河北省冀州中学10-11学年高一下学期期末考试(数学理)A卷

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试卷类型:A 卷

河北冀州中学 高一年级数学(理)试题

2010-2011 学年度下学期期末考试

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项只有一项是符合 要求的) 。 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是 (
2

)

A.1

B.0

C.-1

D.1 或-1 )

2 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

??
A.

3 3

2? ?

B.

3 3

C. 2? ? 3 3.函数 y ? 2 cos 2 ( x ?

D. ? ? 3

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 ? ? C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 2 2 a 4. 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , S 2 n ? 3(a1 ? a3 ? ? ? a 2 n ?1 ) , 1 a 2 a 3 ? 8 , 若 则 a10 等于( ) A.-512 B.1024 C.-1024 D.512 5.一条光线沿直线 2x-y+2=0 入射到直线 x+y-5=0 后反射,则反射光线所在的直 线方程为( ) A. 2x+y-6=0 B. x+2y-9=0 C.x-y+3=0 D.x-2y+7=0 6. 已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ① m ? ? , m ? ?,则? ? ? ; 若 ② m ? ? , n ? ? , m // ?,n // ? , 则? // ? ; 若 n ③ 如果 m ? ? , n ? ? , m、n是异面直线,那么 与? 相交; ④ ? ? ? ? m, n // m,且n ? ? , n ? ?,则n // ?且n // ? . 其 中 正 确 的 命 题 是 若 ( ) A.① ② B.② ③ C.③ ④ D.① ④

) ? 1 是( 4 A.最小正周期为 ? 的奇函数

?



? x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 7、设 O 为坐标原点,点 A(1, 1),若点 B( x, y )满足 ?0 ? x ? 1 ,则 ?0 ? y ? 1 ? ??? ??? ? ? OA ? OB 取得最大值时,点 B 的个数是( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个 8. 甲乙两位同学在高三的 5 次月考中数学成绩统计如茎叶图所 示,若甲乙两人的平均成绩分别是 x甲,x乙 , 则下列正确的是(
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甲 8 7 2 7 8





6 8 8 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 8 2 9 1 0

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A. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定

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B. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 )

9、圆 x2+y2-2x-1=0 关于直线 2x-y+3=0 对称的圆的方程是( A.(x+3)2+(y-2)2=
1 2

B.(x+3)2+(y+2)2=

1 2

C.(x+3)2+(y-2)2=2

D.(x+3)2+(y+2)2=2

10.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0,C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线条 数( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 11.对于 a∈R,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心,以 5为 半径的圆的方程为( ) 2 2 A.x +y -2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 12. 在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z),关于下列叙述 ①点 P 关于 x 轴对称的坐标是 P1(x,-y,z) ②点 P 关于 yox 轴对称的坐标是 P2(x,-y,-z) ③点 P 关于 y 轴对称的坐标是 P3(x,-y,z) ④ 点 P 关 于 原 点 对 称 的 坐 标 是 P4( - x, - y, - z), 其 中 正 确 的 个 数 是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 1 1 13、 x,y 为正实数, x+2y=1,则 ? 的最小值为 设 且 。 x y 14.某学校共有师生 2 400 人,现用分层抽样的方法,从所有 师生中抽取一个容量为 160 的样本.已知从学生中抽 取的人数为 150,那么该学校的教师人数是 _____ 1 15.过点 P ( ,1) 的直线 l 与圆 C : ( x ?1)2 ? y 2 ? 4 交于 A, B 两 2 点,当 ?ACB 最小时,直线 l 的方程为 。 16.若框图所给的程序运行的结果为 S ? 132 ,那么判断 框中应填入的关于 k 的判断条件是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 。 17、 (本小题满分 10 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40, 50),[50, 60),…,[90, 100] 后 得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
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(I)求分数在 [70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估 计本次考试的平均分; (Ⅲ) 根据频率分布直方图估计这次高一年级期中考试的学生成绩的中位数 (保留整数)。 18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 ?? ? ?? ? x x x m ? ( 3 sin ,1), n ? (cos , cos2 ), f ( x ) ? m ? n 。 4 4 4 ? (1)若 f(x)=1,求 cos( +x)的值; 3 (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC, 求函数 f(A)的取值范围。 19. (本小题满分 12 分)已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如 下表,若用甲、乙、丙三种食物各 x 千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合 食物,并使混合食物内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. 甲 乙 丙 维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 600 800 700 400 9 400 500 4

11 成本(元/千克) (Ⅰ)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (Ⅱ)确定 x,y,z 的值,使成本最低.

