湖北省沙市中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


沙市中学 2017 年春季高二年级期中考试理数试卷
考试时间:2017 年 4 月 18 日 上午 8:00-10:00 试卷满分:150 分

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.下列说法中错误的是( )

A.给定两个命题 p, q ,若 p ? q 为真命题,则 ? p、 ? q 都是假命题; B.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题是“若 x ? 1, ,则 x 2 ? 3x ?2 ?0 ” ;
x C.若命题 p : ?x ? R, 2 ?

1 1 ? 1 ,则 ?p : ?x0 ? R ,使得 2 x0 ? x0 ? 1 ; x 2 2

D.函数 f ( x ) 在 x ? x0 处的导数存在, p : f ' ( x0) =0;q : x ? x0 是 f ( x) 的极值点.则 p 是 q 的充要条件. 2.直线 l 的倾斜角是直线 l1 : x ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的两倍,则直线 l 的斜率为( A. )

2 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?2

3.已知集合 A ? [?2, 2], B ? [? 1,1],设 P ? {( x, y ) | x ? A, y ? B},在集合 P 内随机取出 一个元素 ( x, y ) 为点 Q 的坐标, 则点 Q 到直线 x ? y ? 0 的距离不大于

1 的概率为 ( 2
D. ) D.5



A.

1 4

B.

2 4

C.

1 2

2 2

4. i 是虚数单位,复数 z ? a ? i ? a ? R ? 满足 z 2 ? z ? 1 ? 3i ,则 | z | =( A. 2 或 5 B. 2 或 5 C. 5
2 2

5 . 已 知 直 线 ax ? y ? 1 ? 0(a ? R) 是 圆 C : ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 的 一 条 对 称 轴 , 过 点

A( ? 2, ? a) 向圆 C 作切线,切点为 B ,则 |AB |? (
A. 6
2

) D. 3 2

B. 10

C. 14

6.过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 60 ? 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点, 且 |AF |?| BF | ,则 |AF |:| BF |= ( )

A.

1 3

B.

3 2

C.2

D.3
7
8 9 9
4 4

7.如图是某电视台举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数 的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方 差分别为( A.84 4.84 ). B.84 1.6 C.85 4 D.85 1.6

6 4 7
4

3

第7题

8.已知点 A 是抛物线 x2 ? 4 y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点,点 P 在抛物 线上且满足 | PA|=m | PB| ,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A、B 为焦点的双曲线上, 则此双曲线的离心率为( A. )

5+1 2

B.

2+1 2

C. 2+1

D. 5 ? 1

9.函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且满足 f (2) ? 1 , f ( x ) 的导函数 f ' ( x) 的图象如右图,若正 实数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 A. ( , 2)

b ?1 的取值范围为( a ?1
C. (1, 4)

) D. ( , )

y

2 3

B. ( ,3)

1 2

1 3 3 2

O
第8题

x

10.现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆(同一品牌的小车完全相同) ,计划将其放在 4 个车库 中(每个车库放 2 辆) ,则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法有( 种 A.144 B.108 C.96 D.72 )

11.如图,在三棱锥 A ? BCD 中, BC ? DC ? AB ? AD ?

2, BD ? 2 ,

A P C Q B

平面 ABD ? 平面 BCD, O 为 BD 中点, P, Q 分别为线段 AO, BC 上的动点(不含端点) ,且 AP ? CQ ,则三棱锥 P ? QCO 体积的 最大值为( A. ) B.

D O

2 48

2 24

C.

2 16

D.

1 4

12.已知函数 f ? x ? ? x ? x ln x ,若 k ? Z ,且 k ( x ? 1) ? f ( x) 对任意的 x ? 1 恒成立,则 k 的 最大值为( A.1 ) B.2 C.3 D.4

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置 上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 13.曲线 y ? x ln x 在 x ? 1 处的切线与曲线 y ? ax 2 ? ax 相切,则 a ? 14.椭圆 x 2 ? my2 ? 1 的长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 15. . .

?

1

?1

( 1 ? x 2 ? 2 x)dx ?

.

16.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 2 ? ? 1 ,且 f ? x ? 的导函数 f ' ? x ? ? x ? 1 ,则不等 式

f ? x? ?

1 2 x ? x ? 1 的解集为 2

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)对一批电子元件进行寿命追踪调查,从这批产品中抽取 N 个产品 (其中 N ? 200 ) ,得到频率分布直方图如图. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)从频率分布直方图估算这批电子元件寿命 的平均数、中位数分别是多少? (Ⅲ)现要从这批电子元件中按频率分布直方图 用分层抽样的方法抽取一个样本容量为 20 的样 本, 则在 400 ~ 500 及 500 ~ 600 这两组中抽出两 个电子元件的使用寿命之和大于 1000 小时的概 率是多少?

