广东省惠州市实验中学2012-2013学年高二上学期期中数学理试题 Word版含答案

惠州市实验中学 2012-2013 学年高二上学期期中数学理试题

考试用时 120 分钟

满分为 150 分。

一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.) 1.“ x ?

?
4

”是“ sinx ?

2 ”成立的 ( 2

) B. 充分条件 D. 既不充分也不必要条件.

A. 必要不充分条件. C. 充分不必要条件.

2.一组数据中的每一个数都减去 90 得到一组新的数据,如果求得新数据的平均数为 1.2,方差为 4.4, 则原来数据的平均数和方差分别为( ) A.91.2,4.4 B.91.2,94.4 C. 88.8,4.4 D.88.8,75.6 3.四位二进制数能表示的最大十进制数是( ) A .8 B.15 C.31

D.64

4.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 开始

根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4,据 此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为( A.63.6 万元 C.67.7 万元 B.65.5 万元 D.72.0 万元 是 )

输入两个数 a 和 b 否 a≥b 输出 a×(b-1)

5.定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如图所示,则式子:

输出 a×(b+1)

5? ? ? ?1? ? 2 tan ? ? ln e ? lg 100 ? ? ? 的值是( 4 ? ? ?3?
A.2 B.6 C. 8 D.7

?1

)

结束

6. 从 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于 40 的概率为 ( A.

)

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

7.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,则 ON ( O 为坐标原点) 25 9

1

的值为 ( A.4

) B.2 C.8 D.

3 2

8. 如图 3,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O ,对于平面上任意一点 M , 若 p 、 q 分别是 M 到直线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对 ? p, q ? 是点 M 的“距离坐标” .已知常数 p ? 0 , q ? 0 ,给出下列命题: ①若 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 (0, 0) 的点有且仅有 1 个; ②若 p ? 0, q ? 1 ,则“距离坐标”为 (0,1) 的点有且仅有 2 个; ③若 p ? 1, q ? 2 ,则“距离坐标”为 (1, 2) 的点有且仅有 4 个.

上述命题中,正确命题的个数是 A. 0 B. 1



) C. 2 D. 3

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) 9. 过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 10. 若椭圆经过点 (2, 3) , 且焦点为 F , 则这个椭圆的标准方程为 ( , 0 ),F( , 0 ) 1 ?2 2 2 ______。

.

11.已知函数 f ( x) ? ax ? b , x ? R ( a 、 b ? R 且是常数) .若 a 是从 ? 2 、 ? 1、 1 、 2 四个数中任取的 一个数, b 是从 0 、 1、 2 三个数中任取的一个数,则函数 y ? f ( x) 为奇函数的概率是____________.

12.右图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体, 则该组合体的侧视图的面积为____________________.

2

13. 直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于____________. 14. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、F2,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则 ?F1 PF2 的面积为________ 25 9

三、解答题(共 80 分)

?1 π ? 15. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=2sin? x- ?,x∈R. 6? ?3 5 π ? ? (1)求 f ? ?的值; ? 4 ? 10 6 ? ? π? (2)设 ?,? ∈?0, ?, f(? ? ) = ,f(3β +2π )= ,求 cos( ? +β )的值. 2? 13 5 ? 2

16.(本题满分 12 分)为了对某课题进行研究,用分层抽样的方法从三所高校 A、B、C 的相关人员中,抽 取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人) (I)求 x,y; (II)若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自高校 C 的概率.

高校 A B C

相关人数 18 36 54

抽取人数 x 2 y

17.(本小题满分 14 分)已知:p:方程 x2-mx+1=0 有两个不等的正根;q:不等式|x-1|>m 的解集为 R。 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围。

x2 y 2 3 18. (本小题 14 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,以原点为圆心,椭圆短半 3 a b
轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, A, B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆 C 上的动点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA与PB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求 k 1 k 2 的值。

3

19. (本小题满分 14 分)如图,已知 E , F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点, EF 与 AC 交于 点 O , PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA ? AB ? 4 , NC ? 2 , M 是线段 PA 上一动点. (Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; (Ⅱ)若 PC // 平面 MEF ,试求 PM : MA 的值; (Ⅲ)当 M 是 PA 中点时,求二面角 M ? EF ? N 的余弦值.

