 解析:向左平移 π π π 个单位,即以 x+ 代 x,得到函数 y=sin(x+ ) ,再把所得图象上 3 3 3 1 1 π x 代 x,得到函数:y=sin( x+ ). 2 2 3 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,即以 答案:y=sin(x+ π 1 π ) y=sin( x+ ) 3 2 3 5.函数 y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______. 解析:由 cosx-sinx>0 ? cosx>sinx.由图象观察,知 2kπ - 3π π <x<2kπ + (k∈Z). 4 4 y y =s i n x 答案:2kπ - ●典例剖析 3π π O <x<2kπ + (k∈Z) 4 4 ? 2 y =c o s x 2 ? x 【例 1】 (1)y=cosx+cos(x+ (2)y=2sin(3x- π )的最大值是_______; 3 π )的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______. 4 3 1 cosx- sinx 2 2 3 3 3 1 = cosx- sinx= 3 ( cosx- sinx) 2 2 2 2 π = 3 sin( -x). 3 剖析: (1)y=cosx+ 所以 ymax= 3 . (2)T= 2π π ,相邻对称轴间的距离为 . 3 3 π 3 【例 2】 (1)已知 f(x)的定义域为[0,1) ,求 f(cosx)的定义域; (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域. 剖析:求函数的定义域: (1)要使 0≤cosx≤1, (2)要使 sin(cosx)>0,这里的 cosx 以它的值充当角. π π 解: (1)0≤cosx<1 ? 2kπ - ≤x≤2kπ + ,且 x≠2kπ (k∈Z). 2 2 答案: 3 π π ,2kπ + ]且 x≠2kπ ,k∈Z}. 2 2 (2)由 sin(cosx)>0 ? 2kπ <cosx<2kπ +π (k∈Z).又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx ∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ - π π ,2kπ + ) ,k∈Z}. 2 2 评述:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角 函数线. 【例 3】 求函数 y=sin6x+cos6x 的最小正周期,并求 x 为何值时,y 有最大值. 剖析:将原函数化成 y=Asin(ω x+ ? )+B 的形式,即可求解. ≤1.故所求定义域为{x|x∈(2kπ - 解 : y=sin6x+cos6x= ( sin2x+cos2x ) ( sin4x - sin2xcos2x+cos4x ) =1 - 3sin2xcos2x=1 - 3 2 5 3 sin 2x= cos4x+ . 4 8 8 ∴T= π . 2 kπ (k∈Z)时,ymax=1. 2 当 cos4x=1,即 x= 深化拓展 函数 y=tan(ax+θ ) (a>0)当 x 从 n 变化为 n+1(n∈Z)时,y 的值恰好由-∞变为+∞, 则 a=_______. 分析:你知道函数的周期 T 吗? 答案:π ●闯关训练 夯实基础 1.(2004 年辽宁,11)若函数 f(x)=sin(ω x+ ? )的图象(部分)如下图所示,则ω 和 ? 的取值是 y 1 π A.ω =1, ? = 3 C.ω = π ? O2 ? B. ω =1, ? =- x 3 3 3 D.ω = 1 π ,? = 2 6 1 π , ? =- 2 6 解析:由图象知,T=4( 又当 x= 2π π 2π 1 + )=4π = ,∴ω = . 3 3 ? 2 2π 1 2π 时,y=1,∴sin( × + ? )=1, 3 2 3 π π π + ? =2kπ + ,k∈Z,当 k=0 时, ? = . 3 2 6 答案:C π 2.(2004 年北京海淀区二模题)f (x)=2cos2x+ 3 sin2x+a(a 为实常数)在区间 [0, ] 2 上的最小值为-4,那么 a 的值等于 A.4

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