20. (本小题满分 12 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? a ,又 PA ⊥平 面 ABCD , PA ? 4 . (Ⅰ)若在边 BC 上存在一点 Q ,使 PQ ? QD , 求 a 的取值范围; (Ⅱ)当边 BC 上存在唯一点 Q ,使 PQ ? QD 时, 求二面角 A ? PD ? Q 的余弦值.

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21. (本小题满分 12 分) 已知某种稀有矿石的价值 y(单位: 与其重量 ?(单 元) 位:克)的平方成正比,且 3 克该种矿石的价值为 54000 元。 ⑴写出 y (单位:元)关于 ? (单位:克)的函数关系式; ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为 1: 3 的两块矿石,求价值损失的百分率; ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时,切割的重量比为多少时,价值损失的 百分率最大。 (注:价值损失的百分率 ? 过程中的重量损耗忽略不计) 22. (本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列 {an } 中, a1 ? 1, S n 是数列 ?an ? 1 的前 n 项和,对任意 n ? N ? ,有 2S n ? 2an ? an ? 1.函数 f ( x) ? x 2 ? x ,数列 , 3 1 3 {bn } 的首项 b1 ? , bn ?1 ? f (bn ) ? . , 4 2 5 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 1 (Ⅱ)令 c n ? log 2 (bn ? ) 求证: {cn } 是等比数列并求 {cn } 通项公式; 2
2

原有价值 ? 现有价值 原有价值

?100% ;在切割

(Ⅲ)令 d n ? an ? cn , (n为正整数) ,求数列 {d n } 的前 n 项和 Tn .

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高一下学期期末考试答案(理)
A卷 13、 3 ? 2 2 CAADD 14. DBCCB 150 CC B卷 CDDAA ACCCC CD 15. 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 16. k≤10? 17、解: (Ⅰ)1-(0.05+0.1+0.15+0.15+0.25) = 0.30 ……………………2 分 补全直方图略 ……………………………………………………4 分 (Ⅱ)45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05 = 71 ……8 分 (Ⅲ)73

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19.解: (Ⅰ)由题, c ? 11x ? 9 y ? 4 z ,又 x ? y ? z ? 100 , 所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y .2 分 ( Ⅱ ) 由

y 3x-y=130

?600 x ? 700 y ? 400 z ? 56000 , 及z ? 100 ? x ? y 得 , ? ?800 x ? 400 y ? 500 z ? 63000 ?4 x ? 6 y ? 320 ,6 分 ? ?3x ? y ? 130
所以, 7 x ? 5 y ? 450. 所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y ? 400 ? 450 ? 850, 8分

M 4x+6y=320 x

?4 x ? 6 y ? 320 ? x ? 50 当且仅当 ? 时等号成立. , 即? ?3x ? y ? 130 ? y ? 20
所以,当 x=50 千克,y=20 千克,z=30 千克时,混合物成本最低,为 850 元.12 分 20. 解法 1: Ⅰ) ( 如图, AQ , 连 由于 PA⊥平面 ABCD, 则由 PQ⊥QD, 必有 AQ ? DQ . ……2 分 设 BQ ? t ,则 CQ ? a ? t , 在 Rt?ABQ 中,有 AQ ? t 2 ? 4 . 在 Rt?CDQ 中,有 DQ ?
2

?a ? t ?

2

?4.