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 5 x ? 2 ln x . 3

(1)求函数 f ( x ) 的极值点; (2)求函数 f ( x ) 在 [1,3] 上的最大值和最小值.

19. (本小题满分 12 分)已知以点 C (t, ) ( t ? R且t ? 0 )为圆心的圆与 x 轴交于点 O 和 点 A ,与 y 轴交于点 O 和点 B ,其中 O 为原点. (1)求证:△ OAB 的面积为定值; (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程.

2 t

20. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角 梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E 是 PB 的中 点. (1)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (2) 若二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 EAC 所成角的正弦值.

6 , 求直线 PA 与平面 3

21. (本小题满分 12 分)设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , a 2 b2

上顶点为 A ,在 x 轴负半轴上有一点 B ,满足 BF 1 ?F 1 F2 ,且 AB ? AF2 .y A (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若过 A 、 B 、 F2 三点的圆恰好与直线 B F1 O F2 x

????

???? ?

x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设直线 l : y ? kx ? m (其中 k 、 m ? Z )与椭圆 C 交于不同 两点 M , N ,与双曲线 D :

x2 y 2 ? ? 1 交于不同两点 E , F .问是否存在直线 l ,使向量 4 12

???? ???? ? NF ? ME ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条,若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)当 a ?

a (a ? R) . x ?1

9 时,如果函数 g ( x) ? f ( x) ? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2

(2)当 a ? 2 时,试比较 f ( x ) 与 1 的大小; (3)证明: ln(n ? 1) ?

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N *) 3 5 7 2n ? 1

沙市中学 2017 年春季高二年级期中考试理数答案
一、 选择题: D B B C C D D C B D A C 12. 解:k ?
'

x ? 2 ? ln x x ? x ln x x ? x ln x , 令 g ( x) ? , 则 g ' ( x) ? x) ? x ?2 ?l n x , 令 h( x ?1 x ?1 ( x ? 1) 2 ,
1
'

则 h ( x) ? 1 ? x ,? x ? 1,? h ( x) ? 0, h( x) 在 (1, ??) 上递增。 由 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 得, ?x0 ? (3, 4), 使得 g ( x) 在 (1, x0 ) 上递减,在 ( x0 , ??) 上递增,

? g ( x)min ? g ( x0 ) ?

x0 ? x0 ln x0 ,? h( x0 ) ? x0 ? 2 ? ln x0 ? 0, ?ln x0 ? x0 ? 2 , 代入上 x0 ? 1

式得: g ( x0 )min ? x0 ? (3, 4) ,故 k ? x0 . 二、 填空题: 13.1 14. 4 或

1 4

15. ?

16. {x | x ? 2}

(Ⅰ)由 0.001?100 ? m ?100 ? 0.004 ?100 ? 0.002?100 ? m?100 ? 1得 三、17. 解:

m ? 0.0015 ,
(Ⅱ)平均数估计值为

。 。 。 。 。 。3 分

x ? 0.01?150 ? 0.015 ? 250 ? 0.04 ? 350 ? 0.02 ? 450 ? 0.015 ? 550 ? 36.5 ,前 2 组的
频率为 0.25,前 3 组的频率为 0.65,所以中位数的估计值为 300 ?

0.25 ? 362.5 . ??7 0.004

(Ⅲ)使用寿命在 400—500 有 20 ? 0.2 ? 4 人,在 500—600 有 0.15 ? 20 ? 3 人,
2 C4 29 故 p ? 1? 3 ? C7 35

??10 分

18.解: 19. 解: (1)?圆C过原点O ,设圆 C 的方程是 ( x ? t ) 2 ? ( y ? ) 2 ? t 2 ? 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ?

2 t

4 t2

? S ?OAB

4 ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x 2 ? 2t t 1 1 4 ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值. 2 2 t

(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .

? k MN ? ?2,? k oc ?

1 1 2 1 ,? 直线 OC 的方程是 y ? x ,? ? t , 2 2 t 2
5,

解得: t ? 2或t ? ?2 ,当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 两点. 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

9 5

? 5 ,圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于

5,

9 5

? 5

圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,? t ? ?2 不符合题意舍去.
2 2 ? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5

20.(Ⅰ)证明:∵PC⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥PC, ∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC= ,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,

又 BC∩PC=C,∴AC⊥平面 PBC,∵AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC.……4 分 (Ⅱ)如图,以 C 为原点,取 AB 中点 F, 、 、 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向,建

立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,﹣1,0) . 设 P(0,0,a) (a>0) ,则 E( ,﹣ , ) ,…(6 分) =(1,1,0) , =(0,0,a) , = ? =( ,﹣ , ) ,

取 =(1,﹣1,0) ,则 ?

=0, 为面 PAC 的法向量. = ? =0,

设 =(x,y,z)为面 EAC 的法向量,则 ? 即

取 x=a,y=﹣a,z=﹣2,则 =(a,﹣a,﹣2) ,

依题意,|cos< ,

>|=

=

=

,则 a=2.…(10 分)

于是 =(2,﹣2,﹣2) ,

=(1,1,﹣2) .

