数列通项与求和

数列通项与求和
求通项方法:先看递推关系式 1、 已知等差数列?an ?中,a2 ? a5 ? a8 ? 21, a3a5 a7 ? 336, 则通项公式 2、 (1) 已知数列?an ?的前n项和为Sn ,已知Sn =2n2 ? 3n ? 5, 则通项公式
2 n-1

.(已知类型) .(已知Sn ) .

(2) 已知数列{an}满足 a1+3a2+3 a3+…+3 an=n/3,则数列{an}的通项公式为

, 2, 3, ? ),且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的 3.数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数 , n ? 1
等比数列,则通项公式是______. 累加法
2 2 4.{ an }是首项为 1 的正项数列且 (n ? 1)an ,则 an = ?1 ? nan ? an?1an ? 0

累乘法 。

5.已知各项均正数的数列{an}前 n 项和 Sn >1, 且 6Sn=(an+1)(an+2), 通项公式为 构造数列: 6.数列{ an }满足 an ? 2an?1 ? 2n ?1 (n ? 2) 且 a4 ? 81 。 求 (1) a1 、 a 2 、 a3 (2) 是否存在实数 ? ,使数列 { 的值及 an ;若不存在,说明理由。

an ? ? } 为等差数列?若存在求出 ? 2n

7.数列 ?an ? 中, a1 ? 6 ,且 an ? an?1 ? an?1 ? n ? 1 ( n ? N * , n ≥ 2 ) ,则 an ?
n
3 8.已知 a1 ? 1, an ? 3an ?1 ,则 an =



. .

n 9.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 4 , 2 ? an?1 ? 12 , 则? 1 ? 3 an ? 6 i ?1 ai

10. 已知数列?an ? , a1 ? 4, an ? 4 ?

4 1 (n ? 2),设bn ? . an ?1 an ? 2

(1) 数列?bn ? 是等差数列吗?试判断并给出证明; (2) 数列?an ?的通项公式

11. 数列{an}满足 a1=2,an+1=

2 ?an+2?,n∈N*,则通项公式 b =________. ,bn=? ? n an+1 ?an-1?
*

12.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N . (Ⅰ)设 bn ? Sn ? 3 ,求数列 ?bn ? 的通项公式;
n

(Ⅱ)若 an?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

求和方法:求和先看通项是什么结构 1 4 1.已知等比数列 {an } 的首项为 , 公比为 ? 1 , 其前 n 项和为 Sn , 若 A ?S n ? ? B 3 3 Sn
n ? N * 恒成立,则 B-A 的最小值___________.公式法 2x 3 1 2 100 2.已知函数 f(x)= )+f( )++f( )=___________.(倒序相加) 2x,则 f( 3+3 101 101 101



3.已知数列?an ? , an ? (2n ?1)(3n?1 ? 3n ), 则数列?an ?的前n项和Sn ___________。 (错位相减) 4.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ?
1 ,则 S5 等于 n(n ?1)

。 (裂项求和)

?3n ? 1, n为奇数, 则数列 ?a ? 的前 n 项的和___________.(分组求和) 5、已知 a ? ? n ? n n ? ?3 , n为偶数,
n 6、已知 an ? (-1) ? (2n ? 3) 则数列 ?an ? 的前 n 项的和___________.(并项求和)

7.等差数列 {an } 首项为 1 ,公差为 2,若 a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ???? ?a2n a2n?1 ? t ? n2 对 n ? N 恒成立,则实数 t 范围是____.
*

8. 已知数列 {an} 满足 3an+1+an=4(n∈N*), 且 a1=9, 其前 n 项之和为 Sn , 则满足不等式 |Sn-n-6|< 1 的最小整数 n 是______ . 125

9. 数列{an}满足对任意 n ? N * ,均有 an ? an?1 ? an?2 恒为定值,且 a7 ? 2, a9 ? 3, a98 ? 4 则 数列{an}的前 100 项和 S100 ? ______. 10.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n = (?1)n n , 若对任意正整数 n, ? an?1 ? p?? an ? p? ? 0 恒成立,则实数 p 的取值范围为______. 11.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,2 与 an 的等差中项等于 2 与 S n 的等比中项, (1)求 ?an ? 的通项公式; (2) bn ?

1 a2 n ?1 a2 n ( ? )求 数列 {bn } 的前 n 项和 Tn. 2 a2 n a2 n ?1

12. 已知数列 {an } 是各项均不为 0 的等差数列, S n 为其前 n 项和,且满足 an ? S 2n?1 ,令

2

bn ?

1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn 。 a n ? a n ?1

(1)求数列 {an } 的通项公式及数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (2) 是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n) , 使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由。

13.已知数列 {an } 的首项 a1 ?

3 3an , an?1 ? , n ? 1, 2? 5 2an ? 1

? ? (1)求证:数列 ? 1 ? 1? 为等比数列 ? an ?

(2)记 Sn ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,若 Sn ? 100 ,求最大的正整数 n a1 a2 an (3) 是否存在互不相等的正整数 m,s,n 使成等差数列且 am ?1, as ?1, an ?1 成等比数列? 若存在,请给出证明,若不存在,请说明理由。

14. 已知各项均为正数的两个无穷数列 {an } 、 {bn } 满足 anbn?1 ? an?1bn ? 2nan?1 (n ? N * ) . (Ⅰ)当数列 {an } 是常数列(各项都相等的数列) ,且 b1 ?

1 时,求数列 {bn } 的通项公式; 2

(Ⅱ) 设 {an } 、{bn } 都是公差不为 0 的等差数列, 求证: 数列 {an } 有无穷多个, 而数列 {bn } 惟一确定; (Ⅲ)设 an?1 ?
2n S 2an 2 ? an ?6. (n ? N * ) , Sn ? ? bi ,求证: 2 ? n n2 an ? 1 i ?1


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