导数在高考中的应用

浅谈导数在高考中的应用 自从高中数学中加入导数,我们研究和解决函数等数学问题便 有了更加有效、简便的工具。当前中学数学中导数的应用主要表现 在 4 个方面:1、切线的斜率(导数的几何意义) ;2、函数的单调 性与最值;3、三次函数的综合题;4、三角函数和导数。 1 对导数几何意义的考查 例 1.已知函数 2 判断函数的单调性 函数的单调性是函数最基本的性质之一,是我们研究函数所要掌 握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的,其思维 方法有:一、利用增(减)函数的定义判断单调性;二、导数法。 利用在内可导的函数在上递增(或递减)的充要条件是(或) ,恒 成立(但在的任意子区间内都不恒等于 0) 。方法一化简较为繁琐, 比较适合解决抽象函数的单调性问题,而用导数知识来判断函数的 单调性既快捷又容易掌握.,特别是对于具体函数更加适用。 例 2.已知。 (1)求的单调增区间; (2)若在定义域 r 内单调递增, 求的取值范围; (3)是否存在使在上单调递减,在上单调递增?若 存在,求出的值;若不存在,说明理由。 分析:本题是关于函数单调性的问题,若用定义来判断函数单调 性,在计算方面必遇到一些困难,因此,我们采用导数法解题。函 数增区间是恒成立的区间,函数的减区间是恒成立的区间(导数值 为零的点为有限个) 。 解: (1)令,得 当时,有在 r 上恒成立;当时,有。 综上情况,当时,的单调增区间为;当时,的单调增区间为。 (2) 在 r 上单调递增, (等号只能在有限个点处取得)恒成立,即,恒 成立。 时,。 , (3)由已知在上单调递减,在区间上单调递增可知,是的极值。 ,存在满足条件。 3 求函数极值或最值 最值问题是高中数学的一个重点,也是一个难点.它涉及到了高中 数学知识的各个方面,要解决这类问题往往需要各种技能,并且需 要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简 化,步骤清晰,学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别 与联系,极值是一个局部性概念,最值是某个区间的整体性概念。 例 3. (2005 年山东卷)已知函数是函数 的一个极值点,其中, 。 (1)求与的关系表达式; (2)求的单调区间; (3)当时,函数的 图象上任意一点的切线斜率恒大于,求的取值范围。 分析:这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识, 第 1 小题根据极值点处导数为零,可确定与的关系;第 2 小题求函 数的单调区间可根据求导法得到,列出表格,答案一目了然;第 3 小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论。 解: (1) 由是的一个极值点,知,即 , (2)由(1) ,得 由知, ,当变化时,与的变化如下: 由上可知,在区间和上递减,在区间上递增。 (3)由已知得,即,即当时,有.① 设,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以即解之得,,又,所以. 即的取值范围为. 4 证明不等式 例 4.求证: 分析:本题通过导数与函数单调性的关系,自然地将导数与不等 式结合在一起,灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造 函数;再对进行求导,得到;然后观察得到当时, ,即在时是增函 数;最后可得当时, ,即[6]. 解:令则在上是增函数.当时,即 5 解决应用问题 例 13.某工业品在生产过程中,每日次品数是每日产量的函数,该 厂售出一件正品可获利 a 元,但生产一件次品就损失元,为了获得 最大利润,日产量应定为多少? 点拨:先明确日产量、次品数、正品数,再建立利润的目标函数, 进而确定日产量。 解:在每天生产的件产品中,是正品数, 是次品数,每日获利总数为 要使最大,则。 令,得。 由知,当时,每一件产品都是次品,公司就要赔钱,最佳日产量 只能在时求得。 由得。 或 90(件) 又由于, , 答:每日应生产 89 件产品才能获得最大利润。 导数的应用问题涉及到很多内容,以上仅仅讨论了三个方面.现在 我们在高中阶段学习导数的有关知识,可以开阔学生的视野,接触 到极限等新的数学思想和方法,对数学的新发展将会有进一步的了 解.同时,导数是我们研究中学数学的一个有力工具,可以解决许 多问题,使我们更加牢固的掌握中学数学的内容,为我们进一步的 学习打下了坚实的基础。

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