设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ,则 sinθ=|cos<

, >|=

=



即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为

.…(12 分)

21. 解: (Ⅰ)由题意知 F1 (?c, 0) , F2 (c,0) , A(0, b) ,∵ BF 1 为 BF2 的中点, 1 ?F 1 F2 知 F

????

???? ?

AB ⊥ AF2

c2 ∴ Rt ?ABF2 中,BF22 ? AB2 ? AF22 ,(4c)2 ? ( 9c 2 ? b2 )2 ? a 2 , 又 a 2 ?b2 ?
∴ a ? 2c ,故椭圆的离心率 e ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知

c 1 ? a 2

………………………………………3 分

c 1 1 1 3 ? 得 c ? a ,于是 F2 ( a, 0) , B ( ? a, 0) , 2 2 2 a 2 1 的外接圆圆心为( ? a ,0) ,半径 r ? a , Rt ? AB 2F 2 1 | ? a ?3| 2 所以 ? a ,解得 a =2,∴ c ? 1 , b ? 3 , 2
所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

……………………………………………………6 分

? x2 y 2 ?1 ? ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知, ? 4 得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 3 ? y ? kx ? m ?
△ ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ? 12) ? 0 ① 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则
x1 ? x2 ? ? 8km 3 ? 4k 2 ,

----------------7 分

? x2 y 2 ? ? ?1 ? 4 12 2 2 2 ? y ? kx ? m 由? 得: (3 ? k ) x ? 2kmx ? m ?12 ? 0

? ? (?2km) 2 ? 4(3 ? k 2 )(m 2 ?12) ? 0



设 E(x3,y3),F(x4,y4),则 x3 ? x4 ?

2km ,---------- 8 分 3 ? k2

???? ???? ? 由 NF ? ME ? 0 得: x3 ? x4 ? x1 ? x2
∴?

8km 2km ,解得: k ? 0 或 m ? 0 ? 2 3 ? 4k 3 ? k2

---------------10 分

当 k ? 0 时,由①②得: ? 3 ? m ? 3 ,又 m ? Z ,∴ m ? ?1, 0,1 当 m ? 0 时,由①②得: ? 3 ? k ? 3 ,又 k ? Z ,∴ k ? ?1, 0,1

∴满足条件的直线有 5 条.---------------12 分 22.解: (1)当 a ?

9 9 时, f ( x) ? ln x ? ,其定义域是 2 2( x ? 1)
1 9 (2 x ? 1)( x ? 2) 1 ,当 0 ? x ? 或 x ? 2 时, ? ? 2 2 2 x 2( x ? 1) 2 x( x ? 1)

(0, ??) , f ' ( x) ?

1 1 f ' ( x) ? 0 ;当 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 .∴函数 f ( x) 在 (0, )、(2,+?)上单调 2 2 1 1 递 增 , 在 ( , 2)上 单 调 递 减 . ∴ f ( x ) 的 极 大 值 是 f ( ) ? 3? ln 2, 极小值是 2 2 3 f (2) ? ? ln 2 . 当 g ( x) 仅 有 一 个 零 点 时 , k 的 取 值 范 围 是 k ? 3 ? ln 2 或 2 3 k ? ? ln 2 ??4 分 2 2 (2)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? ,其定义域为 (0, ??) , x ?1
令 h( x) ? f ( x) ? 1 ? ln x ?

2 1 2 x2 ? 1 ? 1 ,∵ h' ( x) ? ? ? ? 0 ,∴ x ?1 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

h( x )
在 (0, ??) 上是增函数. ① 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 . ② 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 . ③当 0 ? x ? 1 时,即 h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ?1 . ( 3 ) 根 据 ( 2 ) 的 结 论 , 当 x ? 1 时 , l nx ? ??8 分

2 x ?1 ? 1, 即 ln x ? ,令 x ?1 x ?1

x?

k ?1 (k ? N * ) , k
则有 ln
n k ?1 1 k ?1 n 1 ? ,∴ ? ln ?? k 2k ? 1 k k ?1 k ?1 2k ? 1 n

∴ ln(n ? 1) ? 12 分

? ln
k ?1

k ?1 1 1 1 1 (n ? N *) ? ? ? ??? k 3 5 7 2k ? 1

??


相关文档

湖北省沙市中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题 (word版含答案)
2017-2018学年湖北省沙市中学高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版
湖北省沙市中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
湖北省沙市中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学(理)试题 ( word版含答案
【精选】湖北省沙市中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案-数学
湖北省沙市中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 (word版含答案)
湖北省沙市中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
湖北省沙市中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
【期中试卷】湖北省沙市中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
2017-2018学年湖北省沙市中学高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版答案不全
电脑版