……4 分

在 Rt?ADQ 中,有 AQ 2 ? DQ 2 ? AD 2 . 即 t 2 ? 4 ? ? a ? t ? ? 4 ? a 2 ,即 t 2 ? at ? 4 ? 0 . ∴a ? t ? 故 ? 4, ?? ? .
4 ? 4. t a







范 ……6 分





(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a ? 4 时,边 BC 上存在唯一点 Q(Q 为 BC 边的 中点) ,使 PQ⊥QD. 过 Q 作 QM∥CD 交 AD 于 M,则 QM⊥AD. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥QM.∴QM⊥平面 PAD. 过 M 作 MN⊥PD 于 N,连结 NQ,则 QN⊥PD. ∴∠MNQ 是二面角 A-PD-Q 的平面角. …… 8分 在等腰直角三角形 PAD 中,可求得 MN ? 2 ,又 MQ ? 2 ,进而 NQ ? 6 . ……10 分 MN 2 3 ∴ cos ?MNQ ? . ? ? NQ 3 6
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3 . 3
……12 分

故二面角 A-PD-Q 的余弦值为

21.解⑴依题意设 y ? k? 2 (? ? 0) ,又当 ? ? 3 时, y ? 54000 ,∴ k ? 6000 , 故 y ? 6000? 2 (? ? 0) 。 4分

⑵设这块矿石的重量为 a 克,由⑴可知,按重量比为 1 : 3 切割后的价值
1 3 1 3 为 6000( a) 2 ? 6000( a) 2 ,价值损失为 6000a 2 ? (6000( a) 2 ? 6000( a)2 ) , 4 4 4 4 1 3 6000a 2 ? [6000( a) 2 ? 6000( a) 2 ] 4 4 价值损失的百分率为 ?100% ? 37.5% 。8 分 6000a 2

⑶解法 1: 若把一块该种矿石按重量比为 m : n 切割成两块, 价值损失的百分率应 为
m?n 2 2?( ) 2mn 1 m 2 n 2 2mn 2 ? ? ,当且仅当 m ? n 1 ? [( ) ?( ) ]? ,又 2 2 2 ( m ? n) (m ? n) 2 m?n m?n ( m ? n)

时取等号,即重量比为 1:1 时,价值损失的百分率达到最大。12 分 解法 2:设一块该种矿石切割成两块,其重量比为 x :1 ,则价值损失的百分率为
x 2 1 2 2x 1 ? [( ) ?( ) ]? 2 ,又 x ? 0 ,∴ x 2 ? 1 ? 2 x , 1? x 1? x x ? 2x ?1 2x 2x 1 ? ? ,等号当且仅当 x ? 1 时成立。 故 2 x ? 2x ?1 2x ? 2x 2

答:⑴函数关系式 y ? 6000? 2 (? ? 0) ;

⑵价值损失的百分率为 37.5% ;

⑶故当重量比为 1:1 时,价值损失的百分率达到最大。
1 22.解: (Ⅰ)由 2S n ? 2an ? an ? 1
2



得 2S n?1 由②—①,得

, 3 ② ? 2an?1 ? an?1 ? 1 , 2 2 2an?1 ? 2(an?1 5 an ) ? (an?1 ? an ) ?
2

即: 2(an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) ? 0

---------2 分

? (an?1 ? an )(2an?1 ? 2an ? 1) ? 0 由于数列 ?an ? 各项均为正数, ? 2an?1 ? 2an ? 1

a n ?1 ? a n ? 1 1 ? 数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 的等差数列, 2 2

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? 数列 ?an ? 的通项公式是

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1 n ?1 ? 2 2

a n ? 1 ? (n ? 1) ?

----------4

分 (Ⅱ)由 bn ?1 ? f (bn ) ? 所以 bn ?1 ?
1 1 2 知 bn ?1 ? bn ? bn ? , 4 4

1 1 ? (bn ? ) 2 , 2 2 1 1 1 有 log 2 (bn ?1 ? ) ? log 2 (bn ? ) 2 ? 2 log 2 (bn ? ) ,即 cn?1 ? 2cn ,---------6 分 2 2 2 1 而 c1 ? log 2 (b1 ? ) ? log 2 2 ? 1 , 2

故 {cn } 是以 c1 ? 1 为首项,公比为 2 的等比数列。 所 ---------8 分 (Ⅲ) d n ? a n ? c n ?
n ? 1 n ?1 ? 2 ? (n ? 1)2 n ? 2 , 2



cn ? 2 n?1

所以数列 {d n } 的前 n 项和 Tn ? 2 ? 2 ?1 ? 3 ? 20 ? ? ? n ? 2 n?3 ? (n ? 1)2 n?2 错位相减可得 Tn ? n ? 2 n ?1 -----12 分

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