2018-2019学年高中数学(人教A版)必修4课件:2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义 1.平面向量数量积的定义 非零向量a,b的夹角为θ,数量_|_a_|_|_b_|_c_o_s_θ__叫做向量 a与b的数量积,记作a·b,即a·b= |_a_|_|_b_|_c_o_s_θ___,特别 地,零向量与任何向量的数量积等于_0_. 2.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念: ①b在a的方向上的投影为_|_b_|_c_o_s_θ__; ②a在b的方向上的投影为_|_a_|_co_s_θ__. (2)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与 _b_在__a_的__方__向__上__的__投__影__|_b_|_c_o_s_θ__的乘积. 3.向量数量积的性质 垂直向量 平行向量 同向 反向 a·b=__0 a·b= __|_a_|_|_b_| a·b= __-_|_a_|_|_b_| 向量的模 求夹角 a·a=|a|2或|a|=___a_g_a__ agb cosθ=__|_a_||_b_|___ 不等关系 a·b≤__|_a_|_|_b_| 4.向量数量积的运算律 (1)a·b=_b_·__a_(交换律). (2)(λa)·b= _λ__(_a_·__b_)_= _a_·__(_λ__b_)_(结合律). (3)(a+b)·c=__a_·__c_+_b_·__c_(分配律). 【点拨】(1)关于数量积的结果 ①非零向量数量积的运算结果是一个数量, 当0°≤θ<90°时,a·b>0; 当90°<θ≤180°时,a·b<0; 当θ=90°时,a·b=0. ②特别地,如若a或b等于零,则a·b=0. (2)关于数量积的几何意义 ①向量a在b方向上的投影为|a|cosθ,是一个数量,投 影的值由向量a的模、两向量的夹角的余弦决定,而与 向量b的模无关. ②向量a在b方向上的投影还可以表示成 agb . b (3)关于数量积的运算律 数量积对向量的结合律不成立,对于平面内的任意三个 向量a,b,c,如果(a·b)·c=a·(b·c),则λc=μa (λ,μ∈R),即a,c共线,与a,c为任意向量不符,只有在 特殊情况下,如三个向量都同向时,才能相等. 【自我检测】 1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|= 3 ,且a与b的夹角为 30°,那么a·b等于 ( ) A.1 B. 3 C.3 D.3 3 【解析】选C.向量a,b满足|a|=2,|b|= 3 ,且a与b的夹 角为30°,那么a·b=|a||b|cos<a,b>= 2 3 ? 3 ? 3. 2 2.已知|b|=3,a在b方向上的投影是 2 3 ,则a·b为( ) A. 1 B. 4 C.3 D.2 3 3 【解析】选D.由数量积的几何意义知,a·b= 2 3 ×3=2. 3.已知a·b=-12 2 ,|a|=4,a和b的夹角为135°,则 |b|= ( ) A.12 B.3 C.6 D.3 3 【解析】选C.a·b=|a||b|cos135°=-12 2, 又|a|=4,解得|b|=6. 4.若a·b<0,则a与b的夹角θ的取值范围是________. 【解析】因为a·b=|a||b|cosθ<0, 所以cosθ<0, 又θ∈[0,π],所以θ∈ 答案: ( ?,?] 2 .( ?,?] 2 5.下面给出的关系式中正确的个数是________. ①0·a=0; ②a·b=b·a; ③a2=|a|2; ④|a·b|≤a·b; ⑤(a·b)2=a2·b2. 【解析】显然①②③正确;|a·b|≥a·b, ④错误;(a·b)2=(|a|·|b|cosθ)2=a2·b2cos2θ,⑤ 错误. 答案:①②③ 类型一 向量数量积的计算及其几何意义 【典例】1.已知△ABC是边长为1的 等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延 长到点F,使得DE=2EF,则 uuur uuur AFgBC 的值为 ( ) A. ? 5 8 B.1 C. 1 8 4 D.11 8 2.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=5,则2a-b 在a方向上的投影为 ( ) A. 3 B.2 C. 5 D.3 2 2 3.已知向量a与b满足|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹 角为120°.求: (1)(a-b)·(a-b) (2)(2a+b)·(a-b) 【审题路线图】1.等边三角形、中点、DE=2EF?表示 出 AuuuFr?利用数量积定义计算. 2.向量a,b的模、夹角?投影的定义式?代入计算. 3.向量a,b的模、夹角?数量积的运算法则?展开,利 用定义计算. 【解析】1.选B.设 BuuAur =a, uuur BC =b,则a·b= 1 2 ,|a|=|b|=1. uuur DE ? 1 uuur AC ? 1 ?b ? a ? , uuur DF ? 3 uuur DE ? 3 ?b ? a ? , uuur AF ? uuur AD ? uuur DF ? ? 1 a ? 3 ?b ? a ? 2 2 2 4 24 ? ? 5 a ? 3 uuur uuur b, AFgBC ? ? 5 agb ? 3 b2 ? ? 5 ? 3 ? 1 . 44 44 84 8 2.选A.因为向量a与b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=5, 所以(2a-b)·a=2a2-b·a=2×22-5×2×cos60°=3, 所以向量2a-b在a方向上的投影为 (2a ? b)ga ? 3. a 2 3.(1)(a-b)·(a-b) =a2

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