20.(本小题满分 14 分)关于 x, y 的方程 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0
2 2

(1)若方程 C 表示圆,求实数 m 的取值范围; (2)在方程 C 表示圆时,若该圆与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0相交于M,N两点, 且 MN ?

4 5 ,求实数 m 的值; 5

(3)在(2)的条件下,若定点 A 的坐标为(1,0) ,点 P 是线段 MN 上的动点, 求直线 AP 的斜率的取值范围。

4

2012-2013 学年度第一学期高二级理科数学期中试题答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 B 5 C 6 B 7 D 8 D

二、填空题: (5 分×6=30 分)

16. (本题满分 12 分) 解: (I)由题意可得

x 2 y ,所以 x=1,y=3 ? ? 18 36 54

(II)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1,b2, 从高校 C 抽取的 3 人为 c1,c2,c3,则从高校 B、C 抽取的 5 人中选 2 人作专 题发言的基本事件有: (b1,b2),(b1,c1), (b1,c2), (b1,c3), (b2,c1), (b2,c2), (b2,c3),( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共 10 种. 设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X,则 X 包含的基本事件有( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共 3 种. 因此 P ( X ) ?

高校 A B C

相关人数 18 36 54

抽取人数 x 2 y

3 3 . 故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为 10 10

5

18 .解: (1) 由题意可得圆的方程为 x ? y ? b ,? 直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆相切, ? d ?
2 2 2

2 2

? b, 即

b ? 2, 又 e ?

c 3 ? , 3 a
2 2 2

即 a ? 3c, a ? b ? c , 得 a ?

3, c ? 1,

x2 y2 所以椭圆方程为 ? ? 1. 3 2
(2)设 P( x0 , y 0 )( y 0 ? ? 0), A(? 3,0), B( 3,0), 则 即 y0 ? 2 ?
2

2 2 x0 y0 ? ? 1, 3 2

2 2 x0 , 3

则 k1 ?

y0 y0 , k2 ? , x0 ? 3 x0 ? 3
2 0

2 2 2 2 2 ? x0 (3 ? x0 ) y 2 3 3 即 k1 ? k2 ? 2 ? 2 ? ?? . 2 x ? 3 x0 ? 3 x0 ? 3 3 0

2 ? k 1k 2 的值为 ? . 3

20.解: (Ⅰ)连结 BD ,∵ PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,∴ PA ? BD , 又∵ BD ? AC , AC ? PA ? A ,∴ BD ? 平面 PAC , 又∵ E , F 分别是 BC 、 CD 的中点,∴ EF // BD ,
6

∴ EF ? 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF , ∴平面 PAC ? 平面 NEF ;---------------------------------------4 分 (Ⅱ)连结 OM ,∵ PC // 平面 MEF ,平面 PAC ? 平面 MEF ? OM ,∴ PC // OM ,

PM OC 1 ---------------------8 分 ? ? ,故 PM : MA ? 1: 3 PA AC 4 (Ⅲ)∵ EF ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC ,∴ EF ? OM , 在等腰三角形 NEF 中,点 O 为 EF 的中点,∴ NO ? EF , ∴ ?MON 为所求二面角 M ? EF ? N 的平面角, --------------10 分 ∵点 M 是 PA 的中点,∴ AM ? NC ? 2 ,
∴ 所以在矩形 MNCA 中,可求得 MN ? AC ? 4 2 , NO ? 6 , MO ? 在 ?MON 中,由余弦定理可求得 cos ?MON ?

22 , --12 分

MO 2 ? ON 2 ? MN 2 33 , ?? 2 ? MO ? ON 33
--------------14 分

∴二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?

33 . 33

第 19 题图 20.解: (1)方程 C 可化为: ?x ? 1? ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m 要使该方程表示圆,只需 5-m>0.即 m<5
2

所以方程 C 表示圆时,实数 m 的取值范围是 ?? ?,5? 。 (2)由(1)知,当方程 C 表示圆时,圆心为 C(1,2) ,半径为 5 ? m 。 过圆心 C 作直线 L 的垂线 CD,D 为垂足。 则 CD ?

y M C

1? 2? 2 ? 4 12 ? 2 2

?

5 5

N

O A

x

又由 MN ?

4 5 2 5 知 MD ? 5 5

7

8


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