测试题:高中数学必修4三角恒等变换测试题


三.解答题(共 6 个小题,共 74 分) 一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 12 3? ? 1.已知 cos ? ? , ? ? ( ,2? ) ,则 cos (? ? ) ? 4 13 2 A.
5 2 13





B.

7 2 13

C.

17 2 26

D.

7 2 26

3 5 17. (12 分)△ ABC 中,已知 cosA ? , cosB ? , 求sinC的值 . 5 13 18 . ( 12 分 ) 已 知 ? 3? 12 3 ? ? ?? ? , cos (? ? ? ) ? , s (? ? ? i)?? n , 求s ? .i n 2 4 13 5

2.若均 ? , ? 为锐角, sin? ?
2 5 5 2 5 25

2 5 3 , sin (? ? ? ) ? , 则cos? ? ( 5 5



sin(? ? ) 15 4 19. (12 分) 已知 α 为第二象限角, 且 sinα= 的 ,求 4 sin 2? ? cos 2? ? 1
值.

?

A.

B.

C.

2 5 2 5 或 5 25
) ? A.

D. ?
3 B. 2

2 5 5
? 1 2

? 1 1 20. (12 分)已知 ? ? (0, ), ? ? (0, ? ), 且 tan(? ? ? ) ? , tan ? ? ? , 4 2 7
C.
1 2

3. (cos

?
12

? sin

?
12

)(cos

?
12

? sin

?
12

?

求 tan(2? ? ? ) 的值及角 2? ? ? . 21. (12 分)已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1 , x ? R . (1)求证 f ( x) 的小正周期和最值;

D.

3 2
0 0 0 0

4. tan70 ? tan50 ? 3tan70 tan50 ? A.

3

B.

3 C. 3

?

3 3

(2)求这个函数的单调递增区间.

D.

? 3
) A.

5.

2sin2 ? cos2? ? ?( 1 ? cos2? cos2?

tan ?

B.

tan2?

C. 1

D.

1 2
6.已知 x 为第三象限角,化简 1 ? cos 2 x ? ( A. )

22. (14 分) 已知 A、B、C 是 ?ABC 三内角,向量 m ? (?1, 3),
D. ?

??

2 sin x

B. ?

2 sin x

C.

2 cos x

2 cos x

? n ? (cos A,sin A), 且 m.n=1
(1)求角 A; (2)若
1 ? sin 2 B ? ?3, 求tanC . cos 2 B ? sin 2 B

7. 已 知等腰三角形 顶角的余弦 值等于 ( A. )

4 , 则这个 三角形底 角的正弦值为 5

10 10

B. ?

10 10

C.

3 10 10

D. ?

3 10 10

8. 若 3 sin x ? 3 cos x ? 2 3 sin(x ? ? ),? ? (?? .? ) ,则 ? ? (



? 5? 5? C. D. ? 6 6 6 6 1 8 9. 已知 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? ? A. ? 3 9
A.

?

?

B.

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

8 9

10. 已知 cos 2 ?? C.

2 2 4 4 ,则 cos ? ? sin ? 的值为 A . ? 3 3

B.

2 3

4 9

D.1

11. 求 cos

?
11

cos

2? 3? 4? 5? cos cos cos ?( 11 11 11 11

)A.

1 25


B.

1 24


C. 1 D. 0

x x ? 3 cos 的图像的一条对称轴方程是 2 2 11 5? 5? A. x ? ? B. x ? C. x ? ? 3 3 3 二.填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
12. 函数 y ? sin

D. x ? ?

?
3

13


cos? ?


1 10


, cos? ? 1 5

?, ?










, 则? ? ?的值为

14.在 ?ABC 中,已知 tanA ,tanB 是方程 3x 2 ? 7 x ? 2 ? 0 的两个实根,则
tan C ? . ? 3 ? 4 15.若 sin ? , cos ? ? ,则角 ? 的终边在 2 5 2 5

象限.


16.代数式 sin15o cos 75o ? cos15o sin105o ?

故 函 数

《数学必修 4》三角恒等变换测试 题答案
一、选择题(12×5 分=60 分)

[?

?
3

? k? ,

?
6

? 3 y?s i x n? ( 2 ? 6 2

的)单 调 递 增 区 间 为

? k? ](k ? Z )

三角恒等变换测试题
一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列表达式中,正确的是( )A A. sin ?? ? ? ? ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? B. sin(? ? ? ) ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? C. co s(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

1 C

3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D B A B B C C A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 3? 3 13、 14、 ? 15、第四 16、 3 4 2 三、解答题(共 6 个小题,满分 74 分)

2 B

12 B

3 4 17.解 : 在?ABC中, cos A ? ,? sin A ? D. cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? 5 5 5 12 3 又由sin B ? , 可得 cos B ? ? 1 ? sin 2 B ? ? ,? sin A ? ? A ? 600设计意图:主要考查学生对公式结构的掌握情况。 13 13 2 2.表达式 sin(45? ? A) ? sin(45? ? A) 化简后为( 12 12 0 0 若 cos B ? ? ,? B ? 120 , 这时A ? B ? 180 不合题意舍去 , 故 cos B ? , 13 13 A. ? 2 sin A B. 2 sin A 4 12 3 5 63 ? sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65 1 1 sin A C. D. ? sin A 2 2

)B

3? 19.解 : ? ?? ? ? ? 2 4 ?0 ? ? ? ? ?

?

设计意图:主要考查学生对正弦的和、差公式的掌握和应用。 3. 函数 y ? sin x ? cos x ? 2 的最小值是( )A

?

4 A. 2 ? 2 B. 2 ? 2 C.0 D.1 5 4 设计意图:主要考查学生辅助角公式的应用以及三角函数的最值问题。 ? sin(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ? 13 5 5 4 4 4. 已知 )A ? sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin( ?? ? ) ? 是第三象限的角,若 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? 等于( 9 3 12 4 5 56 ? ? ? ? (? ) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 5 13 5 13 65 A. B. ? C. D. ? 3 3 3 3
设计意图:主要考查同角的三角函数公式、正弦的二倍角、正切的和角公式 1 ? cos 2 x 2 1 ? cos 2x 2 ( ) ?( ) 的应用。 sin x cos x sin x ? cos x 2 2 20.证明 : 左边 ? ? ? ? ? 3 ? 1 2 cos2 x sin 2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x 5.已知 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) 等于( ) A 2 5 4 4 1 1 1 ? cos 4 x A. B. 7 C. ? D. ?7 2(2 ? 2 ? ) 2 7 7 2 ? 2 cos 2 x 2 ( 3 ? cos 4 x ) 2 ? ? ? ? 右边 设计意图:主要考查同角的三角函数公式、正弦的二倍角、正切的和角公式 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x 的应用。 2
2 2 4 4

,? ? ? ? ? ?

3? 2

1 ? 20.解 : ? tan ? ? ? ? ? ? ? ? 7 2 ?0 ? ? ?

6. 函数 y ? 1 ? cos x 的图象( A.关于 x 轴对称 C.关于原点对称

)B B.关于 y 轴对称 D.关于直线 x ?

?
4

? ?? ? 2? ? ? ? 0 tan(2? ? 2 ? ) ? tan ? 1 ? tan(2? ? 2 ? ) tan ?

?

? tan(2? ? ? ) ? tan[( 2? ? 2 ? ) ? ? ] ? 4 1 ? ? 3 7 ?1 4 1 1? ? 3 7 3? ? 2? ? ? ? ? 4

2 2 i s 7. (2006 高考)若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? , 则n 3
A A.

对称

A o c s?

A?(

)

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

D. ?

5 3
)B

8. (2006 高考)函数 y ? 4sin ? 2 x ? A.

? ?

?? ? ? 1 的最小正周期为( ??
C. 2 ? D. 4 ?

21.解: (1) y ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1

?

cos 2 x ? 1 3 sin 2 x 1 3 1 ? ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 1 2 2 2 2 2

? ?

B. ?

设计意图:主要考查三角函数的性质。

? sin

?
6

cos 2 x ? cos

?
6

sin 2 x ?

? 3 3 ? sin(2 x ? ) ? 6 2 2

9. cos

2

?
8

? sin 2

?
8

等于 (

)A

A.

(2)因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? ? 由 ( 1 ) 知

? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? (k ? Z ) , 2 ? 2 ?
x i?

2 2

B.1

C.

?
)

y?s

?
6

n?

?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

3 ( 2

2 2

D. ?1

2 ,



10. tan

?
2

不能用下列式表达的是 (

)D

? 2 k? ( k ? Z )

??

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ( k ? Z )

A. ?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

B.

sin ? 1 ? cos ?

C.

1 ? cos ? sin ?
? ? ?

D.

sin ? 1 ? cos ?
)D

11. tan15 ? tan 30 ? tan15 tan 30 等于 (
?

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.1

12. 当 ?? ? x ? 0 时,函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 最小值为( A. ?1 B. ?2 C. ? 3 D.0

)B

二.填空题(共 4 个小题,每小 4 分,共 16 分) 13. 已知 sin(

?
4

? x)sin(

?

1 ? ? x) ? , x ?( , ?) ,则 sin 4 x ? ____ 4 6 2

14. 设 ?ABC 中, sin A cos A ? tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B , 则此三角形是______三角形. 15.(05 高考) 若 sin ?

3 , 4

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? = ?6 ? 3 ? 3 ?

.

16.(06 高考) 若 f ( x) ? a sin( x ? 序实数对( a , b )可以是

?

) ? b sin( x ? )(ab ? 0) 是偶函数,则有 4 4

?

. (写出你认为正确的一组数即可).

三.解答题(共 6 个小题,74 分;写出必要的文字说明或解题步骤) 17.(本小题 12 分) 已知 sin(

?
4

? x) ?

12 ? , 0 ? x ? ,求 13 4

cos 2 x cos( ? x) 4

?

18.(本小题 12 分)

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 . 已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求 f ( x) 的定义域; (2)设 ? 的第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

19.(2006 高考) (本小题 12 分)

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3 (1)求 tan ? 的值;
已知

5sin 2
(2)求

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos2

?
2

?8
的值.

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

20. (2006 高考) (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
2

), x ? R .

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (3)若 f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

21. (本小题 12 分) 如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形的 内接矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并求此最大面积. 22. (本小题 14 分)
?? 已知 A、B、C 是 ?ABC 三内角,向量 m ? (?1, 3),

?? ? ? n ? (cos A,sin A), 且 m?n ? 1.
(1)求角 A; (2)若 12? sin 2 B2 ? ?3, 求tanC . cos B ? sin B


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